概率论与数理统计协方差和相关系数

概率论与数理统计协方差和相关系数第1页，共17页，2023年，2月20日，星期五(3)泊松分布:(1)(0-1)分布:D(X)=p(1-p)(2)

二项分布:D(X)=np(1-p)D(X)=(4)正态分布:(5)均匀分布:D(X)=D(X)=(6)指数分布（4）常见分布的方差：(5)切比雪夫不等式设r.vX具有均值E(X)=,方差D(X)=2，则对>0,有不等式第2页，共17页，2023年，2月20日，星期五证明:根据数学期望与方差的性质:证明E(Y)=0,D(Y)=1P99T10：

设E(X),D(X)均存在,且D(X)≠0通常把由

r.vX构造r.vY的过程叫做对r.vX标准化。注意:更重要的是要知道如何将一个随机变量标准化.第3页，共17页，2023年，2月20日，星期五§3协方差和相关系数

Covarianceandcorrelation

coefficient第4页，共17页，2023年，2月20日，星期五对于一个二维随机向量（X，Y），期望和方差只反映了它们各自的平均取值与相对于其均值的偏离程度，没有反映出X与Y之间的相互关系。D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}注意到公式若X、Y相互独立,D(X+Y)=D(X)+D(Y)。E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0，可以发现E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}这个数在一定程度上反映了X与Y之间的关系，称为X与Y的协方差。第5页，共17页，2023年，2月20日，星期五一、协方差1、定义:设(X,Y)是一随机向量，称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

Cov(X,Y)=

E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}为X与Y的协方差,记作Cov（X，Y）或XY，即若X、Y相互独立说明①对于r.

vX,Y，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)协方差是刻划r.vX与Y间取值的相互关系的数字特征.显然:②意义:Cov(X,Y)=0,

1)用定义式Cov(X,Y)=

E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}2、计算方法2)用简单公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X,X)=D(X)第6页，共17页，2023年，2月20日，星期五YX-101-100例1

设r.vX和Y的联合分布律为求Cov(X,Y)解：用公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)①可求出(X,Y)关于X，Y的边缘分布律

X-10

3/82/83/81

Y-10

3/82/83/81②∴Cov(X,Y)=0-0=0说明：虽然Cov(X,Y)=0，但即X与Y不独立。第7页，共17页，2023年，2月20日，星期五3、性质ⅰ)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(对称性)ⅱ)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是任意常数；ⅲ)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)注：协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身的系数影响.例如：Cov(10X,10Y)=100Cov(X,Y)为了克服这一缺点，将协方差标准化，即在计算协方差时，先对X与Y进行标准化.即:实际上，10X与10Y之间的关系和X与Y之间的关系应一致。标准化的协方差称为X，Y的相关系数第8页，共17页，2023年，2月20日，星期五二、相关系数(correlationcoefficient)设(X,Y)是一随机向量，当D(X)>0,D(Y)>0,则称数值为X,Y的线性相关系数，简称相关系数.注：1、定义:⑴相关系数也就是标准化的随机变量X*，Y*的协方差。⑵ρXY是没有单位的量，只与两个r.v有关，能更好地反映X与Y之间的关系。2、性质：相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.第9页，共17页，2023年，2月20日，星期五将e视为关于a,b的二元函数，求驻点：解得性质1）成立。对应的误差平方为性质2）证明略。要使Y与X的某个线性函数a+bX最为接近,就是要找a,b使得误差平方e值最小.证：e=E{[Y-(a+bX)]2}=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)对任意的a,b,令刻画了Y与a+bX的偏离程度（*）第10页，共17页，2023年，2月20日，星期五若=0，Y与X无线性关系;Y与X存在线性关系;若若0<|

|<1,|

|的值越接近于1,Y与X的线性相关程度越高;|

|的值越接近于0,Y与X的线性相关程度越弱.ρ=0时，称X和Y不相关。由（*）式知，ρXY的含义说明：第11页，共17页，2023年，2月20日，星期五1）对于随机变量X,Y，下面事实是等价的2)X与Y相互独立X与Y不相关X与Y不相关,只说明X与Y之间没有线性关系，但可以有非线性关系；但是，对于二维正态分布，独立与不相关等价。即：若二维r.v③E(XY)=E(X)E(Y);即X与Y不相关3、重要结论①Cov(X,Y)=0;②X与Y不相关；则X与Y相互独立④D(X+Y)=D(X)+D(Y).

而X与Y独立是指X,Y之间既无线性关系，也无非线性关系，故“独立”必然不相关，但反之不然。第12页，共17页，2023年，2月20日，星期五例2设随机变量(X,Y)的概率密度函数为证明:先求边缘概率密度函数fY(y)同理所以f(x,y)fX(x)fY(y)故X与Y不独立验证X与Y不相关,且不相互独立。-1１Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0即X与Y不相关第13页，共17页，2023年，2月20日，星期五三、几个常用的数字特征1、矩

(moment):

②③则称之为X与Y的k+l阶混合中心矩。①定义：设X与Y是随机变量，④显然，E(X)为一阶原点矩，D(X)是二阶中心矩；

Cov(X,Y)是二阶混合中心矩。第14页，共17页，2023年，2月20日，星期五2、协方差矩阵（了解）①二维r.v(X,Y)有四个二阶中心矩即D(X)、cov(X,Y)、cov(Y,X)、D(Y),将它们排成矩阵称为X,Y的协方差矩阵.②n维r.v(X1,X2,…..Xn)称为r.v(X1,X2,….Xn)的协方差矩阵。第15页，共17页，2023年，2月20日，星期五小结：这一节我们介绍了协方差和相