西南交大线性代数习题参考答案解析

./行列式§1行列式的概念填空<1>排列6427531的逆序数为,该排列为排列。<2>=,=时,排列1274569为偶排列。<3>阶行列式由项的代数和组成,其中每一项为行列式中位于不同行不同列的个元素的乘积,若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列,那么列标构成一个元排列。若该排列为奇排列,则该项的符号为号；若为偶排列,该项的符号为号。<4>在6阶行列式中,含的项的符号为,含的项的符号为。用行列式的定义计算下列行列式的值<1>解：该行列式的项展开式中,有项不为零,它们分别为,所以行列式的值为。<2>解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是,而它的逆序数是,故行列式值为。证明：在全部元排列中,奇排列数与偶排列数相等。证明：元排列共有个,设其中奇排列数有个,偶排列数为个。对于任意奇排列,交换其任意两个元的位置,就变成偶排列,故一个奇排列与许多偶排列对应,所以有,同理得,所以。若一个阶行列式中等于0的元素个数比多,则此行列式为0,为什么？阶行列式中,若负项的个数为偶数,则至少为多少？〔提示：利用3题的结果利用对角线法则计算下列三阶行列式〔1〔2§2行列式的性质利用行列式的性质计算系列行列式。<1><2><3>证明下列恒等式<1>〔提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和,再利用性质证明<2><3><提示：从最后一列起,后列的倍加到前一列>已知四阶行列式D的第三行元素分别为：；第四行元素的对应的余子式依次是2,10,,4,求的值。已知1365,2743,4056,6695,5356能被13整除,证明：能被13整除。〔提示：注意观察行列式中第2,3,4,5列元素的特点已知,求：<1>；<2>和。〔提示：利用行列式按行〔列展开的性质计算设,求的根。解1：首先,行列式展开式中含项,所以有四个根。而通过观察,将代入行列式,行列式中均有两行元素相同,此时行列式值为0,即为根。然后,把所有列加到第一列上,可发现第四个根,计算如下：解2：〔注意各行元素之和相等,可计算的值后,求根。§3行列式的计算利用三角行列式的结果计算下列阶行列式<1>〔提示：注意各行〔列元素之和相等<2>〔提示：可考虑按第一行〔列展开<3>〔提示：可考虑第一行的倍加到各行,再化为三角行列式用迭代法计算下列行列式<1>解：按第一行〔列展开,得递推公式：=+。于是==。由此得：+++。<2>。解：按第一行展开,有递推公式+,得递推公式：=1\*GB3①同理可得：=2\*GB3②联立=1\*GB3①与=2\*GB3②,解方程组得：利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式<1>,〔提示：利用行列式的性质,先化行列式为标准形式的范德蒙行列式,再利用范德蒙行列式的结果计算行列式<2>,解：在行中提出因子,4．构造辅助行列式法计算下列行列式<1><缺行的范德蒙行列式>解：构造辅助范德蒙行列式,为中元素的余子式,而<2>解：构造辅助行列式,则,而用数学归纳法证明：证明：〔1时,等式显然成立；〔2假定等式对于小于阶的行列式成立；〔3〔下证阶行列式成立由于,+〔注：按最后一行〔列展开==所以,6．,求<提示：将所有行加到最后一行>§3克来姆〔Cramer法则用克来姆法则解下列方程组<1><2>当取何值时,方程组有非零解？矩阵§1矩阵的概念及运算判断正误〔1设为矩阵,为矩阵,若,则与必为同阶方阵。〔〔2与为阶方阵,为实数,有。〔〔3与为阶方阵,。〔〔4与为阶方阵,。〔〔5为阶方阵,。