第十六章多元函数极限与连续

第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数1.判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出他们的聚点与界点。(1)[a,b)´[c,d);(2){(x,y)xy¹0};(3){(x,y)|xy=0};(4){(x,y)|y>x2}(5){(x,y)|x<2,y<2,x+y>2}(6){(,)|+=1或y=0,0＃x1}；xyxy22(7){(x,y)|x2+y2?1或y0,1＃x2};(8){（x,y）|xy,ÎN+};(9){(x,y)|y=sin1};x解：（1）有界集、区域，其聚点为E={(x,y)|a＃xb,c＃yd}.(2)开集，聚点为E=R2,界点为{(x,y)|xy=0};(3)闭集，E={(x,y)|xy=0},界点为?EE={(x,y)|xy=0}.（4）区域，开集，其聚点为E={(x,y)|x2y},界点为{(x,y)|y=x2}.（5）有界集，区域，开集，其聚点为E={(x,y)|x＃2,y2,2?xy},界点为{(x,y)x=2,0＃y2{(x,y)|y=2,0＃x2}{(x,y)|x+y=2,0＃x2}（6）有界集，闭集，其聚点为E={(x,y)x2+y2=1或y=0,0＃x1},界点为?EE。（7）有界集、闭集，其聚点为E={(x,y)|x2+y2?1或y0,1＃x2};界点为?E{(x,y)|x2+y2=1或y=0,1＃x2}.（8）闭集，其聚点是空集，界点为{(x,y)|x,yÎz}.E={(x,y)|y=sin1,x>0}{(0,y)y1}，界点为?EE.x（9）闭集2.试问集合{(x,y)|0<x-a<d,0<y-b<d}与集合{(x,y)|x-a<d,y-b<d},(x,y)(a,b)是否相同？解：不相同，第一个点集为第二个点集的子集。因为E={(x,y)|x=a,0<x-a<d}{(x,y)|y=b,0<x-a<d}不属于第一个点集，但包含第二个点集。3．证明：当且仅当存在各点互不相同的点列n{P}坦E,PPlimP=P时，P是0,00nxnE的聚点。证明：设n{P}ÌE，且互不相同，nP¹P，因为limP=P,所以对xn"e>0,$N，00+时，有P-P<e,即PÎU（。Pe）.故P为的聚点。E00;0nn反之，设P为聚点，则由聚点的定义，对于e=1,$P吻(Pe;)E对;于E01101e=min(1r,P(P,)$),P吻UP(e;)E；且r(P,P),故P¹P；作归纳假设：已2012。0221022经找到k个点{P,P,……P}挝E,PU(P;e),其中。12ki0ie=min(1,r(P,P)),i=1,2,3……k.因为r(P,P)<r(P,P)<……（rP,P）,ii-100k-1010ik所以P…P…k2互P不相同。现在，对1,1e=min(k+1,r(P,P)),$P吻U(P,e)E使P,P……P互不相同，如此等。0k+10k+112k+1kk等，这样就得到了互不相同的点列又由于n{P}坦E,PP,又由于nrPPn(,)£1,故00nlimP=P0.xn4．证明：闭域必为闭集。举例说明反之不真。证明：设D为闭域，因为闭域是开域连同边界所成的点集，闭集E是E的所有聚点都属于E，所以对"PD,情况1，当PÎD,D为开域ÞP是D的内点ÞP必为D的内点；情况2：当P味D剔DP为D的非孤立的界点ÞP为D的一个聚点，从而得知D的一切点均为D的聚点。反之，不真。反例：EE={(x,y)|1?xy2?2或x2,0＃y1},则的开域是2E={(x,y)|x2+y2=2},E的边界是11?E{(x,y)x2+y2=1}{(x,y)x2+y2=2}.闭域E¶EØE,又显然E中的一111切点均为聚点，且为E的全部聚点，所以E为闭集，非闭域。5．证明：点列{P(x,y)}收敛于nP(x,y)的充要条件是limx=x和xn0000nnlimy=y。0xn证明：必要性：设limP=P,则对"e>0,$N>0,当n>N时，有PÎ(P,e),即00xnnr(P,P)=(x-x)2+(y-y)2<e,从而n0n0n0limx=x,limy=y.