数学建模A试卷解答

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数学建模

甲A参考解答

一、解：用两段法。阶段1.求解辅助规划

minx4+x6

x2+x3+x4=4

S.t.x1+x24x3+x5=5

x12x3+x6=3，6xj≥0，j=1，

001

01

01

11000100

001000100100100

04x45x53x6

10010001

4

0100132

410001000

00

3

23x3

14

3103x223x110190100

4x310x511x1*02

1

001000100010

11

1

1

7

4x4

1*20

12x5

111

3x2

1

10

3*1

000

4

2x42x23x1

01027

1

101

12000100

1

10

原规划最优解为

2

3

1000

x*=（11，0，4）

最优目标值z*=27

2

323x323103x2232x1

1

1

辅助规划最优解找到,人工变量x4,x6均已出基.

阶段2.划去辅助规划最优表中人工变量所在列，求解原规划:

数学建模

二、解：设xij=则数学模型为

1，投资第i种广告的第j种计划

，i，j=1，2，3

0，否则

maxZ=100x11+120x12+150x13+40x21+100x22+200x23+80x31+100x32+115x335x11+6x12+8x13+4x21+8x22+12x23+4x31+5x32+6x33≤18000x11+x12+x13≤1

x21+x22+x23≤1

x31+x32+x33≤1

xij∈{0，1}，i，j=1，2，3

三、解：x1

78（4）（4）20

10+412+4∞

∞∞9→W=

∞∞20920∞（4

）

→

20（7）8

14∞∞9

→

20+79∞

20（7）（8））（7）（8）（

（14）∞→

v1

四、解：题目中的数据均为大致时间，粗略估计的量，带有较多的误差。因此寻觅人口增长

规律时不需要，也不应当过分强调规律与数据完全吻合。数据中20世纪以前的人口资料更加粗略，况且人口的预报确凿程度主要受到20世纪人口增长规律的影响，因而组建预报模型时，不必要考虑20世纪以前的数据资料，在20世纪人口增长速度是逐渐变快的，因此用直线变化（匀速增长）建模做预报是不恰当的；做为人口增长的模型，

数学建模

r为固有增长率,N(t)为t时人口数，a为最初人口数，Nmax人口容量（资源、环境

能容纳的最大数量）。方法一：假设人口增长使用指数模型

指数关系将

。式取对数可得

，它是关于t的线性模型。

dN

=rx,x(0)=adt

利用1930~1999年的数据估计a,r。（可以得到lna=-28.33,r=0.0162,模型为

(亿)(1930≤t≤1999)

．

模型的拟合效果为（人口单位：亿）年代19301960197419871999人口数2030405060拟合数19.4931.7039.7849.1156.61拟合效果较好，可用于预报。）令N(t)=100，可求出t=2030.84，故可知假使照此规律大约在2031年世界人口将达到100亿，而于2100年世界人口将达到307亿。

方法二：或假设人口增长使用Logistic模型

dNN

=rN(1x(0)=a。dtNmax

五、解：假设1）单位时间生产费用f(x′(t))与生产率平方成正比，比率系数为k1，其中

x(t)是产量；

2）单位时间产品的贮藏费g(x(t))与产量成正比，比率系数为k2。

c(x(t)：[0,T]时间内生产与贮存的总费用最小。

由假设，f(x′(t))=k1[x′(t)]，g(x(t))=k2x(t)

2

c(x(t)=min∫(f(x′(t))+g(x(t)))dt=min∫(k1[x′(t)]2+k2x(t))dt

TT

x(0)=0，x(T)=Q

用变分法求解.F(t,x,x′)=k1(x′)2+k2x，由Euler方程得：

Fx(t,x,x′)

d

Fx′(t,x,x′)=0dt

结合x(0)=0,x(T)=Q，

k22k1x′′(t)=0，

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k224k1Qk2T2

x(t)=t+t总费用最小的生产计划。

4k14k1T

六、解：

10.260.670.470.50.430.53

10.530.380.320.250.430.71

1

0.581

0.190.351

0.220.510.151

0.170.050.490.061

10.420.420.410.350.11

七、解：设平稳分布为

由平衡方程得

(π1

π2

π3)

0.6π1+0.1π2+0.06π3=π1

0.2π1+0.6π2+0.04π3=π20.2π+0.3π+0.9π=π

1233

π1+π2+π3=1

πππ

1

===

2

3

171757

八、解：使用数学期望最大原则，设生产x件，则获利Q是x的函数：

mYn(xY),若Yx.

Q=Q(x)=

mx,若Y≥x.

Q是随机变量，它是Y的函数，其数学期望为

E(Q)=

+

∞

∫

∞0

QfY(y)dy=

∫

x0

[myn(xy)]

1

eθ

y/θ

dy

1y/θ

dy∫x

θ

=(m+n)θ(m+n)θe

mx

x/θ

nx.

d

E(Q)=(m+n)ex/θn=0,令d