人教版九年级数学上册第二十二章二次函数必解析试题（含答案及解析）

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数必考点解析

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷(选择题30分)

一、单选题(10小题，每小题3分，共计30分)

1、矩形的周长为12cm,设其一边长为xcm,面积为yen?,则y与x的函数关系式及其自变量x的取

值范围均正确的是()

A.产-x?+6x(3cx<6)B.尸-*+12x(0<x<12)

C.y=-y+12x(6<x<12)D.y=-Z+6%(0<^r<6)

2、已知抛物线产-/+4X+0经过点(4,3),那么下列各点中，该抛物线必经过的点是

()

A.(0,2)B.(0,3)C.(0,4)D.(0,5)

3、某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y(件)与

销售单价x(元)之间满足函数关系式y=-5x+550,若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利

润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？()

A.90元，4500元B.80元，4500元

C.90元，4000元D.80元，4000元

4、在平面直角坐标系》。丫中，对于点尸①向，若必>0,则称点尸为“同号点”，下列函数的图象上

不存在“同号点”的是()

A.y=-2x+3B.y=x2-2xC.y=--D.y=x2+-

xx

5、关于函数y=2（x+3y+1,下列说法：①函数的最小值为1；②函数图象的对称轴为直线＞=

3；③当入20时，y随x的增大而增大；④当后0时，y随x的增大而减小，其中正确的有（）

个.

A.1B.2C.3D.4

6、北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1）,它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢

拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）

在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A,B两点，拱高为78米（即最高点0到AB的距离为

78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点0为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直

角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（）

尸至d262「132n13

A.nBC.y=---xD.y=-----x2

675-13501350

7、已知函数尸奴-7x-7的图象和x轴有交点，则左的取值范围是（）

7777

A.k>B.k>~-C.-北且杼°DJ>-w且2。

44

8、二次函数y=ax2+，x+c的图象如下左图，则一次函数y=or+b2-44c与反比例函数y=---.在

X

同一坐标系内的图象大致为（)

9、使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：疝）与旋钮的旋转角度x（单位：度）

（0<x<90）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（aW0）.如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋

钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃

气的旋钮角度约为（）

A.18°B.36°C.41'D.58,

10、二次函数），="2+汝+1的图象与一次函数丫=2以+匕在同一平面直角坐标系中的图象可能是

()

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知二次函数y=Y+云+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表:

X.・•-i01234…

y…1052125・•・

A（m-4,yJ,8（加+6,%）两点都在该函数的图象上，若）i=%，则卬的值为_______.

2、已知二次函数y=（x-l）2+3,当x=时，y取得最小值.

3、如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=a/；②尸力/；③尸eV；®y=d^.则

a、b、c、d的大小关系为.

4、已知四个二次函数的图象如图所示，那么a”a?,a”a”的大小关系是.（请用“〉”连接排

序）

5、如图为二次函数y=o?+6x+c的图象，根据图象可以得到方程以2+笈+,=0的一个根在

与——之间，另一个根在__与—_之间.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知抛物线y="+c（a30）过点尸（3,己知（1,4）.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点4在直线PQ上且在第一象限内，过力作轴于6,以A8为斜边在其左侧作等腰直角

ABC.

①若/与0重合，求。到抛物线对称轴的距离；

②若。落在抛物线上，求C的坐标.

2、顶点为D的抛物线y=-x?+bx+c交x轴于A、B(3,0),交y轴于点C,直线y=-Wx+m经过点

4

C,交x轴于E(4,0).

(1)求出抛物线的解析式;

⑵如图1,点M为线段BD上不与B、D重合的一个动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N,设点M的

横坐标为x,四边形0CMN的面积为S,求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；

3

(3)点P为x轴的正半轴上一个动点，过P作x轴的垂线，交直线y=-7x+m于G,交抛物线于H,

连接CH,将aCGH沿CH翻折，若点G的对应点F恰好落在y轴上时，请直接写出点P的坐标.

3、“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量)’

(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示.

(1)求)与x之间的函数关系式；

(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最

大，最大利润是多少？

(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后

每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.

4、已知函数丫=(|=|-1谓+0+1)*+3.

(1)若这个函数是一次函数，求皿的值

(2)若这个函数是二次函数，求〃?的取值范围.

5、综合与探究

如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线/的函数表达式为尸-白川+］户4.抛物线甲与x轴交

于46两点(点6在点力的右侧，与y轴交于点G它的对称轴与x轴交于点〃直线/经过GD

两点.

(1)求4、6两点的坐标及直线/的函数表达式.

(2)将抛物线/沿x轴向右平移得到抛物线”，设抛物线/的对称轴与直线/交于点E当

为直角三角形时，求点尸的坐标，并直接写出此时抛物线俨的函数表达式.