〔〔6与为阶方阵,。〔〔7为阶方阵,。〔〔8与为阶方阵,。〔〔9与为阶方阵,。〔选择题<1>设均为阶方阵,,则〔<A>〔B<C><D><2>若为实对称矩阵,则的值〔<A>〔B<C><D>不能确定〔3设为方阵,,则为〔<A>〔B<C><D>不能确定设,,计算：<1>；<2>；<3>。计算。<提示：先计算出,以此归纳出,然后用数学归纳法证明结论>设为阶方阵,若对任意的维列向量,均有,证明：。<提示：由于维列向量的任意性,考察维列向量,证中各元素为0>设为实对称矩阵,若,证明。<提示：证中各元素为0>若为阶方阵,且满足。若,求。<提示：先证明>试证：若为奇数阶方阵,且满足,,则。<提示：先证明>若为奇数阶反对称方阵,证明：。<提示：由反对称阵的定义证明>设都是对称矩阵,证明：为对称矩阵的充要条件是。设阶方阵,,且与的各行元素之和为1,是矩阵,且每个元素都为1,求证：<1>；<2>的各行元素之和都等于1；<3>若各行元素之和分别为,则的各行元素之和都等于什么？§2逆矩阵判断正误<均为阶方阵><1>。<><2>。<><3>为阶方阵。则或。<><4>。<><5>,。<><6>。<>填空<1>设,则,,=。<2>设为3阶方阵,且,则=,=,=,=。<3>已知,则=。<4>设,则=。设,证明：。<提示：证明>设方阵满足,证明：及都可逆,并求其逆矩阵。〔提示：利用可逆的定义证明设是阶方阵,证明：<1>若,则；<2>；<3>。〔提示：凡是与伴随矩阵有关的结论,可先考虑等式设阶非零方阵的伴随矩阵为,且=,求证：。<提示：可考虑用反证法证明>设是阶方阵,如有非零矩阵使,则。设均为阶可逆方阵,求。§3分块矩阵设,,利用分块矩阵计算。设,,<1>利用分块矩阵求；<2>计算。设均为阶方阵,令证明可逆的充要条件是均可逆；设,使,求出；当可逆时,求出。设,利用矩阵分块求。设为阶可逆方阵,为矩阵,为常数,,计算；<2>证明：可逆的充要条件是。设为4阶矩阵,且,把按列分块为,其中是的第列,求。<提示：根据行列式的性质计算>§4矩阵的初等变换把矩阵化为阶梯形和简单阶梯形。利用初等变换求逆矩阵,。利用初等变换求解下列矩阵方程〔1〔2已知,用初等变换求,并计算的所有代数余子式之和。<提示：利用,可求>§5矩阵的秩判断正误<1>若为矩阵,,则。<><2>若,则的所有的阶子式都不为0,而所有的阶子式都为0。<><3>若矩阵存在一个阶子式都不为0,则。<><4>任何一个可逆矩阵都可分解为初等方阵的乘积,且分解唯一。<>〔5设为矩阵,为矩阵,且,则。<>设,求。设矩阵,<1>为何值时,最大？<2>为何值时,最小？<提示：利用初等变换求秩>讨论阶方阵的秩。不全为零,不全为零,求矩阵的秩。<提示：利用秩的定义,考虑行列式的一阶及二阶子式>设均为阶方阵,证明：若,则；若,则。<提示：利用可逆矩阵可分解为初等方阵的乘积,以及初等变换不改变矩阵的秩证明>向量组的线性相关性§1维向量设,且,求向量。§2向量组的线性相关与线性无关用定义判断下列向量组的线性相关性〔1。解：设即有齐次线性方程组。线性方程组的系数行列式为,故由克拉姆法则方程组有非零解,即存在不全为零的数使得成立,故线性相关。〔2。解：设即有齐次线性方程组。线性方程组的系数行列式为,故由克拉姆法则方程组只有零解,即只存在全为零的数使得成立,故线性无关。设,,把表示成的线性组合,问线性表示是否唯一？解：设即有非齐次线性方程组。线性方程组的系数行列式为,故由克拉姆法则方程组有唯一解,即能表示成的线性组合,且表示唯一。设,问：当为何值时,线性无关？当为何值时,线性相关？当相关时,将表示为的线性组合。解：<1>线性相关,从而线性无关<2>当时4．证明：若向量组中含有零向量,则此向量组一定线性相关。