第5课时解三角形一轮复习学案

第5课时解三角形考点点击正、余弦定理公式及其变形公式，三角形面积公式，三角形形状的判断（化边为角或化角为边），正、余弦定理的应用举例（如：测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，计算面积问题、航海问题、物理问题等）考向定位分析2022年的高考试卷，有关解三角形的问题是每年必考内容，分值在4分到17分之间．试题主要涉及两个方面：一是考查正、余弦定理及其变式或推论的内容及简单应用，多见于选择题和填空题，难度不大；二是以三角形为知识载体，研究三角变换及向量等问题，这类问题不仅要使用正、余弦定理求解边、角，还要结合三角或向量的运算处理问题，解答题中的中档题经常出现这方面的内容。考纲解读1、理解并掌握正弦定理和余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。重难点重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式．②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形．③能解决与三角形有关的实际问题．难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解．②将实际问题转化为解斜三角形．基础自测1、给出下列4个命题：①若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形；②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；③若cosAcosBcosC<0，则△ABC是钝角三角形；④若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，则△ABC是等边三角形．其中正确的命题是()（A）①③（B）③④（C）①④ （D）②③2、已知△ABC中，a＝10，，A＝45°，则B等于()（A）60°（B）120°（C）30° （D）60°或1203、在中，若，AB=5，BC=7，则AC=__________．4、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，．参考答案1、B2、D3、34、考点梳理1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径即（其中R表示三角形的外接圆半径）2、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍第一形式，=，第二形式，3、三角形的面积：；4、两内角与其正弦值：在中，，…热点题例例1、(1)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（）A．B．C．D．解：B提示：利用余弦定理（2）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A. B.C. D.解：C提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在△ABC中，已知，，则的值为（）ABC或D解：A提示:在△ABC中，由知角B为锐角（4）若钝角三角形三边长为、、，则的取值范围是．解：提示：由可得（5）在△ABC中，=．解：提示：由面积公式可求得，由余弦定理可求得（6）在△ABC中，，试判断三角形的形状.（6）解：方法1：利用余弦定理将角化为边.∵∴∴∴∴故此三角形是等腰三角形.方法2：利用正弦定理将边转化为角.∵又b＝2RsinB，＝2RsinA∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB∴∴sin（A－B）＝0∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π∴A－B＝0，即A＝B故三角形是等腰三角形.例2、在中，，，，求的值和的面积.解：，又例3、锐角中，角所对的边分别为，已知，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的值．解：（Ⅰ）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝，，所以cosA＝，则（Ⅱ），则bc＝3。将a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：中得解得b＝例4、如图所示,海岛A周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B处测得岛A在船的南偏东方向上，船航行30海里后，在C处测得岛A在船的南偏东方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？解：由题意得，在△ABC中，BC=30，，所以，由正弦定理可知：所以，于是A到BC所在直线的距离为所以船继续向南航行无触礁危险。达标测试一、选择题1在△ABC中，若，则等于（）ABCD2若为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）ABCD3在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形4等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长为（）ABCD5在△中，若，则等于（）ABCD6边长为的三角形的最大角与最小角的和是（）ABCD二、填空题1在△ABC中，，则的最大值是_______________2在△ABC中，若_________3在△ABC中，若_________4在△ABC中，若∶∶∶∶，则_____________5在△ABC中，，则的最大值是________三、解答题在△ABC中，若则△ABC的形状是什么？2在△ABC中，求证：3在锐角△ABC中，求证：4在△ABC中，设求的值参考答案一、选择题1C2A3C都是锐角，则4D作出图形5D或6B设中间角为，则为所求二、填空题1234∶∶∶∶∶∶，令5三、解答题解：或，得或所以△ABC是直角三角形证明：将，代入右边得右边左边，∴3证明：∵△ABC是锐角三角形，∴即∴，即；同理；∴4解：∵∴，即，∴，而∴，∴思维方法1、已知