⑶如图2,连接4GCB,将①沿x轴向右平移m个单位（0<勿<5）,得到△"C.设"C

交直线/于点MCD'交应于点M连接CC,,楙：求四边形容四仁的面积（用含m的代数式表

示）.

图1图2

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

已知一边长为xcm,则另一边长为（6-x）cm,根据矩形的面积公式即可解答.

【详解】

解：已知一边长为xcm,则另一边长为（6-x）cm.

则y=x（6-x）化简可得y=-x46x,（0<x<6）,

故选：D.

【考点】

此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是用x表示出矩形的另一边，此

题难度一般.

2、B

【解析】

【分析】

将已知点的坐标代入y=-/+4x+c确定抛物线的解析式，再计算出自变量为0时所对应的函数值即

可求解.

【详解】

解：：抛物线%--+4》+,经过点(4,3),

・13=—16+16+c,

/.c=3,

物线的解析式为：y=-d+4x+3,

•.•x=0时，y=3,

抛物线必经过的点是(0,3).

故选：B.

【考点】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，解题的关键是明

确题意，利用二次函数的性质解答.

3,B

【解析】

【分析】

设每月所获利润为w,按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可.

【详解】

解：设每月总利润为%

依题意得：w=y(x-50)

=(-5x+550)(%-50)

=-5x2+800%-27500

=-5(x-80尸+4500

v-5<0,此图象开口向下，又xN50,

・・・当x=80时，卬有最大值，最大值为4500元.

故选：B.

【考点】

本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解

题的关键.

4、C

【解析】

【分析】

由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此判断即可.

【详解】

解：由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，

函数y=-*的图象在二、四象限，不满足条件，

X

故选：C.

【考点】

本题考查了反比函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质.可以用特值法进行快速的排除.

5、B

【解析】

【分析】

根据所给函数的顶点式得出函数图象的性质从而判断选项的正确性.

【详解】

解：Vy=2(x+3)2+1,

.•.该函数图象开口向上，有最小值1,故①正确；

函数图象的对称轴为直线x=-3,故②错误；

当xNO时，y随片的增大而增大，故③正确；

当x<-3时，y随x的增大而减小，当-3<x<0时，y随x的增大而增大，故④错误.

故选:B.

【考点】

本题考查二次函数的性质，解题的关键是能够根据函数解析式分析出函数图象的性质.

6、B

【解析】

【分析】

设抛物线解析式为y=ax2,由已知可得点B坐标为(45,-78),利用待定系数法进行求解即可.

【详解】

•••拱高为78米(即最高点0到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点0为坐标原

点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，

•••设抛物线解析式为y=ax,点设45,-78),

.".-78=452a,

解得：a=-尝:，

.•.此抛物线钢拱的函数表达式为y=-言

675

故选B.

【考点】

本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

7、B

【解析】

【分析】

对％分情况进行讨论，左=0时，为一次函数，符合题意；女工0时，二次函数，求解即可.

【详解】

解：当左=0时，函数为y=-7x-7,为一次函数，与x轴有交点，符合题意；

当�,函数为y=^2-7x-7,为二次函数，

因为图像与x轴有交点

7

所以，A=(-7)2+4X7^>0,解得女之一;且ZWO

4

7

综上，k>

4

故选B

【考点】

此题考查了二次函数与X轴有交点的条件，解题的关键是对&分情况进行讨论，易错点是容易忽略

女=0的情况.

8、C

【解析】

【分析】

根据二次函数图像，确定二次函数系数的符号，再确定一次函数与反比例函数的系数，即可求得.

【详解】

解：二次函数图像开口向上，得到。＞0

二次函数图像与X轴有两个交点，得到〃一4双＞0

二次函数的与y轴交点在x轴的下方，得到cvo

二次函数的对称轴x=-《＞。，得到

2a

：.h+c＜0

・••一次函数丁=以+"-4〃。图像经过一、二、三象限

反比例函数的图像经过二、四象限

X

故选：C.

【考点】

此题主要考查了一次函数、反比例函数与二次函数图像与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关

键.

9、C

【解析】

【分析】

根据已知三点和近似满足函数关系产户c(aWO)可以大致画出函数图象，并判断对称轴位置在

36和54之间即可选择答案.

【详解】

解：由图表数据描点连线，补全图象可得如图,

抛物线对称轴在36和54之间，约为41°C,

.•.旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41c时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气，

故选C,

【考点】

本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数图象的对称性质，判断对称轴

位置是解题关键，综合性较强，需要有较高的思维能力，用图象法解题是本题考查的重点.

10、A

【解析】

【分析】

先分析二次函数丫=以2+法+1的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数y=2ar+8的图像恒过定

h

点(_?,()),即可得出正确选项.