〔提示：用定义证明证明:不妨设法一：显然,即存在不全为零的数使得线性组合为零,故向量组一定线性相关。法二：由可知向量组线性相关,又,故向量组一定线性相关。注意：因为向量组中含有零向量,故行列式,故向量组一定线性相关。〔这样证明是错误的,因为不一定是方阵。5．已知向量组线性无关,,,用定义证明：向量组线性无关。解：设,由题条件可得又线性无关,故有方程组系数行列式为由克拉姆法则方程组有只有零解,故只有全为零才成立,故向量组线性无关。6．若向量可由线性表出,则表示法唯一的充要条件为线性无关。〔提示：可考虑用反证法证明证明：充分性〔线性无关表示法唯一：若表示不唯一,设有两个不同的表示为由〔1〔2得,由两个表示不一样有不全为零,这与线性无关矛盾。故当线性无关时表示法唯一必要性：〔表示法唯一线性无关若线性相关,则存在不全为零的数设为有又可由线性表出记为由〔3〔4可得由不全为零知道〔4〔5是两个不同的表示,这与表示唯一矛盾。故表示法唯一线性无关若向量组线性无关,问常数需满足什么条件时,向量组线性无关？〔提示：用定义判定解：设即有由向量组线性无关得方程组的系数行列式为,由克拉姆法则得时方程组只有零解。当时线性无关。8．判断题〔1若向量组线性相关,则任一向量可由其余向量线性表出。〔正确为：若向量组线性相关,则至少有一个向量可由其余向线性表出。反例：〔2对任意一组不全为零的数,有,则向量组线性相关。〔思考一下这在什么情况下发生〔3若线性相关,亦线性相关,则有不全为零的数,使,同时成立。〔〔4若有不全为0的数,使成立,则线性相关,亦线性相关。〔〔5对于三维向量,若两向量线性相关,则这两向量平行；若三向量线性相关,则这三向量共面。〔9．选择题〔1维向量组线性无关的充分必要条件是〔D〔A存在不全为零的数,使；反例线性相关但正确应为：维向量组线性无关的充分必要条件是对任意的不全为零的数,使〔B中任意两个向量线性无关；〔C中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出；〔D中任意一个向量都不能用其余向量线性表出。〔2设均为维向量,那么下列结论正确的是〔B〔A若,则线性相关；注意：无论是否无关,当时均有〔B对任意一组不全为零的数,有,则向量组线性无关；注意：〔B意味着只有。〔C若线性相关,则对任意一组不全为零的数,有；注意：线性相关只是至少存在不全为零的数,有未必是对任意一组不全为零的数有〔D因为,所以线性无关。<3>设有任意两个维向量组和,若存在两组不全为零的数和,使,则〔D。〔A和都线性相关；〔B和都线性无关；〔C线性无关；〔D线性相关。注意：〔4向量组线性无关,则下列向量组线性相关的是〔B。〔A；〔B；〔C；〔D。注意：向量组与向量组等价。线性无关故秩为3,故秩也为3。〔5设向量组〔I：,,；向量组〔II：,,,,则〔〔A〔I相关〔II相关；〔B〔I无关〔II无关；〔C〔II无关〔I无关；〔D〔I无关〔II无关。〔6若向量组线性无关,线性相关,则〔C〔A必可由线性表示；〔B必不可由线性表示；〔C必可由线性表示；〔B必不可由线性表示。注意：向量组线性无关,线性无关,又线性相关必可由线性表示；必可由线性表示；§3向量组的秩求下列向量组的秩和一个最大无关组,并把其余向量用最大无关组线性表示。〔1；〔提示：首先将向量作为列向量构成矩阵,然后对矩阵进行初等行变换化为最简阶梯形解：作矩阵故,是其一个极大无关组。〔2。解：作矩阵故,是其一个极大无关组。设向量组的秩为2,求。解：法一,作矩阵故即时秩为2。法二：由向量组秩为2可得线性相关,故由向量组秩为2可得线性相关,故设向量组能由向量组线性表出,证明：〔〔〔注：该结论是线性代数重要结论之一。凡是与秩有关的命题,大多需用该结论证明,如第4题等证明：令〔=,不妨设=为的极大无关组；令〔=q,为的极大无关组。