故P)x-＃r(nx-＃,nerP,ye0n0xnn00x00n充分性：设limx=x,lyim=y则对"e>0,N$>0当,n>N时，有xn0xn0,x-x<e,y-y<e,从而P(x,y)ÎU(P(x,y);e)（方领域）n0n0nnn000所以limP=P.0xn6．求下列函数的值。轾arctan(x+y)2，求f(1+3,1-3);22（1）f(x,y)=犏犏arctan(x-y)臌2xy（2）f(x,y)=,求f(1,y);xx2+y2（3）f(x2+y2-xytanx)，求f(tx,ty);y轾p犏解:（1）f(1+3,1-3)=(arctan1)2=犏犏4=.922arctan3p16犏犏3臌y2×2xy（2）f(1,y)=x=.xyx+y221+()2x（3）f(tx,ty)=t2x2+t2y2-t2xytanx=t2(x2+y2-xytanx).y7．设F(x,y)=lnxlny,证明：若u>0,v>0,则F(xy,uv)=F(x,u)+F(y,u)+F(y,v)+F(x,v).证:因为F(x,y)=lnxlny,u>0,v>0,所以yF(xy,uv)=ln(xy)ln(uv)=(lnx+lny)(lnu+lnv)=lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v).8．求下列各函数的定义域，画出定义域的图形，并说明这是何种点集；（1）(,)=x2+y2;（2）f(x,y)=fxy1;（3）f(x,y)xy;（4）22x+3y2x2-y2f(x,y)=1-x2+y2-1;（5）f(x,y)=lnx+lny;（6）f(x,y)+sin(x2+y2);z（7）f(x,y)=ln(y-x);（8）f(x,y)=e-(x2+y2);（9）f(x,y,z)=x2+y2+1;1（10）(,,)=---+R2xyz(R>r).）fxyz222x2+y2+z2-r2D={(x,y)|x贡y}（2）函数的定义域是无界开域2D=R-{(0,0)}（3）函数的定义域是无界闭集D={(x,y)|xy0}解：（1）函数的定义域为无界开集，（4）函数的定义域是无界闭集D={(x,y)|x３1且y1}（5）函数的定义域是无界开域D={(x,y)|x>0且y>0}（6）由sin(x2+y2)0得2kp?x2y2?(2k1)p,(k=0,1,2,)于是函数的定义域是无界闭集D={(x,y)|2kp?x2y2?(2k1)p,k=0,1,2,}（7）函数的定义域是无界开域D={(x,y)|y>x}e（8）因为无论,取任何实数均不会使=0，所以函数的定义域是整个-1(x+y)22xy平面R，它是即开又闭的无界区域.2（9）函数的定义域是整个三维空间R，它是即开又闭的无界区域.3（10）正数的定义域是有界区域D={(x,y)|r2<x2+y2+zR2}2§2二元函数的极限1．试求下列极限（包括非正常极限）：xy22（1）lim(x,y)®(0,0)x2+y2;1+x2+y2(2)lim(x,y)®(0,0);x2+y2x2+y2(3)lim(x,y)®(0,0);1+x2+y2-1(4)lim(x,y)®(0,0)xxy+1;+y441(5)lim(x,y)®(1,2);2x-y1(6)lim(x+y)sin(x,y)®(0,0)x+y22sin(x2+y2);+y(7)lim(x,y)®(0,0)x22(x,y)¹(0,0)时，0£x2y2xy解：（1）当£.x2+y22xy22而limxy=0,所以lim=0.x(x,y)®(0,0)2+y2(x,y)®(0,0)(2)因为lim(x2+y2)=0,所以，原式=+.(x,y)®(0,0)(3)因为x2+y21+x2+y2-1=x2+y2(1xy1)=1+x2+y2+1，+++221+x+y-122所以，原式=lim(1+x2+y2+1=2)(x,y)®(0,0)+y4xy+1=++y4（4）因为x+y4?0,limx0，所以lim(x,y)®(0,0)x4xy+144x（5）因为lim(2x-y)=0，所以，原式=+(x,y)®(1,2)（6）当(x,y)¹(0,0)时，sin1?1,lim(xy)=0,故+y4x4(x,y)®(0,0)1lim(x+y)sin(x,y)®(0,0)=0x2+y2（7）limsin(x2+y2)=1x2+y2(x,y)®(0,0)2．