相似三角形典型例题精选

相像三角形的判断与性质综合运用经典题型考点一：相像三角形的判断与性质：例仁如图，ZkPCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且ZAPB=120°求证：(DAPAC^ABPD：(2)CD2=AC?BD.例2、如图，在等腰ZiABC中，ZBAC二90°AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合)，在AC上取一点E,使ZADE=45°求证：△ABDsGCE;(2)设BD二x,AE=y,求y对于x函数关系式及自变童x值范围，并求出当x为何值时AE取得最小值？在AC上是否存在点E,使得AADE为等腰三角形若存在，求AE的长；若不存在，请说明原因例3、如下图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE丄BC,垂足为E,连结DE,F为线段DE上一点，且ZAFE=ZB:求证：△ADFs^DEC：2)若AB=4,=求AF的长。D考点二：射影定理：例4、如图，在RtAABC中，ZACB二90°CD,丄AB于D,CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的长。例“如图，已知正方形ABCD,E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF￡AD,EG丄CF于点G,(1)求证：△AEFSABCE;

(2)试说明：EG2=CG-FG.例“已知：如下图的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次，使点A与点C重合,再展开，折痕EF交AD边于E,交BC边于F,分别连结AF和CE.(1)求证：四边形AFCE是菱形；若AEhOcm,AABF的面积为24cm2,求ZkABF的周长；(3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=AC?AP若存在，请说明点卩的地点，并予以证明；若不存在，请说明原因.E考点三：相像之共线线段的比率问题:例7、已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC.CD的延伸线.AB的延伸线分别相交于点E、F、G、H.求证:PEPH例8、如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延伸，交AD于点E,交BA的延伸线于点F.求证：PC2=PE?PF：若菱形边长为8,PE二2,EF=6,求FB的长.例9.如图，CD是RtAABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延伸线于F.求证：BD?CF二CD?DF?例10.如图：已知在等边三角形ABC中，点D.E分别是AB、BC延伸线上的点，且BD二CE,直线CD与AE相交于点F.求证：DC=AE;求证：AD=DC?DF?AB.例1仁如图，E是矩形ABCD的边BC上一点.EF丄AE,EF分别交AC,CD于点M,F,BG丄AC,垂足为G,BG交AE于点H.找出与AABH相像的三角形，并证明；若E是BC中点，BC二2AB,AB二2,求EM的长.例12.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形.连结AE、CG,AE与CG相交于点M.CG与AD相交于点N.例13、如图，在RtAABC中，CD是斜边AB上的离，点M在CD上，DH丄BM且与AC的延伸线交于点E.求证：(1)△AEDs^CBM;(2)AE?CM二AC?CD?例14、如图，ZkABC是直角三角形，ZACB二9(T,CD丄AB于D,E是AC的中点.ED的延伸线与CB的延伸线交于点F.求证：FD2=FB?FC：若G是BC的中点，连结GD,GD与EF垂直吗并说明原因.例15-如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.ZIACF与ZJACG相像吗说说你的原因.求Z1+Z2的度数.考点四：相像三角形的实际应用：例16、如图，AABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm,件，使一边在BC上，其余两个极点分别在边AB.AC上.

高

AD

二

80mm,

要把它加工成矩形零若这个矩形是正方形，那么边长是多少若这个矩形的长PQ是宽PN的2倍，则边长是多少例17、已知左，右并排的两樑大树的爲分别是AB二8m和CD=12m，两树的根部的距离BD二5叽一个身高的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较商的树的顶端点CBD例18、两颗树的高度分别为AB二6gCD=8m,两树的根部间的距离AC=4m,小强沿着正对这两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为，当小强与树AB的距离小于多少时，就不能看到树CD

的树顶

D0A例19.小亮想利用太阳光下的影子测董校园内一棵大树的离，小亮发现因大树凑近学校国影子不全落在地面上，如下图，经测量，墙上影鬲CD二，地面影长BC=10m?若此时杆的影长恰巧为2m?请你求出这棵大树AB的离度.

墻，大树的1米鬲的标例20.如图，九年级的数学活动课上，小明发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD二8米，BC二20米，CD与地面成角，且此时测得1米杆的影长为2米,求电线杆的爲度.30°例2仁如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接抵达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m,沿BD方向抵达点F处再测得自己得影长FG=4m,如果小明的身离为，求路灯杆AB的鬲皮?ADG考点五：相像三角形中的动点问题：例22.在矩形ABCD中,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点AB=12cm,AD=6cm,Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速皮移动，如果P、Q同吋出发，用t（秒）表示运动时间（0WtW6）,那么当t为何值时.AAPQ与AABD相像说明原因.例23、如图，在AABC中，ZB二90°AB,二6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动.同时.动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动.当其中有一点抵达终点时，它们都停止移动.设移动的时间为t秒.1）①当t二秒时，求ACPO的面积：②求ACPO的面积S（平方米）对于时间t（秒）的函数解析式；2）在P,Q移动的过程中，当ACPO为等腰三角形时，写出t的值。例24.如下图，在AABC中，BA=BC=20cm,AC二30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动：同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为X.1）当x为何值时，PQ/ZBC：2）当S/kBCO：SAABC=1:3,求SABPQ：SAABC值；3）ZkAPQ可否与ACOB相像若能，求出AP的长：若不能，请说明原因.例25.如图.平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为(6,0),(6,8).动点M、N分别从0、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿0A向终点A运动，点N沿BC运动，过点N作NP丄BC,交AC于点P,连结MP,已知动点运动Tx秒.

向终点

C用含X的代数式表示P的坐标(直接写出答案)：设y=S四边形0MPC,求y的最小值，并求此时x的值：是否存在x的值，使以P、A、M为极点的三角形与AAOC相像若存在，恳求出x的值:例26、如图，正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF丄AE于F.求证：△PFAs^ABE：当点P在射线AD上运动时，设PA二x,是否存在实数x,使以P、F、E为极点的三角形也与AABE相像若存在，恳求出x的值：若不存在，请说明原因.例27.如图，在平面直角坐标系中，已知RtAAOB的两条直角边OA、0B分别在y轴和x轴上，并且OA、0B的长分别是方程X2-7X+12=0的两根(OA<OB),动点P从点A开始在线段A0上以毎秒1个单位长度