考虑向量组=,为的极大无关组,则线性无关且能被线性表出。又能由向量组线性表出,故也能表示,从而线性无关且表示=,即是=的极大无关组,故。由线性无关及秩的定义有。故〔〔设是个维向量,若标准基向量能由它们线性表出,证明：线性无关。〔提示：用秩法判定向量组的线性相关性证明：已知,由能由线性表出有,又可得线性无关证明：任意个维向量必定线性相关。〔提示：考虑它们与单位向量组的表示关系,再利用第3题给出的秩的范围,最后用秩法判定证明：作矩阵则由又必定线性相关。设向量组与向量组的秩相等,且向量组能由向量组线性表出,证明：与等价。证明：设它们的秩为,为的极大无关组；为的极大无关组。考虑向量组=。容易证明也是向量组=的极大无关组,故。若不能线性表示则必存在一个向量不妨设满足线性无关,若不能线性表示则必存在一个向量不妨设满足线性无关,如此继续下去必能找到向量组线性无关且能表示故是向量组=的极大无关组,故,矛盾。故能线性表示从而能线性表示。故与等价。设,证明：与等价。〔提示：可利用克来姆法则反解出证明：由条件可得能线性表示,且,其中计算所以可逆,故,即能线性表示,故与等价。设有向量组,试证：向量组线性无关,其中为个互不相等且不为0的常数。〔提示：用定义证明,其间涉及范德蒙行列式的计算证明：作矩阵,故。计算矩阵的秩,显然。且矩阵有一个阶子式,故。故向量组线性无关设向量组的秩为,向量组的秩为向量组的秩为,证明：。证明：设是的极大无关组,是的极大无关组。显然能线性表示故又,所以。显然能线性表示和。故,且。设同为矩阵,证明〔1,〔2。证明：记,,则,记向量组,,则,,,作向量组由向量组秩的关系得显然向量组能表示向量组,故,即有,设为矩阵,为矩阵,证明。〔提示：令,证,证明方法也是考虑它们的列向量组之间的关系；再由,证向量线性无关的充分必要条件是〔提示：令,则证明：线性无关选择题〔1设是阶矩阵,且,则中〔C必有一列元素全为零；必有两列元素对应成比例；必有一列向量是其余列向量的线性组合；任一列向量都是其余向量的线性组合。〔2已知线性方程组的系数矩阵是矩阵,且的行向量组线性无关,则下列结论正确的是〔C。〔A的列向量组线性无关；注：的行向量组线性无关的列向量组线性相关〔B的增广矩阵的任意四个列向量线性无关；〔C的增广矩阵的行向量组线性无关；注：的行向量组线性无关,又〔D的增广矩阵的列向量组线性无关。〔3设向量,而则下列结论中正确的是〔A。〔A=；〔B>；〔C<；〔D不能确定。注：容易证明与等价〔4若存在矩阵,使,则〔〔A；〔B>；〔C<；〔D不能确定。注：,〔5矩阵在下列〔D变换时改变秩。转置；〔B初等变换；〔C乘以非奇异阵〔D乘以奇异阵。§4维向量空间证明：是的子空间。证明：,不妨记,,则,。故。,故。故是的子空间。设问是不是向量空间？为什么？解;是向量空间〔仿照上题证明对线性运算封闭不是向量空间,因为,,则。证明：由构成的一个基,并求在这个基下的坐标。证明：,故,故线性无关且构成的一个基。设,,证明：。〔提示：只需证明与等价证明：由题的条件可知：；即与等价设,说明平面上=的几何意义。〔1；〔2；〔3。§5内积与正交向量组试用施密特法把下列向量组正交化〔1；设是维向量,且,证：。〔提示：根据模与内积的关系以及内积的性质证明证明：又所以证明：。证明：线性方程组§1线性方程组的一般理论判断题〔1有解的充要条件有三种：=1\*GB3①；=2\*GB3②能由的列向量组线性表出；=3\*GB3③向量组与向量组等价。〔〔2有非零解的充要条件是的列向量组的秩小于〔是未知数的个数。〔〔3若有无穷多解,则有非零解。〔〔4若有非零解,则必有无穷多解。〔选择题〔1为阶矩阵,齐次线性方程组有无数个解,则必有D。