三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。每条边上所对应的中线的交点;垂心：AA5C中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：AA5C中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）；外心：AA5C中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。一、重心1、。是A48C的重心O次+而+5?=6.•.—♦若。是AA8C的重心，则ABOC=AAOC=AAO6=—AA6。故04+06+。。=。，3PG=；(PA+P8+PC)OG为A48C的重心.—1...2、"是△48C所在平面内任一点.G是△48C的重心aPG=-{PA+PB+PC).证明：PG=PA+AG=PB+BG=PC+CG3PG=(AG+BG+CG)+(PA+~PB+PC)•・・G是△彳宓的重心：.GA+GB+GC=0^>AG+BG+CG=0, 3PG=PA+PB+PC由此可得PG=；（PA+P8+PC）.（反之亦然（证略））3、已知。是平面上一定点，A8C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+A（AB+AC）,4e（0,+s）,则P的轨迹一定通过△A6C的重心.例1若。为AA8c内一点，OA+OB+OC=6,则。是的（ ）A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心

二、垂心1、。是A48C的垂心o3・08=O5・OC=OA・OC若。是A48C（非直角三角形）的垂心，则古攵tanAOA+tanBOB+tanCOC=62、，是面内任一点，苏•丽=而屈=沅屈0点，是4彳宓的垂心.由瓦•班=丽・阮。班.（阮-丽=0U＞麻•n=0U＞麻，记同理比_L而，豆_1_就.故H是AA8C的垂心.（反之亦然（证略））3、尸是6c所在平面上一点，若丽•丽=丽・正=正•京，则尸是△?16c的垂心.由b4-p分=。反。弓，得pQ・（pA—pd）=o,即尸从c4=o,所以p^_lc4.同理可证定，A月，PA±BC.P是可证定，A月，PA±BC.P是△?16c的垂心.如图1./］、：1图14、已知。是平面上一定点，AB,—— AB ACOP=OA+A —+——ABcos6ACcosC\/△A6c的垂心.例2P是4ABC所在平面上一点，弓,Ao图⑷C是平面上不共线的三个点，动点尸满足,2G（0,+co）,则动点尸的枕迹一定通过^PAPB=PB-'PC=PCPAf则P是4ABC的()A.外心B.A.外心B.内心 C.重心D.垂心三、内心1、。是M8C的内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记就,乱的单位向量为H，［,则刚才0是AA8c的内心的充要条件可以写成QA.1+s)= +ej=OC^(e2+6)=。2、。是M8c的内心的充要条件也可以是。•加+/?•历+c・5?=6。3、若。是AABC的内心,则Smou:S'M:Sl=a\b.c故a•OA+b•OB+c•OC=G或者sinA•g+sin5•05+sinC•OC=6；4、已知/为6c所在平面上的一点，且A8=c,AC=b,BC=a.若aIA+bIB^cIC=O9则/是/XABC的内心.•••岳=M+丽，IC=IA+AC,则由题意得(4+/?+c)M+Z?而+c比=0,ABACVbAB+cAC=|ac|-AB+网・Ad=卜］.网•ABAC・・,雪与普分别为血和北方向上的单位向量,，府与N6AC平分线共线，即4平分/84C.同理可证：5/平分NA8C,C7平分NAC8.从而I是AABC的内心,如图。OP=OA+^AB网+（A）OP=OA+^AB网+（A）外心（B）内心（C）重心CD）垂心••・当几£（0,+8）时，心表示NB4C的平分线所在直线方向的向量，故动点尸的轨迹一定通过△A8C的内心，如图。例3。平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足4C r——-）,4e［。,+8）则P点的轨迹一定通过A48C的（AC四、外心1、0是A48C的外心U>|万=|方卜|5?|,若0是AABC的外心则=sinZBOC:sinZAOC:sinZAOB=sin2A:siii2B:sin2C故sinAOA+siiiBOB+sinCOC=6o2、,3、已知。是△A6C所在平面上一点，若灰=灰=赤，则。是6c的外心.若0A2=OB=oc\则|oA|2=|o^|2=|oc|2,|函卜|丽卜|瓦.则0是AABC的外心，如图1。3、已知O是平面上的一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点P满足AB,/G(0,+co)AB,/G(0,+co),则动点尸的轨迹一定通2过△A6C的外心，例4若。为AA8C内一点，侬卜的则。是AA8C的( )A.内心 B.夕卜心 C.垂心 D.重心ABcos6ACcosC如图2o关于“欧拉定理”的一些问题：著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。例5在4ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG：GH=1:2。证明：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B(xi,0)、C(x2,y2),D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：D(*0)、七4卢，争、尸。，争由题设可设。(手,外)、JBC=(x2-xl,y2)-AHIBC:.AH•BC=x2(x2-xl)+y2y4=0x^x.-xj・・・,、=---力\QFLAC：,QF.AC=x2^-^)+y2(^-y.)=0••力x2••力x2(x2-xj)\ 1 2y2QH=(x2QH=(x2_寸,y4_y3)=(2x2T1 3x2(x2-xjx2(x2-Xl)y2x2(x2-Xl)y2z2x,-x.=；西■ -T)=6%・1z2x.-x.-(-= -3 23a\(x2-xjy22%・即。〃=3。@,故。，G、，三点共线，且。G:GH=1：2例6.若0、，分别是△ABC的外心和垂心.求证OH=OA+OB+OC.证明若AABC的全心为H,外心为0,如图.连80并延长交外接圆于。，连结4?,CD.AADIAB,8_L8C.又垂心为，，AHYBCfCHA.AB,：.AH//CD,CH//AD,.,・四边形4/a?为平行四边形，•\ah=dc=B3+5c,古攵而=3+而=次+五+5?.“欧拉定理”简化:—*1—*OG=-OH