2a

【详解】

二次函数卜=62+法+1的对称轴为》=-二，一次函数y=2ar+匕的图像恒过定点(-二,0),所以一次

2a2a

函数的图像与二次函数的对称轴的交点为只有A选项符合题意.

2a

故选A.

【考点】

本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数

y=2奴+b的图像恒过定点（-上,0）,本题蕴含了数形结合的思想方法等.

二、填空题

1、1

【解析】

【分析】

根据表中的对应值得到X=1和x=3时函数值相等，则得到抛物线的对称轴为直线x=2,由于yi=yz,所

以A（m-4,yJ,8（〃?+6,），2）是抛物线上的对称点，则2-（m-4）=加+6-2,然后解方程即可.

【详解】

解:,.,x=l时,y=2；x=3时，y=2,

.•.抛物线的对称轴为直线x=2,

8（〃?+6,%）两点都在该函数的图象上，yi=yz,

.•.点A（〃[-4,y）,8（〃?+6,必）是抛物线上的对称点，

/.2-（/M-4）=〃?+6-2,

解得：m=\.

故答案为：1.

【考点】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.

2、1

【解析】

【分析】

根据抛物线的顶点坐标和开口方向即可得出答案.

【详解】

解：•.•y=(x-i)2+3,

,该抛物线的顶点坐标为(1,3),且开口方向向上，

当》=1时，y取得最小值，

故答案为：1.

【考点】

本题考查二次函数的最值，求二次函数最大值或最小值有三种方法：第一种可有图象直接得出，第二

种是配方法，第三种是公式法.

3、a>b>d>c

【解析】

【分析】

设x=l,函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小.

【详解】

因为直线x=l与四条抛物线的交点从上到下依次为(1,a),(1,b),(1,d),(1,c),

所以，a>b>d>c.

【考点】

本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小.

4、&>a?>a_y>a,

【解析】

【分析】

直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案.

【详解】

解：如图所示：①y=a^?的开口小于②尸aX的开口，则a/>a?>0,

③尸aN的开口大于④y=a，的开口，开口向下，贝Ua.,<a3<0,

故a：>a-，>a3>a.,.

故答案是：a2>a3>at.

【考点】

考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键.

5、-1023

【解析】

【分析】

观察图象可得：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有两个，一个在T与0之间，另一个在2

与3之间；然后由二次函数与一元二次方程的关系，即可求得答案.

【详解】

•..二次函数y=ox2+bx+c的图象与x轴的交点有两个，一个在T与0之间，另一个在2与3之间；

.,.方程or?+bx+c=0的一个根在T与0之间，另一个根在2与3之间.

故答案为T,0,2,3.

【考点】

此题考查了图象法求一元二次方程的近似根的知识.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.

三、解答题

1、(1)?=(2)①1；②点C的坐标是［2,|)

【解析】

【分析】

9。+c=o

(解方程组即可；

{a+c=4,

(2)①根据4?=4,斜边上的高为2,0的横坐标为1,计算点。的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②

根据直线闾的解析式，设点力(勿，-2研6)，三角形/比1是等腰直角三角形，用含有加的代数式表示

点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.

【详解】

传。+c=0

解：(1)将尸(3,0)、。(1,4)两点分别代入〉=奴2+小得’

[a+c=4,

19

解得a=_q,c=彳.

22

1Q

所以抛物线的解析式是y=-]/+].

(2)①如图2,抛物线的对称轴是y轴，当点4与点。(1,4)重合时，AB=4,

作CHJ.AB于//.

•••AABC是等腰直角三角形，

：.4CBH和AC4W也是等腰直角三角形，

：.CH=AH=BH=2,

.•.点。到抛物线的对称轴的距离等于1.

3Z+b=0,

②如图3,设直线倒的解析式为广24由尸(3,0)、Q。,4),得

左+6=4,

解得之；

也=6,

・♦・直线PQ的解析式为y=-21+6,

设A(m,—2m+6),

・•43=~2团+6,

所以CH=BH=AH=-m+3.

所以%=一m+3,%=一(一加+3-加)=2m-3.

1.o

将点C(2加一3,一m+3)代入y=_Q厂+3,

1Q

彳导-m+3=——(2m-3)2+-.

22

整理，得2，»-7初+3=().

因式分解,得(2加一1)(--3)=0.

解得相=g，或，〃=3(与点户重合，舍去).

当机=，时,2/M-3=1-3=-2,-/M+3=--+3=-.

222

所以点C的坐标是卜2§).

【点评】

本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的

解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键.

2、(l)y=-x，2x+3；(2)S=-(x-y)2^；当x=：时，S有最大值，最大值为弓；(3)存在，点

416416

P的坐标为(4,0)或弓，0).