〔A；〔B；〔C中有两列对应元素成比例；<D>的列向量组线性相关。注：有无数个解有非零解的列向量组线性相关〔2为阶矩阵,非齐次线性方程组的解不唯一,则下列结论正确的是D。〔A；〔B；〔C为零矩阵；<D>的解不唯一。注：的解不唯一的解不唯一,反之不成立,因为的解不唯一时无解。但的解不唯一是的解不唯一必要条件。〔3已知是非齐次线性方程组的两个不同的解,是非齐次线性方程组导出方程组的基础解系,,则方程组的通解必是B。〔A；〔B；〔C；〔D。注：〔A中不是特解〔C中不是的解,也不是特解〔D中与可能相关。〔4设是四元非齐次非线性方程组的3个解向量,且,,,表示任意常数,则线性方程组的通解为C。〔A；〔B；〔C；〔D。〔5设元个方程的非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为,则A。〔A时,必有解；〔B时,有唯一解；〔C时,有唯一解；〔D时,有无穷多解。注：〔A时,,又,故时有必有解〔B时,方程可能无解。若在有解的前提下时有唯一解；〔C时,有唯一解；这时任何情况都可能发生。〔D时,方程可能无解。若在有解的前提下,时有无穷多解。填空题〔1方程组有解的充要条件是。；有解的充要条件是〔2设阶矩阵的各行元素之和均为0,且,则方程组的通解为。阶矩阵的各行元素之和均为0是的解,,故方程组的通解为〔3设为阶方阵,对任何维列向量,方程都有解的充要条件是。对任何维列向量,方程都有解的充要条件是的列向量组能线性表示任何维列向量。故,又,故充要条件是或〔4若元齐次线性方程组有个线性无关的解向量,则=。元齐次线性方程组有个线性无关的解向量判定齐次线性方程组是否有非零解。法一：用克拉姆法则。法二：求出系数矩阵的秩与未知数个数比较。问：取何值时,非齐次线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？解：系数矩阵行列式为由克拉姆法则可知即且是有唯一解。当时增广矩阵为即有且,故当方程组有无穷多解。当时增广矩阵为即有,故当方程组无解。线性方程组,证明：若互不相等,则方程组无解。证明：系数矩阵为阶矩阵,故。又增广矩阵为,故故,所以方程组无解。设有三维列向量,问取何值时,〔1可由唯一线性表示？〔2可由多种线性表示？〔3不能由线性表示？〔提示：将线性表示问题转化为方程组解的讨论解：设,问题化为方程组有唯一解？无解？有无穷多解。仿照EX5已知三个平面：,,,试求使三平面：=1\*GB3①有唯一交点；=2\*GB3②有无穷多交点；=3\*GB3③无公共交点。〔提示：相交问题即是三平面方程联立成的方程组的解的判定问题设,则三直线：交于一点的充要条件是线性相关,而线性无关。§3齐次线性方程组求解下列齐次线性方程组〔1〔2〔3设,求一个矩阵,使,且。〔分析的列向量是的解；又的列向量是的两个线性无关解解：由题意,的两个线性无关解可作为的列向量。,故同解方程组为由此有两个线性无关解,故〔思考：是否唯一设是秩为2的矩阵,是齐次线性方程组的解向量,求的解空间S的一个正交规范基。解：是秩为2的矩阵可得,为求的解空间S的一个正交规范基只需选择两个线性无关的解正交规范化即可。显然是无关的。令,令,即为所求。〔思考为什么齐次方程组一组解正交规范化后仍是齐次方程组一组解求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为：。〔提示：由通解消去任意常数得方程组法一：由题意知道,即,由消去得即为所求。法二：〔分析：齐次方程组系数矩阵的行与方程组的每一个解正交,这只需要与一个基础解系中每个解正交即可解：设所求方程组为,设系数矩阵的行向量为,则有,故的行向量组为的两个线性无关的解。