面基本不等式经典例题(含重点知识点和例题详细解析)超详细

精品学习资料基本不等式专题aa2 ab时取ab时取*ab2ab(2)若a,bR*，则ab2ab(当且仅当ab2ab223.若x0，则x13.若x0，则x1x若x0，则x12(当且仅当x1时取x“=”)若x0，则x12即12或1-2(当且仅当ab时取“=”)xxxxx4.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”)若ab0，则abbb2即ab2ab22abaa2aa (当且仅当ab时取“=”)(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有应用应用一：求最值例：求下列函数的值域1 1 x112x22x2yxx∴值域为2x22x21x1x·x欢迎下载第1页，共6欢迎下载精品学习资料精品学习资料1当x＜0时，y＝x＋=－(－x－)≤－2xx1x·x=－2∴值域为(－∞，－2]∪[2，+∞)项例已知x解：因4x55，求函数y4x21的最大值。544x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)不是常数，所以对4x24x55x,54x54当且仅当54x54x1254x24x554x53231技巧二：凑系数此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。当变式：设0，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。3x，求函数y4x(32x)的最大值。2x3∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)22x32x2222x343292技巧四：换元例：求yx27x10(x1)的值域。x1x欢迎下载第2页，共6欢迎下载精品学习资料解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x＋1)的项，再将其4当,即时,y2(x1)59(当且仅当x＝1时取“＝”号)。4x1xy当tt24tt4t4t559(当t=2即x＝1时取“＝”号)。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数例：求函数yxxxx2254f(x)xa的单x解：令x210,tytt4t(t1tyt25xx2x225xx2x4在区间1,单调递增，所以在其子区间x1x24t1t525,2xx0,y0，且1，求xy的最小值。xy1且x9yxyx9xy9y922xyyxy12。min9y29等号成立条件是xy1x99y精品学习资料精品学习资料正解：x0,y0,191，xyxy19y9x1061016xyxyxyxyxyminxyxymin2例：已知x，y为正实数，且x2＋y2＝1，求x1＋y2的最大值.2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。2同时还应化简1＋y2中y2y1前面的系数为22·21x·2＋21下面将x，2＋21x·2＋2≤122y2＋2＝23＝4即x1＋y2＝212y2＋23≤41途径进行。迎下载迎下载精品学习资料精品学习资料30－2b30－2b－2b2＋30b－2t2＋34t－31令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝t)＋34∵t＋≥2tt·t11∴ab≤32，ab≤18，∴y≥点评：①本题考查不等式ab(点评：①本题考查不等式ab(a,bR)的应用、不等式的解法及运算能力；②2ab与ab之间的关系，由此想到不等式为含ab的不等式，进而解ab的范ab2ab(a,bR)，这样将已知条件转换1522例:求函数y2x152x(x)22解析：注意到2x152x的和为定值。y2(2x152x)242(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8又y0，所以0y222当且仅当2x1=52x，即x3时取等号。故ymax22。2应用二：利用均值不等式证明不等式c111111abc分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，形入手。11ab形入手。aaaa欢迎下载欢迎下载精品学习资料精品学习资料1a11aabca2bca1。同理b12acb，1。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得121。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得cc11b11c12bc2ac2ababc13应用三：均值不等式与恒成立问题xx例：已知x0,y0且y解：令xyk,x0,yyxyx