3例7设0、—*1—*OG=-OH

3证明按重心定理G是△48C的重心q53=1(tt4+55+oc)按垂心定理OH=OA+OB+OC}由此可得OG=-OH.3补充练习一：.已知A、B、。是平面上不共线的三点，。是M8C的重心，动点夕满足TOC\o"1-5"\h\z■1 1 .1 » .OP二一(―。4+―O8+2OC),则点夕一定为A45C ()3 2 2边中线的中点 边中线的三等分点（非重心）C.重心 边的中点.在同一个平面上有AABC及一点0满足关系式：OA2+BC2=OB2+AC2=OC2+AB2,则。为AABC的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心.j.已知AABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA+PB+PC=O1则P为AABC的 （）A外心B内心C重心D垂心.已知0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足:op=5a+a（a3+ac）,则p的轨迹一定通过aabc的（ ）A外心B内心C重心D垂心.已知AABC,P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：PA^PC+PA^PB+PB^PC=O,则P点为三角形的（ ）A外心B内心C重心D垂心已知△ABC,P已知△ABC,P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：a-PA+bPB+c^PC=0则P点为三角形的（）A外心B内心C重心D垂心.在三角形ABC中，动点P满足：CA=CB2-2AB^CP9则P点轨迹一定通过 △ ABC（）A夕卜二B内心C重心D垂心7.已知非零向量而与太满足扁词同同A.三边均不相等的三角形C.7.已知非零向量而与太满足扁词同同A.三边均不相等的三角形C.等腰非等边三角形B.直角三角形D.等边三角形8.).AA5c的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为^.OH=m(OA+OB+OC),则实数m=o点0是AA/C所在平面内的一点，满足砺•砺=5瓦1=5E・方，则点。是AA3C的0A三个内角的角平分线的交点 B三条边的垂直平分线的点C三条中线的交点 D三条高的交点.已知点G是AA5C的重心，过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=xA6,SV=yAC,则，+_1=3。xy证点G是MBC的重心，^GA+GB+GC=0,^-AG+(AB-AG)+(AC-AG)=0,有而=；(而+衣)。又M,N,G三点共线(A不在直线MN上)，于是存在九4，使得而=4而？+//丽(且％+4=1),有AG=AxAB+pyAC=^(AB+AC),p+〃=l1，于是得±+±=3。/U=/<y=- vy补充练习二:1、已知。是AABC内的一点，若552=无2=5?2,则0是△AB（^q〔〕A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心2、在4ABC中，有命题①而—n=元；（2）AB+BC+CA=O；③若（AB+AC）＞（A5-AC）=0,则AABC为等腰三角形；④若丽＞0,则AA6c为锐角三角形，上述命题中正确的是〔〕A、①② B、①④ C、②③ D、②③④3、已知4ABC3、已知4ABC中，有=试判断4ABC的形2状。4、已知4ABC中，AB=a,BC=b,B是AABC中的最大角，若3・3＜0,试判断4ABC的形状。5、已知。是AABC所在平面内的一点，满足|豆（+|明2二|历『+|回？二|引？十|蕊（，则0是△从8（｝的〔〕A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心6、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足OP=OA+A/_\亚+亚属同OP=OA+A/_\亚+亚属同,46（0,+s）,则动点P一定过4ABC的〔A、重心 A、重心 B、垂心7、已知0为平面内一点，A、B、C、外心 D、内心C平面上不共线的三点，动点P满足丽=砺+4（而+丽=砺+4（而+1■可Us（O,-hz））,则动点P的轨迹一定通过4ABC的〔〕A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心8、已知。是AABC所在平面内的一点，动点P满足OP=OA+AABACA、重心,小058OP=OA+AABACA、重心,小058|ac|cosCB、垂心,2£（0,+8）,则动点P一定过AABC的（：〕C、外心D、内心9、已知。是AABC所在平面内的一点，动点P满足而JB+OC2而JB+OC2（0,+8）,则动点P一定过AABC的〔〕A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心10、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且 --——► I1AM=x^AB.AN=y•AC,求证：—+—=3补充练习三：1、已知。是AABC内的一点，若加+而+5?=6,则。是△人8。的〔〕A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心2、若4ABC的外接圆的圆心为0,半径为1,且次+而+云=6,则方♦历等于〔〕