解方程组系数矩阵,故的同解方程组是得的两个线性无关的解为,故设都是阶方阵,且,<1>证明：；〔2若,证明：〔提示：的列向量是的解向量证明：〔1知的列向量是的解,故的列向量组的秩小于等于解空间的维数,这意味着,又,故有。〔2由有,由得是阶方阵,为的伴随矩阵,证明：〔提示：根据,再利用5题的结果证明：当时,有。又由可得可逆且,故。当时,有,又由可得,故故。当时,则有一个阶子式不为零,故为非零矩阵,故,从而当时当时,每一个阶子式均为零,故,故已知三阶方阵,且的每个列向量都是方程组的解,=1\*GB3①求的值；=2\*GB3②证明：。解：=1\*GB3①因为,所以方程组有非零解,故系数矩阵行列式即,故由题意有,故,又〔为什么故,所以设是齐次线性方程组的基础解系,证明也是基础解系。解：显然能线性表示,又故能线性表示,故与等价。故由是齐次线性方程组的基础解系可知解空间维数。且,故,显然也是方程组的解,从而是方程组的无关解,且,故也是基础解系。已知线性方程组〔=1\*ROMANI基础解系为,,…,,写出线性方程组〔=2\*ROMANII的通解。解：记〔=1\*ROMANI的系数矩阵为,基础解系之矩阵为,则出线性方程组〔=1\*ROMANI为,线性方程组〔=2\*ROMANII为；且,从而,故的列向量是线性方程组〔=2\*ROMANII的解。由,,…,是线性方程组〔=1\*ROMANI的基础解系,故它们线性无关,故,易知为线性方程组〔=1\*ROMANI解空间维数。故,可得,,故,即的列向量是线性方程组〔=2\*ROMANII的个线性无关的解。又可得线性方程组〔=2\*ROMANII为解空间维数为。故的列向量组是线性方程组〔=2\*ROMANII的基础解系。从而可得线性方程组〔=2\*ROMANII的基础解系。为阶矩阵,若存在正整数,使有解向量,且,证明：是线性无关的。证明：由有解向量可得,进一步对有。设,得即故即为,得即可得同理可得,故是线性无关的。设向量组是的基础解系,向量使,证明：线性无关。证明：法一：向量组是的基础解系,故线性无关,则线性无关,否则能由线性表示,故是的解,即,与矛盾。故。易知与等价。故,故线性无关。法二：设,即得即故故也为由设向量组是的基础解系知线性无关,故又由得故线性无关。设向量组线性无关,作以下线性组合,证明：线性无关。证明：设,即有由线性无关可得故线性无关。§4非齐次线性方程组下列方程组是否有解？有解时求其解。〔1〔2〔3讨论为何值时,方程组有唯一解？有无穷多解？无解？有解时求通解。解：系数矩阵行列式由克拉姆法则知,即时方程组有唯一解。当时增广矩阵,故当,故无解当时增广矩阵故当时有,故无解。故当时有,有无穷多解,此时,即方程组同解于,故故当时,有通解。设,,其中,求的解。解：由于,所以有唯一解。由克拉姆法则知,其中,为的列换为故,。故唯一解为设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3,已知是它的三个解向量,其中,求方程组的通解。解：四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3,故其导出组解空间维数为。又是导出组的解,从而也是导出组的一个基础解系。故四元非齐次线性方程组通解为设是非齐次线性方程组的一个解,是对应齐次方程的基础解系,证明：〔1线性无关；〔2线性无关。〔提示：〔1可由定义证明；〔2可用定义或证与〔1等价证明见前面§3,Ex11设矩阵,其中线性无关,,向量,求方程的通解。解：由线性无关且,可知。故导出组解空间维数为,又即,即是导出组的解,也为导出组的一个基础解系。由可知是的解,故方程的通解为设是非齐次线性方程组的个解,为实数,满足,证明：也是它的解。证明：,故也是的解。