高中数学人教A版（2019）必修第二册《第六章 平面向量及应用》章节练习（含解析）

人教A版（2019）必修第二册《第六章平面向量及应用》章节练习一、单选题（本大题共15小题，共75分）1.（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ΔABC的三个内角A、B、C所对的变分别为a、b、c，面积为S，则“三斜公式”为S= 

14[a2c2−(A.3 B.5 C.6 D.72.（5分）如图，点D是ΔABC的边BC上一点，AB=7，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠A.2π3;6 B.π3;63.（5分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD上任一点，且BE→=λBA→+μBC→A.6 B.7 C.8 D.94.（5分）在ΔABC中，sin A:sin B:A.17 B.−17 C.25.（5分）在ΔABC中，点D在线段BC上，且CD=2BD，E为A.−23AB→+16AC→6.（5分）如图，在圆内接四边形ABCD中，BC=4，BD=7，AD=A.4 B.5 C.6 D.4或67.（5分）已知ΔABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=80，b=100，A=30°，则此三角形A.一定是锐角三角形 B.可能是直角三角形，也可能是锐角三角形

C.一定是钝角三角形 D.一定是直角三角形8.（5分）ΔABC中，三角正弦之比sinA：sinB：sinC=2：3：4A.12 B.−12 C.−29.（5分）在平行四边形ABCD中，点E满足DE→=−2CE→，且O是边AB中点，若AE交DO于点M.A.32 B.57 C.5310.（5分）已知向量a→=e1→+e2→，b→A.−7210 B.7210 11.（5分）已知向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=1，且(A.π3 B.2π3 C.π612.（5分）在ΔABC中，A=60°，b=1，SΔABC=A.2393 B.8381 C.13.（5分）已知AB→⊥AC→，|AB→|=1t，|ACA.13 B.15 C.19 D.2114.（5分）已知向量AB→=(cosα,sinα)，BC→=(A.12 B.−12 C.−15.（5分）在ΔABC中，已知a=2，sin(A+B)=13A.4 B.3 C.83 D.二、填空题（本大题共5小题，共25分）16.（5分）已知ΔABC的顶点坐标A(−6,2)，B(6,4)，设G(2,0)是ΔABC的重心，则顶点17.（5分）已知向量a→=(2,λ)，b→=(3,-18.（5分）已知ΔABC的三边a，b，c和其面积S满足S=c219.（5分）已知平面四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=CD20.（5分）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A：B：C=1：1：2，则a三、解答题（本大题共6小题，共30分）21.（5分）在ΔABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，若a2+b2−ab=c2． 

(1)求C22.（5分）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点，现位于A处北偏东45°，B处北偏西60°的D处有一艘轮船发出求救信号，位于B处南偏西60°且与B处相距203海里的C处的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/h23.（5分）在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=23，2a−c=2bcosC. 

(1)求B； 

(2)如图，圆O是ΔABC的外接圆，延长AO交BC于点H，过圆心O作OG⊥OA交BC于点24.（5分）在ΔABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=6，c=3． 

(Ⅰ)若cosB=59，求b及cosC−2cosA的值； 25.（5分）ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c． 

(Ⅰ)求C； 

(Ⅱ)若c=726.（5分）如图，EFGH是矩形，ΔABC的顶点C在边FG上，点A，B分别是EF，GH上的动点(EF的长度满足需求).设∠BAC=α，∠ABC=β，∠ACB=γ，且满足sinα+sinβ=sinγ(cosα四、多选题（本大题共5小题，共20分）27.（4分）如图，空间四边形ABCD的四条边及对角线的长度都是a，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则()A.2BA→·AC→=a2 28.（4分）已知非零向量a→，b→，cA.若a→=2b→，则a→>b→

B.若a→⋅c→=b→29.（4分）下列说法正确的是(A.两个有公共终点的向量是平行向量

B.任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点

C.向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量

D.若a30.（4分）在三角形ABC中，若cosA=725，BC=6，BC边上的高为ℎ，满足条件的三角形ABC的个数为A.当0<ℎ<4时，n=2 B.当ℎ=4时，n=1

C.当ℎ=25时，n=1 D.当ℎ=2631.（4分）已知向量a→=(1,−2)，b→=(−1,m)A.若a→与b→垂直，则m=−1

B.若a→//b→，则a→.b→的值为−5

C.若m=1，则

答案和解析1.【答案】A;【解析】解：根据正弦定理，由c2sinA=4sinC，得ac=4， 

则由B=π3，得：a2+c2−b2=4， 

则Δ2.【答案】A;【解析】解：∵AB=7，AD=2，BD=1，∠ACB=45°， 

∴由余弦定理可得：cos∠ADB=AD2+BD2−AB22AD.BD=4+1−72×2×1=−12， 

∵∠ADB∈(0,π)， 3.【答案】D;【解析】【分析】 

本题考查向量在几何中的应用及用基本不等式求最值，属于中档题. 