讨论下列函数在点（0，0）的重极限与累次极限：y2（1）f(x,y)=（3）f(x,y)=;（2）f(x,y)=(x+y)sin1sin1xyx2+y2x2y2（4）(,)=x3+y3fxyx2y2+(x-y)2x2+y（5）f(x,y)=ysin1x（6）f(x,y)=x2y2x3+y3（7）f(x,y)=ex-eysinxy解：（1）当动点p(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时，有y2k2k2，其极限值依赖于k，因此，01+k21+k2lim=lim=(x,y)(0,0)x2+y2xy2lim=1(x,y)®(0,0)x2+y2（2）因为0?(xy)sin1sin1?xy0,(x,y)(0,0)，所以xylim(x+y)sin1sin1=0xy(x,y)®(0,0)1k北1,2,,y0时，(x+y)sin1sin1的极限不存在，因此xy当x?kp,limlimf(x,y)不存在，同法可得limlimf(x,y)x0y0y0x0（3）当沿y=x时，有limf(x,y)=limf(x,x)=1，当沿y=0时，有(x,y)(0,0)x0limlimf(x,y)=lim0=0y02y0x0ylimf(x,y)=limf(x,0)=0,(x,y)(0,0.)因此limfxy(不,存)在，x®0(xy,®)(0,0limflixm=y(0,=)lim0,x2x0y0x0（4）当沿=时，有limf(x,y)=lim2x3x®0x2+x=0，当沿y=-x2+x3时，有yx(x,y)(0,0)limf(x,y)=lim[1+x3(x-1)3]=1，因此limfxy(不,存)在，(x,y)(0,0)x0(xy,®)(0,0limlimx3+y3=limx=0,limlimx3+y3=limy=02x2+yx+y2x0y0x0y0x0y0（5）因为0＃siny0,(x,y)(0,0)，所以limysin1=0，1yxx(x,y)®(0,0)limlimysin1=lim0=0,limlimysin1不存在xxx0y0x0y0x0（6）当沿=时，有limf(x,y)=limx4=0，当沿y=-x+x2时，有yx2x3x0(x,y)(0,0)x4(x-1)2=limx2-2x+1=1，因此limf(x,y)不limf(x,y)=limx0x3[1+(x-1)3)x2-3x+33(x,y)(0,0)x0(x,y)®(x,y)x2y2x2y2存在。limlim=lim0=0,limlim=0x0y0x3+y3（7）当沿的两个累次极限均不存在。y0x0x3+y3x0ex-eyy=0时，limf(x,y)不存在。所以lim不存在。f(x,y)sinxy(x,y)®(x,y)(x,y)®(0,0)3．证明`：若1。limf(x,y)存在且等于A；2y在b的某临域内，存在有(x,y)®(0,0)limf(x,y)=j(y),则limlimf(x,y)=Ax®aybxa证明：由条件知，"e>0，存在1d>0,当x-a<d,y-b<d,且(x,y)¹(a,b)时，11有f(x,y)-A<e（1）y在b的某临域È(b,d)内时由条件知，当,limf(x,y)=j(y)存在，令2x®ad=min{d,d},当0<y-b<d时，在（1）式中令x®a，得j(y)-Ae,于是12limj(y)=A,即limlimf(x,y)=Ay®bybxax2y4．试应用e-d定义证明lim(x,y)®(0,0)x2+y2=0xyxy2证明：当(,)¹(0,0)时，=xxy2，因此，对任给e>0，取=，dexx+y2x2+y2xy2x2y=0则当20<x+y2<d时，-0<e,所以limx+y2(x,y)®(0,0)x+y2225．叙述并证明：二元函数的唯一性定理，局部有界性定理与局部保号性定理。（1）唯一性定理：若极限limf(x,y)存在，则此极限是唯一的(x,y)®(x0,y0)证明：设A、B都是()当p(x,y)®p(xy)时的极限，则对任给的e>0，fx00,0存在d>0，当(x,y)稳(pd)D时，f(x,y)-A<e,fx(y,-)B<e从.而。