分析第二章第二节集合的势

第二章函数、函数的极限与函数的连续性第二节集合的势（集合中元素个数的计数法，阵势，架势，形势）一、集之间等势的概念及性质设A与B是两个集合，如果存在一个由A到B上的一对一的映射，我们就称集A与B有相同的势，或者说A与B等价，用A~B来表示。这就在某些集之间建立了一种关系。例如正整数集N*，正偶数集A，正奇数集B，显然有N*~A，N*~B。很明白，刚才定义的关系具有下列性质：自反性：A~A；对称性：A〜B，则B〜A；传递性：若A~B且B~C，则A〜C。二集中元素个数的计数法我们给出如下的定义：定义2.8令N*是正整数的全体，且N{1,2,,n}n如果存在一个正整数n，使得A〜N，那么A叫n做有限集。空集也被认为是有限集。如果集a不是有限集,称A为无限集。若A〜N*，则称A为可数集(或可列集)。若a既不是有限集，也不是可数集，则称A为不可数集。若A是有限集或者A是可数集，则称A是至多可数的。对于两个有限集A与B,显然，A与B有相等的势的充分必要条件是它们的元素个数相同。但是，对于无限集而言，“元素个数相同”这样的话就变得十分含混。而一一对应的概念是明确的、毫不含糊的。在有限集之间，利用一一对应可以完全决定出元素个数的多寡。设想在一个大礼堂中，恰有2000个座位，在一次演出中所有座位都有观众坐着，并且还有人站着，我们立刻知道到场的观众多于2000；如果不但没人站着而且还有位子空着，便知道到场的人数不足2000。只有当既没有空着的位子又没有站着的人的时侯，观众的人数正好是2000。由此可见，集合的势是有限集中“元素个数”这一概念的推广，并且“势”是一切互相等价的集合中惟一共有的属性。利用一一对应可以完全决定出元素个数的多寡在社会生活中的智慧闪现。在原始社会或现在一些地方部落，没有更大数的概念（也不会数数），但他们在大量的物对物的交换中，仍能使交换顺利进行他们是用了一个物对另一个物的一次次交换。两个盲人或在黑暗中的两个人分东西，他们就用一人取一次的回合方法取下去，照样能把东西平分了。据传说少林寺的塔林中，大大小小的塔密密麻麻分布不均匀，很多人都数不过来。有一次一个草莽将军，想要少林寺出人帮助他去打仗，少林寺主持人想知道他是不是有头脑能成事。主持提了个条件，若将军能数出塔的确切数，就能出人相助。将军就回去问军师，军师出了个主意。让他的大队士兵开进搭林，一个士兵抱着一个塔，把塔全部抱完，然后命令抱塔的士兵，全部走出塔林，列队点人数，就得到塔的数。主持一看，这个草莽将军不简单有勇有谋，就派庙里和尚去协助将军打仗。据传说，一个聪明村的十个人去村边河里一处深水潭洗澡，洗完澡，他们要回去时，清点人数谁数都是九个人，他们就急了，认为有人被淹死了，正好有一个外村人路过这里，看到发生的一切，他们就请这外村人帮忙。外村人说，你们每人都爬到沙地上，用鼻子在沙滩上磨出血，被淹的人就出来了，结果一数沙滩上的血迹，正好是十处。建立两个集合间的一一对应，通过一个已知集中元素的个数，就能找出另一个难找或不好找的集中元素的个数。据说卢沟桥上的石狮子数（大的大，小的小，有的狮子全身爬着，抱着，压着多个小狮子），苏州狮子林中的狮子数，故宫博物院内的房间数，一般人也是很难数准确的。若用一一对应，帖标签的方法，就能数出准确的个数来。大家还会举出一些有智慧趣味的例子来。阿凡提的故事之一：有一个国的国王，要求阿凡提说出天上星星的个数。阿凡提说：陛下，天上的星星数和我牵的毛驴身上的毛一样多，您数一数毛驴身上的毛就行了。俗语：“一个萝卜一个坑”，亦是一对一，等势集的具体生活思维实例。、一些集合等势的证明例1设Z是整数的全体，我们来证明：Z是可数集。我们只需将Z中元素排列为0,1,-1,2,-2,3,-3,直觉告诉我们，这样的排列方法可以把全部整数无遗漏又无重复的排列出来。即Z与N*之间存在一个一一对应，所以Z是可数集。对于这个例子，我们甚至可以明确地写出从N*到Z的一个一一映射：-,当n为偶数时2f(n)彳2-匚,当n为奇数时〔2故有Z~N*，Z是可数集。