【解析】

【分析】

(1)将点E代入直线解析式中，可求出点C的坐标，将点C、B代入抛物线解析式中，可求出抛物线

解析式.

(2)将抛物线解析式配成顶点式，可求出点D的坐标，设直线BD的解析式，代入点B、D,可求出

直线BD的解析式，则MN可表示，则S可表示.

(3)设点P的坐标，则点G的坐标可表示，点H的坐标可表示，HG长度可表示，利用翻折推出CG=

HG,列等式求解即可.

【详解】

(1)将点E代入直线解析式中，

3

0=—X4+m,

4

解得m=3,

3

，解析式为y=-=x+3,

4

AC(O,3),

VB(3,0),

[c=3

则有八C",

[0=-9+3b+c

,[b=2

解A得二，

[c=3

抛物线的解析式为:y=-X2+2X+3；

(2)Vy=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

4),

设直线BD的解析式为y=kx+b,代入点B、D,

J3&+匕=0

[k+b=4'

依=一2

解得八r,

...直线BD的解析式为y=-2x+6,

则点M的坐标为(x,-2x+6),

.*.S=(3+6-2x)*x*；=-(x--)2+—,

2416

...当x=J9时，S有最大值，最大值为831.

416

(3)存在，

如图所示,

设点P的坐标为(t,0),

3

则点G(t,-—t+3),H(t,-t2+2t+3),

4

311

AHG=|-t2+2t+3--1+3)|=t2--t

44

CG=+(一,+3-3)2=;t，

•••△CGH沿GH翻折，G的对应点为点F,F落在y轴上,

而HG〃y轴，

；・HG〃CF,HG=HF,CG=CF,

ZGHC=ZCHF,

，NFCH=NCHG,

AZFCH=ZFHC,

JZGCH=ZGHC,

.,.CG=HG,

当vt=7t时，

44

解得七=0(舍)，t2=4,

此时点P(4,0).

当时,

44

3

解得ti=0(舍)，t2=y,

3

此时点P(；,0).

3

综上，点P的坐标为(4,0)或弓，0).

【考点】

此题考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数结合的问题，最

后一问推出CG=HG为解题关键.

3、(1)y=-10x+700；(2)单价为46元时，利润最大为3840元.(3)单价的范围是45元到55元.

【解析】

【分析】

(1)可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；

(2)根据利润=销售量X单件的利润，然后将(1)中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间

的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；

(3)首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，

求出x的取值范围.

【详解】

40k+b=300k=-10

(1)由题意得:554+〃=150=[b=700

故y与x之间的函数关系式为：y=T0x+700,

(2)由题意，得

-10x+700^240,

解得xW46,

设利润为卬=(x-30)•产(x-30)(-lOx+700),

w=-10x2+1000x-21000=-10(x-50)2+4000,

V-10<0,

.,.x<50时，w随x的增大而增大，

；.x=46时,w*=-10(46-50)2+4000=3840,

答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；

(3)w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600,

-10(x-50)J-250,

x-50=+5,

Xi=55,X2=45,

如图所示，由图象得：

当45WxW55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元.

【考点】

此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值

是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点.

4,（1）〃？=1；（2）m±1

【解析】

【分析】

（1）根据一次函数的定义即可解决问题；

（2）根据二次函数的定义即可解决问题；

【详解】

解：（1）由题意得，，"，八解得加=1；

“7+1x0

（2）由题意得，|，〃|-1片0,解得加工1且，1.

【考点】

本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，（1）根据二次项的系

数等于零，一次项的系数不等于零；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得

答案.

5、（1）点力坐标为（-3,0）,点8的坐标为（7,0）,尸-2户4；（2）点尸的坐标为（5,-6）,y=

4方40x；（3）四边形切阳的面积为4浮

【解析】

【分析】

根据抛物线的解析式，令尸0即可求出两点的坐标.根据抛物线的解析式可分别求出G〃两点的坐

标，再用待定系数法即可求出直线的表达式.

根据题意，利用角的等量关系可以得到N1=N3,进而得到tanNl=tanN3,根据三角函数的计算

方法列出等式，根据一次函数的解析式设点尸的坐标为（xE-2x^+4）,将各线段的长度代入等式

即可求出点的坐标，再根据平移的法则即可求出”的表达式.

根据平移，可以得到点^,A',D'的坐标，再根据待定系数法可以得到直线/C,BC,CD'

的解析式，根据交点的计算方法列方程组可以求得点M,N的坐标，根据平移的定义和平行四边形的

定义可知四边形CW是平行四边形，再根据平行四边形面积的计算方法可以得到平行四边形

CMNC的面积.

【详解】

（1）当尸:0时，-+4