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文档简介

傅里叶级数到傅里叶变换周期信号的傅里叶级数和傅里叶系数如下所示对于非周期信号，我们也想得到其频谱，为了得到非周期信号的频谱，可以将非周期信号可以看作周期无穷大的信号。下图展示了当一个周期信号的周期不断增大时，频谱的变化规律。可以看到，当周期

TT

增大，谱线高度将减小（这是由于随着周期增大，信号在时域上变得稀疏，信号的平均功率将减小），取极限后得到的每条谱线的高度都是0。为了解决这个问题，我们将(2)式两端乘以

TT。我们知道，在离散频谱中，相邻两条谱线的间隔是

ΩΩ，而

T=2πΩT=2πΩ，所以将(2)式两端乘以

TT

就是将谱线除以它所占据的频带宽度再乘以2π2π，因此得到的是频谱密度，如下图所示。可以看到，随着周期增大，密度曲线逐渐趋于光滑，但是曲线的高度不会发生改变。当周期趋于无穷大时，密度曲线变成了完全光滑的曲线。由于当周期趋于无穷大时，谱线间隔

ΩΩ

趋于无穷小，因此谐波频率

nΩnΩ

可以取到实数中的任意频率，用

ωω

代替(2)式中的

nΩnΩ，于是我们得到了非周期信号的傅里叶变换。根据(1)式可以推导出非周期信号的傅里叶反变换傅里叶反变换的式子也映证了“傅里叶变换得到的是频谱密度”这一物理含义

附:频谱密度作图代码importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotasplttao=1T=4*tao#通过这一行修改周期大小Omega=2*np.pi/Tn_max=int(14/(Omega*tao))+1defSa(w):ifw==0:sa=1else:sa=np.sin(w)/wreturnsadefF(n):return(tao/T)*Sa((n*Omega*tao)/2)omega=[]dense=[]forninrange(-1*n_max,n_max+1):omega.append(n*Omega-Omega/2)omega.append(n*Omega)omega.append(n*Omega+Omega/2)dense.append(F(n)*2*np.pi/Omega)dense.append(F(n)*2*np.pi/Omega)dense.append(F(n)*2*np.pi/Omega)plt.figure(figsize=(6,2))plt.p

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