例2证明(0,1)与[0,1]

有相同的势。证明我们作出以下的由[0,1]到(0,1)上的映射：12,%=°时nn，nn，当“=N*时1N*时x,当x丰0,且x丰—N*时n不难验证/：[0,1]T(°」)是一个一一映射，故(0,1)与[0,1]有相同的势。从以上的两个例子看出，这两个无限集都与它们的某个真子集有相同的势。这种现象在有限集的情形是决不会发生的。例证明(°，1)与R=(-g,+8)有相同的势。证明作映射1f(x)=tan“(x-2),xe(0,1),显然f:(0,1)T(Y),+8)是一个一—映射，故(0,1)与R二(-),+))有相同的势。例证明［0，1］与［a,b］有相同的势；(0,1)与(a,b)有相同的势。(其中a,b均有限，且a<b)证明构造映射f(x)=a+(b一a)x,xe(0,1),显然f:［0,1］t［a,b］是一个一一映射；f:(0,1)t(a,b)是一个一一映射，故［°，1］与［a,b］有相同的势；(0,1)与(a,b)有相同的势。、可数集的性质定理2.1一个可数集A的每一个无限子集是可数集。证明设EuA并且E是无限集。集A是可数的，因此可以将A中元素排列成a,a,…，a,…12n按照如下方式构造数列{ki}：令ik是最小的正整数使得aeE。1k1当k,k,…,k (s>2)当1 2 s-1 选疋之后，令k是大于s-1的最小正s整数使得aeE。这样，便得到ks了一个映射f:ETN*。具体地说f(a)=n,neN*okn这就证明了所需的结论。粗略地说，这个定理表明，可数集代表着“最小的”无限势，

因为没有不可数的集能作为一个可数集的子集。定理2.2设{E},n=1,2,3,…，是n一列至多可数集，令S=0En那么S是至多可数集。证明设对于ngN*,E={x,x，•…,x，…}n n1 n2nk考虑如下的无穷阵列：x,x,x,1112x,x,2122x,x,3132x,x,4142••••••x,x,1314x,x,2324x,x,3334x,x4344,其中的第n行由E的元素组成。n这个阵列包含着S=0E中的所有n元素。按照箭头所指示的那样，这些元素可以排成一行：x;x1121x;x1121,x12;x,x31 22，X13；…当两个集合Ei与Ej有公共的元ij素时，这些元素在一行中会重复出现。我们顺着从左到右的方向顺次的看下去，对那些有重复的元素只保留第一次遇见的那一个，剔除其它相同的元素。这样做过之后，仍然得到并集S=0E。nn=1由此可知， S是至多可数的。、有理数集的可数性定理2.3R中的全体有理数Q是可数的。证明因为对任何有理数reQQ，存在整数p，正整数q,使得q。令E={p:peZ},q=1,2,3,…，qq显然E={L:peZ}是可数的;qq

显然有Q=0E,q=1q由定理2.2，Q=0E是可数的。q=q=1q或者用重复一下定理2.2的证明过程的方法。）六、实数集的不可数性及证明定理2.4[0,1]上的全体实数是不可数的。证明用反证法。假若[0,1]上的全体实数是可数的，假设有某种方法把[0,1]之间的全体实数无遗漏地排成一行x,x,…,x,…12n把区间[0,1]三等分。在分成的三个闭区间1[°的三个闭区间1[°，3]，12[3'3][3,1]中必有一个闭区间不含x「取定不含x1的小闭区间并将其记为I1;接着，将I1分成相等的三份，从中可以确定出一个更小的闭区间，记作12，其中不含X2（当然也不含X1）。如此继续下去，得到一个闭区间套I=[0,1]二I二I二…二I二…，012nx,x,…,x其中In不含1 2n(n=1,2,3,…)。由于II由于II1=nn=1,2,3,…)，根据闭区间套定理，有门I={x*}n=1这个x*e[0」]。因为x*属于一切Inn(n1,2,3,…),所以x*不能等xx•••x•…于1 2…n…中的任何一个。这说明上述排列并未穷尽[01]上的所有实数，由此得出矛盾的。这表明我们的假设不能成立