有理数的有关概念及运算

有理数的有关概念及运算【本讲教育信息】一.教学内容：期末复习1.有理数的有关概念及运算；2.整式的加减；3.一元一次方程及其应用；4.图形认识初步.二.知识要点：1.有理数的基本概念有理数的概念①形如eq\f(m,n)（m、n都是整数）的数叫做有理数.②数轴有三大要素：原点、单位长度和正方向.③相反数，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点分别在原点的两旁（或在原点），并且到原点的距离相等.④倒数（0没有倒数）.⑤一个数的绝对值，从数轴上看，就是这个数所对应的点到原点的距离.即如果数a在数轴上的对应点是A，那么，点A到原点O的距离就是a的绝对值，记作︱a︱.⑥科学记数法是有理数的一种记数形式，这种形式就是a×10n，它由两部分组成：a和10n，两者相乘，其中a大于或等于1，且小于10（即1≤a<10），它是由原来的小数点向左移动后的结果，也就是说，a与原数只是小数点位置不同.指数n是正整数，等于原数化为a时小数点移动的位数，用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数小1.⑦四舍五入后的近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的位数止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字.如：近似数有1、2、6三个有效数字，精确到十分位；有3、0、2、0四个有效数字，精确到十万分位；万有两个有效数字，精确到千位.2.有理数的基本运算（1）运算的法则因为一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以运算法则还应从符号和绝对值的确定两个方面来说明.有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数.减法法则可用加法法则来规定：a－b＝a＋（－b）.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0.除法可转化为乘法来计算：a÷b＝a×eq\f(1,b)（其中除数不能为0）.乘方的意义：an＝（n为正整数）.其中当a＝0时，an＝0；当a＞0时，an＞0；当a＜0时，若n为奇数，an＜0，若n为偶数，an＞0.（2）运算的顺序进行有理数的运算时，要遵循先乘方，再乘除，最后加减；对于同级运算，一般按从左到右的顺序进行；如果有括号的，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.3.整式的有关概念：（1）单项式数与字母的积构成的式子叫做单项式，如－eq\f(1,5)ab2c6是单项式，而eq\f(a2c,3b)，ab2＋bc不是单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式，如a，－x，5，0都是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，如－eq\f(1,5)ab2c6的系数是－eq\f(1,5).一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，如－eq\f(1,5)ab2c6的次数是9.（2）多项式和整式①几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.其中，不含字母的项叫做常数项.多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.如：多项式9x4－2x3＋xy＋1，它的项有：9x4、－2x3、xy、1，其中1不含字母是常数项，9x4的次数最高，这个多项式是四次四项式.②单项式和多项式统称为整式.（3）同类项①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，另外，所有的常数项都是同类项.②把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.4.整式的有关运算（1）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.（2）去括号的方法：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.5.方程的有关概念（1）含有字母的等式叫做方程.只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程.如：7－5x＝3，3（x＋2）＝4－x等都是一元一次方程.（2）使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.注：①方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值（或几个数值），而解方程是指求出方程的解的过程.②方程的解的检验方法：把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，比较两边的值是否相等.6.解方程的一般步骤（1）去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）（2）去括号（按去括号法则和分配律进行）（3）移项（把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号）（4）合并（把方程化成ax＝b（a≠0）形式）（5）系数化为1（在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝eq\f(b,a)）7.从不同方向看几何体8.初步认识图形的性质（1）直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.可简说成：两点确定一条直线.（2）线段公理：两点之间，线段最短.（3）如果点M是线段AB的中点，那么AM＝BM.（4）如果射线OM是∠AOB的平分线，那么∠AOM＝∠BOM.（5）同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.三.重点难点：1.重点：①有理数、整式的有关概念和运算方法；②一元一次方程的解法及应用；③和直线、射线、线段、角相关的性质.2.难点：和有理数整式相关的规律探索问题以及一元一次方程的应用.【考点分析】 这部分内容在中考中通常以选择题和填空题的形式出现，有时也有探究型的解答题，内容以有理数和一元一次方程最为常见.所占比重约8%.【典型例题】例1.完成下列各题： （1）（2022年武汉）小明家的冰箱冷藏室温度是5℃，冷冻室的温度是－2℃，则她家冰箱冷藏室温度比冷冻室温度高（） A.3℃ B.－3℃ C.7℃ D.－7℃ （2）（2022年河南）为支援四川地震灾区，中央电视台于5月18日晚举办了《爱的奉献》赈灾晚会，晚会现场捐款达1514000000元.1514000000用科学记数法表示正确的是（） A.1514×106 B.