0,22A-B?f(x,y)A+f(,xy)-B<e由.e的任意性得A=B（2）局部有界性：若limf(x,y)存在，则存在p(x,y)的空心临域000(x,y)®(x0,y0)È0(pd)，使(,)在È0(pd)ÇD上有界0,fxy0,证明：设limf(x,y)=A，则对e=1,存在d>0，对一切(x,y)®(x0,y0)(x,y)稳(pd)D有f(x,y)-A<1，即f(x,y)<A+100,（3）局部保号性：若limf(x,y)=A>0（或<0），则对任意整数p(x,y)稳r<-A)，存在d>0，对一切(pd,)D，有f(x,y)>r>0（或00f(x,y)<-r<0)A>0，对任何r<A（或(x,y)®(x0,y0)证明：设rÎ(0,A),取e=A-r,则存在d>0，对一切p(x,y)稳(pd)D,有f(x,y)-A<e=A-r,于是f(x,y)>A-(A-r)=r。00,对于A<0的情况可类似证明以上证明中D是函数的定义域§3二元函数的连续性1讨论下列函数的连续性（1）f(x,y)=tan(x2+y2);解：(1)函数f(x,y)在D={(x,y)|o?xy2<}{(x,y)|kp-p<x2+y2<kp+p,k=1,2,}上连p2222续.在xy平面的圆周x2+y2=kp+p2,k=0,1,2,上间断.[]（2）f(x,y)=x+y;]解（2）函数f(x,y)=x+y;在直线x+y=k,k=0北,1,2,上间断.在D={(x,y)|k<x+y<k+1,k=0,北1,2,}上连续.事实上，对k<x+y<k+1,当d>0充分小时，"(x+y)先(p,d)有k<x+y<k+1，于000是f(x,y)汉kf(x+y).从而limf(x,y)=f(x+y)，即f(x)在D上连0000(x,y)?(x0y0)续ìïsinxyï,y¹0,（3）f(x+y)=ïïíïx+y22ïï0,y=0;ïî解（3）在E={(x,y)|x挝R,yR且y0}内，f(x,y)=sinxy处处连续.1y在E={(0,0)}上，因为sinxy£x，所以limf(x,y)=0=f(0,0)即f(x,y)在2y(x,y)®(0,0)点(0,0)连续.在E={(x,0)|x0}上，因为limf(x,y)?0f(x,0)，所以f(x,y)在E上303(x,y)®(x0.0)间断.在D={(x,y)|x挝R,yR且y0}{(0,0)}上连续ìïsinxyï,x2+y0ï2ï（4）f(x,y)=íx2+y2ïïï0,x2+y2=0ïîsinxy解（4）当x2+y2=0时，f(x,y)=在点(x,y)连续.当x2+y2=0时，x+y22sinxy因为＃xyx，于是limf(x,y)=0=f(0,0)，即f(x,y)在(x,y)®(0,0)x2+y2x+y22点(0,0)连续.故(,)在整个平面R上连续fxy2ïì0,（5）f(x,y)=íïïïîy,设(x,y)ÎR2，则00当为有理数时，ìïy-yïíïf(x,y)-f(x,y)=f(x,y)-y=0000ïyî0当为无理数时ìïyïíïf(x,y)-f(x,y)=f(x,y)=0000ï于是limf(x,y)=f(x,y).当且仅当y=0时成立.所以，f(x,y)仅在000(x,y)?(x0y0)D={(x,y)|y=0}上连续2．叙述并证明二元连续函数的局部保号性证：设f(x,y)>0，对任何r,0<r<f(x,y)，取e=f(x,y)-r，因为f(x,y).。000000在点p0(x0,y0)连续，所以存在d>0，使当p(x,yÎ)(pd,时)，有0f(x,y)-f(x,y)<e=f(x,y)-r，从而f(x,y)>f(x,y)-e=r>0.000000对f(x,y)<0的情况可类似证明00ìïxïï,x2+y02ï22ï(,)=í(+)pxy3．设fxy(p>0)试讨论它在点(0,0)处的连续性.ïïïïïî0,xy0+=22x2+y2(x2+y2)1xx22-p.当解因为=?(x+y2)p(x2+y2)p(x2+y2)p2p<(x2+y2)12-p=0，121-p>0，即时，lim2(x,y)®(0,0)x(x,y)®(0,0)(x2+y2)p所以lim=0=f(0,0)即f(x,y)在点(0,0)处连续.ìï1,p=1,ïïïx2limf(x,y)=lim=í1xïïïïïî当p³时，因为1,2p(x,y)(0,0)x0?,p22y=o所以limf(x,y)?0f(0,0)，即f(x,y)在点(0,0)不连续.(x,y)®(0,0)11f(x,y)在点(0,0)处连续，而f(x,y)在点(0,0)处p<时，p³时，2