运用三点共线得出μ=1−λ2，运用基本不等式得出最小值. 

【解答】 

解：因为BE→=λBA→+μBC→，且D为边BC的中点， 

所以BE→=λBA→+2μBD→， 

因为A、E、D三点共线，所以λ+2μ=1， 

所以μ=1−λ2， 

又E在线段AD上，且1λ+2μ有意义， 

所以0<λ<1， 

所以1λ+2μ=1λ+41−λ 

=4.【答案】D;【解析】 

此题主要考查正余弦定理的应用，属于基础题. 

由正弦定理可得a：b：c=4：7：9，设a=4k，b=7k，c=9k(k>0)，代入余弦定理化简可得. 

解：∵sinA：sinB：sinC=4：7：9， 

∴由正弦定理可得a：b：c=4：7：9， 

∴在ΔABC中最大角为角C， 

不妨设a=4k，b=7k5.【答案】A;【解析】解：如图， 

根据题意得，DE→=DC→+CE→=23BC→+12CA→=23(6.【答案】C;【解析】解：在ΔBCD中，BC=4，CD=5，BD=7， 

所以cosC=BC2+CD2−BD22BC.CD=16+25−492×4×5=−15 

因为四边形为圆内接四边形， 

所以C+A=180°， 

所以cosA=15， 

在ΔABD中，cosA=AB7.【答案】C;【解析】 

过点C作CD⊥AB，D为垂足，由条件求得∠ACD=60°，∠BCD>45°，可得∠ACB为钝角，从而得出结论．此题主要考查直角三角形中的边角关系，属于中档题． 

解：ΔABC中，过点C作CD⊥AB，D为垂足，如图所示： 

∵a=80，b=100，A=30°， 

∴∠ACD=60°，且CD=12AC=12b=50. 

直角三角形BCD中，cos∠BCD=8.【答案】D;【解析】解：由正弦定理可得：sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4， 

可设a=2k，b=3k，c=4k(k>0)， 

由余弦定理可得，cosC=4k2+9k2−16k22×2k×3k=−14， 

所以sinA−2sinBsin2C9.【答案】B;【解析】解：如图所示， 

平行四边形ABCD中，DE→=−2CE→，O是边AB中点， 

所以AM→=AD→+DM→ 

=AD→+(DE→+EM→) 

=AD→+23DC→+47EA→ 

=AD→+23AB→−47AE→ 

=− AD+10.【答案】B;【解析】解：∵向量a→=e1→+e2→，b→=4e1→+3e2→，其中e1→=(1,0)，e2→=(0,1)， 

∴11.【答案】A;【解析】解：∵向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=1，且(a→−52b→)⊥(a→+b→)， 

∴(a→−5212.【答案】A;【解析】解：因为在ΔABC中,A=60O,b=1,SΔABC=3，所以3=12×1.csin60°， 

所以c=4，由余弦定理可知：a2=b2+c213.【答案】A;【解析】解：∵AB→⊥AC→，∴以A为原点，直线AB，AC分别为x轴，y轴，建立如图平面直角坐标系，则根据条件得： 

P(1,4)，B(1t,0),C(0,t)， 

∴PB→.PC→=(1t−1,−4).(−1,t−4) 

=−1t+1−4t+16 

=−(4t+1t)+17⩽−24t.1t+17=13，当且仅当4t=1t，即t=1214.【答案】B;【解析】解：∵CA→=BA→−BC→=(−cosα−cosβ,−sinα−sinβ)， 

∴cosα+cosβ=−cosγsinα+sinβ=−sinγ， 

∴cos15.【答案】C;【解析】解：∵a=2，sin(A+B)=13，sinA=14， 

∴sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=13， 

∴由正弦定理a16.【答案】（6，-6）;【解析】解：设点C(a,b)， 

∵G(2,0)是ΔABC的重心， 

∴−6+6+a3=22+4+b3=0，解得b=−6， 

∴点C(6,−6). 