×108 C.×109 D.×1010 （3）（2022年湖北荆门）下列各式中，不成立的是（） A.︱－3︱＝3 B.－︱3︱＝－3 C.︱－3︱＝︱3︱ D.－︱－3︱＝3 （4）如图所示，∠1＝15°，∠AOC＝90°，点B、O、D在同一直线上，则∠2的度数为 （） A.75° B.15° C.105° D.165° （5）（2022年太原）计算：（－3）2的结果等于__________. （6）多项式3x＋2y与多项式4x－2y的差是__________. 解：（1）C（2）C（3）D（4）C（5）9（6）－x＋4y 评析：本题主要考查相反数、绝对值、科学记数法这些基本概念和有理数、角、整式的运算.例2.已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，并求线段AC的长. 分析：“在直线AB上画线段BC”.这就意味着要以B为所画线段的端点，而另一个端点既可能在线段AB上，也有可能在线段AB的延长线上. 解：有两种情况，如图所示.AC的长度为：AC＝AB＋BC＝8＋3＝11（cm）或AC＝AB－BC＝8－3＝5（cm）. 评析：本题易出现漏解，因此解题时，必须把满足条件的各种情况都考虑出来.例3.整理一批图书，由一个人做要40小时完成.现在计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 分析：这里可以把总工作量看作1.人均效率（一个人做1小时完成的工作量）为eq\f(1,40).由x人先做4小时，完成的工作量为eq\f(4x,40).再增加2人和前一部分人一起做8小时，完成的工作量为eq\f(8（x＋2）,40).这项工作分两段完成，两段完成的工作量之和为1. 解：设先安排x人工作4小时.根据两段工作量之和应是总工作量，得eq\f(4x,40)＋eq\f(8（x＋2）,40)＝1去分母，得4x＋8（x＋2）＝40去括号，得4x＋8x＋16＝40移项及合并，得12x＝24即x＝2答：应先安排2名工人工作4小时. 评析：解答本题要熟记以下关系式：基本量、基本数量关系：把总工作量看作单位“1”，工作量＝工作效率×工作时间.相等关系：各部分工作量之和等于1.例4.（2022年北京）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上.一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示.若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图是 （） 分析：蜗牛从点P绕圆锥爬行一周，从展开图上看就是从一点到另一点的问题，既然是最短路线，那路线肯定是线段.从选项C、D来看，如果还原成圆锥，这条线段与扇形两半径的交点还原后应重合，故选D. 解：D 评析：本题把“两点之间，线段最短”和立体图形的展开图结合起来考查有一定的难度，但抓住关键（最短路线是线段，围成圆锥线段两端点重合）问题便迎刃而解.【方法总结】1.数学从具体发展到抽象，从文字发展到符号，由静态发展到动态……，认知结构要发生根本变化.2.学会：（1）如何将文字语言转化为符号语言；（2）如何将推理思考过程用文字书写表达；（3）正确地由条件画出图形.【模拟试题】（答题时间：70分钟）一.选择题1.（2022年哈尔滨）哈市4月份某天的最高气温是5℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差（最高气温减最低气温）是 （） A.－2℃ B.8℃ C.－8℃ D.2℃2.（2022年河南）计算(－1)3的结果是 （） A.－1 B.1 C.－3 D.33.（2022年安徽）2022年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法可表示为 （） A.×106 B.×106 C.×107 D.×107*4.已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使AC＝2BC，在AB的反向延长线上取一点D，使DA＝2AB，那么线段AC是线段DB的（）倍.A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,2) C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)**5.两个角的大小之比是7∶3，它们的差是72°，则这两个角的关系是 （）A.相等 B.互余 C.互补 D.无法确定6.利用一副三角板上已知度数的角，不能画出的角是 （）A.15° B.135° C.165° D.100°7.下列各式中，正确的是 （）A.3a＋b＝3ab B.23x＋4＝27xC.－2（x－4）＝－2x＋4 D.2－3x＝－（3x－2）8.下列各式中，不是方程的是 （） A.x＝1 B.3x＝2x＋5 C.x＋y＝0 D.2x－3y＋19.（2022年武汉）如图，桌上放着一摞书和一个茶杯，从正面看的图形是 （）*10.（2022年云南）在下面的图形中，不是正方体表面展开图的是 （）二.填空题1.甲数x的eq\f(1,3)与乙数y的eq\f(1,2)的差可以表示为__________.2.开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿，一列课桌就摆在一条线上了，整整齐齐，这是因为__________.3.计算：－5×(－2)3＋(－39)＝__________.4.近似数×105精确到__________位，有效数字是__________.5.今年母亲30岁，儿子2岁，__________年后，母亲年龄是儿子年龄的5倍.6.计算72°35′÷2＋18°33′×4＝__________.*7.已知点B在线段AC上，AB＝8cm，AC＝18cm，P、Q分别是AB、AC中点，则PQ＝__________.*8.如图，A、O、B是同一直线上的三点，OC、OD、OE是从O点引出的三条射线，且∠1∶∠2∶∠3∶∠4＝1∶2∶3∶4，则∠5＝__________.三.解答题1.计算：(－2)4÷(－2eq\f(2,3))2＋5eq\f(1,2)×(－eq\f(1,6))－2.（x3－2y3－3x2y）－（3x3－3y3－7x2y）3.解方程：eq\f(2－x,2)－3＝eq\f(x,3)－eq\f(2x＋3,6)4.在数轴上表示数：－2，22，－eq\f(1,2)，0，1eq\f(1,2)，－.按从小到大的顺序用“＜”连接起来.四.探究题1.找朋友，手拉手.用数学的眼光去观察问题，你会发现很多图形都能看成是动静结合，舒展自如的.下面所给的三排图形都存在着某种联系，用线将它们连起来.**2.下面是小马虎解的一道题题目：在同一平面上，若∠BOA＝70°，∠BOC＝15°求∠AOC的度数.解：根据题意可画出图形，因为∠AOC＝∠BOA－∠BOC＝70°－15°＝55°∴∠AOC＝55