设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为,是它的个线性无关解,证明：它的任一解可表示为〔其中。证明：显然是的解。设,即由线性无关可得,故线性无关。又的系数矩阵的秩为,故解空间维数为,故是一个基础解系。故任一解可表示为即令故其中设向量组能由向量组线性表示为：=其中为矩阵,且组线性无关,证明：组线性无关的充分必要条件是矩阵的秩。证明：记若矩阵的秩。对于齐次方程组,由线性无关知只有零解。若线性相关,则存在不全为零的数使得。由若矩阵的秩知线性无关,故,由不全为零,故。由及=可得这意味着有非零解,矛盾。故若矩阵的秩时组线性无关。若组线性无关而,故线性相关,存在不全为零的数使得,故=即存在不全为零的数使得,与组线性无关矛盾。故若组线性无关而第五章特征值与特征向量§1特征值与特征向量填空题：〔1已知方阵的一个特征值为,其对应的一个特征向量为。则的一个特征值为；的一个特征值为；的一个特征值为。〔2已知可逆矩阵的一个特征值为,其对应的一个特征向量为,则其逆矩阵的一个特征值为；其伴随矩阵的一个特征值为。为可逆矩阵,故特征值。对特征值为的一个特征向量,有,故即有,故是逆矩阵的特征值。对特征值为的一个特征向量,有,故即有,故是的特征值。〔3已知三阶矩阵的特征值为,则=30,900。2．求下列方阵的特征值与特征向量。〔1〔2故3．,已知它的特征值为,求。解：由,得4。设,已知为的特征值,求。即即即5．证明若,则的特征值只能是1或-1。证明：设的特征值的为,其对应的一个特征向量为,则由定义知,即是的特征值。又对任意的非零向量有,故对特征值都为。故,即的特征值只能是1或-1。6．设是方阵的对应于两个不同特征值的特征向量,讨论是否为的特征向量？解：若是的特征向量,设其对应的特征值为,则有得得得由是方阵的对应于两个不同特征值的特征向量知的线性无关性得故,矛盾。7．证明与有相同的特征值。〔提示：根据特征多项式证明：,即与有相同的特征多项式,故有相同的特征值8．证明：若,则是的特征值。证明：即,故,则是的特征值。9．求的特征值与特征向量。解：注意到,其中,故是的特征值,且是它的一个特征值。,故,故,所以是的特征值解,有,,,,它们是的特征值0的个线性无关的特征向量,故0至少是重特征值,又有特征值。故。§2相似矩阵1．与相似,则,。〔提示：相似矩阵的特征值相同且等于对角线上的元素之和,相似矩阵的行列式相等。2．为阶方阵,,证明与相似。证明：,故可逆。,即与相似。3．3阶方阵的特征值分别为,对应的特征向量为求。解：令,则。于是4．阶方阵的特征值为,方阵与A相似,则=。与A相似,故的特征值也为。故的特征值为故5．设三阶方阵A的特征值,对应的特征向量为。求,其中。解：方法一：易知道方法二令由,则,得6．设与相似,证明与相似。证明：由与相似可知存在可逆矩阵,满足,故有,故与相似7．若二阶矩阵的特征值为和,求。解：二阶矩阵的特征值为和,故矩阵是可对角化的,故存在二阶可逆矩阵满足,故§3实对称矩阵的对角化判断正误。〔1是实对称矩阵,它们的特征多项式相同,则相似。〔〔2实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩。<>〔3若都是的特征向量,则将它们先正交化,再单位化后仍为的特征向量。<>已知为正交矩阵,求的值。解：正交矩阵有性质：任意一行〔列的平方和为1,任意两行〔列向量正交。且是维列向量,,证明：为对称的正交矩阵。证明：注意意味着。故为对称的矩阵。故为对称的正交矩阵。正交,证明都是正交矩阵。证明：是正交矩阵,故,。是正交矩阵是正交矩阵是正交矩阵求正交矩阵,将下列矩阵对角化。〔1；〔2三阶实对称方阵的特征值为,若已知对应6的特征向量为,求A。