故答案为：17.【答案】32,+∞ 

【解析】此题主要考查向量的坐标运算，和向量的夹角问题，属基础题，注意向量夹角为钝角的条件是数量积小于零，并且不能共线.解：∵向量→ a=2,λ，→ ∴a→.∴λ>3 2， 

又向量不能共线，∴2 3≠λ 故答案为3 18.【答案】815【解析】解：∵由题意可得：S=c2−(a2+b2)+2ab=−2abcosC+2ab=2ab(1−cos C)=12absinC， 

∴解得：1−cos19.【答案】2.5;【解析】解：由题意，连接平面四边形ABCD的BD分成两个三角形，BC=CD=a，∠BCD=90°， 

可得：BD=2a2． 

在ΔABD中，由余弦定理：cosA=22+22−BD22×2×2=8−2a28(0<A<π)． 

四边形ABCD面积S=SΔBCD+SΔABD=12a220.【答案】22【解析】解：A：B：C=1：1：2， 

∴A=B=π4，C=π2， 

∴ac=sinAsinC=22， 

21.【答案】解：（1）在△ABC中，∵a2+b2-ab=c2，可得：b2+a2-c2=ab， 

∴由余弦定理可得：cosC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12， 

∵C∈（0°，180°）， 

∴C=60°． 

（2）∵C=60°，abcosC=12【解析】 

(1)由已知结合余弦定理可求cosC的值，结合C的范围及特殊角的三角函数值即可得解． 

(2)由已知可求ab的值，进而根据余弦定理即可计算得解c的值． 

这道题主要考查了余弦定理，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．22.【答案】解：由题意知AB=5(3+3)海里，∠DBA=90°−60°=30°，∠DAB=90°−45°=45°∴DB=又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°−60°)=60°，BC=203(海里)，在ΔDBC中，由余弦定理，得CD【解析】在ΔDAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB=ABsin∠ADB，由此可以求得DB=103海里；然后在23.【答案】解：（1）由余弦定理知，cosC=a2+b2−c22ab， 

∵2a-c=2bcosC， 

∴2a-c=2b•a2+b2−c22ab，化简得a2+c2-b2=ac， 

由余弦定理知，cosB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12， 

∵B∈（0，π）， 

∴B=π3． 

（2）由正弦定理知，2R=bsinB=【解析】 

(1)结合已知条件和余弦定理，可推出a2+c2−b2=ac，再利用余弦定理，即可求得B的值； 

(2)由正弦定理得外接圆的半径，延长AH，交圆O于点D，作CE⊥AD于点E，结合圆的性质知ΔOCD为等边三角形，进而得CE24.【答案】解：(Ⅰ)在ΔABC中，由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB=36+9−2×6×3×59=25， 

解得：b=5， 

而cosC=b2+a2−c22ab=36+25−92×6×5=1315， 

cosA=b2+c2−a22bc【解析】 

(Ⅰ)由已知及余弦定理可得b=5，进而根据余弦定理可求cosC，cosA，代入所求即可计算得解． 

(Ⅱ)由正弦定理可得sinC=12sinA，由范围0<A<π25.【答案】 

解：(Ⅰ)由已知得C=π−(A+B)， 

由正弦定理得 

2cos

C(sin

Acos

B+sin

Bcos

A)=sin

C， 

即2cos

Csin(A+B)=sin

C， 

故2sin

Ccos

C=sin

C． 

∵sin C≠0， 

∴cos

C=12，所以C=π3． 

(Ⅱ)由已知得12absin

C=332． 

又C=π3，所以ab=6． 

由已知及余弦定理得a【解析】 

(Ⅰ)利用正弦定理以及两角和与差的三角函数转化求解C； 

(Ⅱ)通过三角形的面积以及余弦定理转化求解即可． 

该题考查两角和与差的三角函数，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．

26.【答案】解：（1）设BC=a，AC=b，AB=c，由sinα+sinβ=sinγ（cosα+cosβ）， 

根据正弦定理和余弦定理得，a+b=c(b2+c2−a22bc+a2+c2−b22ac)， 

化简整理得，a2+b2=c2， 

由勾股定理可得γ=π2； 

（2）设【解析】 

(1)由已知条件，结合正弦定理及余弦定理可得a2+b2=c2，由此可得γ=π2； 27.【答案】BD;【解析】【分析】 

本题主要考查空间向量的数量积，属于基础题. 

根据A，B，C，D四个选项利用向量的数量积即可求解.【解答】 

解：因为2BA→·AC→=2a2cos120∘=−a2，所以A错误； 

因为2AD→·BD→=2a28.【答案】ABC;【解析】解：A，∵向量不能比较大小，∴A错误， 

B，∵a→⋅c→=b→⋅c→，∴(a→−b→)⋅c→=0，∵非零向量a→，b→，c→，∴(a→−b→)⊥c→或a→=b→，∴B错误， 

29.【答案】CD;