解：设特征值３对应的特征向量为,故与正交,故,故为特征值３的两个线性无关的特征向量。故,即,其中第七章二次型§1二次型及矩阵用矩阵记号表示下列二次型。〔1；〔2；〔3写出下列矩阵所对应的二次型。〔1；〔2。§2用正交变换化二次型为标准型判断正误。二次型在正交变换下一定化为标准型。<>已知为阶矩阵,为维列向量,如果不对称,则不是二次型。〔二次型的秩为,则3。〔用正交变换把下列二次型化为标准型,写出正交变换的矩阵和该二次型的正负惯性指数及符号差。〔1解：=1\*GB3①先写出对应的对称方阵。,=2\*GB3②求的特征值。由,得,,。=3\*GB3③求对应的特征向量,得,,。=4\*GB3④把正交化单位化得,,。所求的正交变换的矩阵为,惯性指数为。符号差为。〔2〔3解：§3用配方法化二次型为标准型用配方法化二次型为标准型并写出所用的变换矩阵。1．解：,先把配出一个完全平方。于是继续把配成一个完全平方。于是。于是令,,其中。。2．3．解：由于这里没有平方项,先作一次变换构造一个平方项来。得,,。然后再用前法,得变换。最终为所求的变换。§4正定二次型判断正误。〔1若为阶实对称矩阵,且二次型正定,则的特征值全为正。<〔2若为阶实对称矩阵,且二次型正定,则的一切顺序主子式全为正。〔〔3若为阶实对称矩阵,且二次型正定,则的主对角线上的元素全为正。〔〔4若为阶实对称矩阵,且二次型正定,则对一切维列向量,全为正。〔判别二次型的正定性。〔1解：写出对应的方阵,计算的顺序主子式或特征值可知二次型的正定性。〔2解：求的取值范围,使为〔1正定的；〔2负定的。解：为阶实对称矩阵,的特征值的全体为,则当的取值范围为时,正定。原因是。证明：为阶正定矩阵,则。证明：〔提示：方阵的行列式等于其所有的特征值的积为阶实对称矩阵,如对任意维向量,有,则。证：为阶实对称矩阵,故存在正交矩阵,使得其中,是矩阵的特征值。,对,由可逆知道存在,满足故设为可逆方阵,,证明为正定二次型。证明：,当时,〔为什么？。故为正定二次型。为阶正定矩阵,证明存在可逆矩阵,使得。证明：为阶正定矩阵,则存在正交矩阵,使得,其中。取即可。二次型通过正交变换化为。求；〔2当时,的最大值为5。解：〔1二次型所对应的矩阵的特征值为。当时,,原因是。又。的最大值为5。自测题一一、判断题<正确填T,错误填F。每小题2分,共10分>1．若,则有或。〔2．A、B是阶方阵,则。〔3．设是矩阵,若有无穷多解,则非零解。〔4．若向量组线性相关,则存在一向量可以由其它向量线性表出。〔5．设A、B是阶实对称矩阵,且有相同的特征值,则与相似。〔二、填空题〔每小题5分,共30分1．计算阶行列式=。2．为3阶矩阵,为伴随矩阵,,则=。3．设,,则=。4．已知,为三阶非零矩阵,且,则时,。5．若,则当=时,线性相关。6．若均为正交矩阵,并且,则。三、计算下列各题〔每小题10分,共50分。设为三阶矩阵,为三阶单位矩阵,满足：,其中,求矩阵。已知向量组。〔1求；〔2求向量组的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。讨论为何值时,方程组无解？有唯一解,无穷多解？4．设三阶方阵的特征值为：,。求的特征值；求及的值。5．已知二次型通过正交变换化成标准型,求参数及所用的正交变换矩阵。四．证明题〔每小题5分,共10分。1．若,则的充要条件是。2．设为阶实对称矩阵,讨论t为何值时,为负定矩阵。自测题二一．填空题<每小题2分,共10分>1．已知的特征值全为1,则________,。2.已知,则_______。3.已知,则________。4已知四阶方阵且线性无关,。则方程组的通解为。5.已知,,则。二.单项选择题<每小题2分,共10分>1.已知线性无关,则下列向量组中一定线性无关的是〔。<A>,,；