激光束传输与变换第五讲

激光束传输与变换第五讲第1页，共76页，2023年，2月20日，星期日本讲内容§1.8偏心Gauss光束

§1.9贝塞尔光束

§1.10矢量Gauss光束第二章Gauss光束的衍射第2页，共76页，2023年，2月20日，星期日§1.8偏心Gauss光束当传输轴线与峰值光强轴线偏离时,称为偏心Gauss光束.例如:一般的Gauss光束被偏离轴线的球面镜反射.第3页，共76页，2023年，2月20日，星期日本节内容1.一维偏心Gauss光束2.一维偏心Gauss光束的光场分布3.一维偏心Gauss光束的等相位面与曲率半径4.一维偏心Gauss光束的曲率中心5.二维偏心Gauss光束第4页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.一维偏心Gauss光束对横坐标x作以下变换

xx+ix0式中x0为实数.

它仍是傍轴近似下Helmholtz方程的解.第5页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.一维偏心Gauss光束整理后第6页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.一维偏心Gauss光束式中第7页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.一维偏心Gauss光束上式说明,偏心Gauss光束的光强极大值并不位于传输线z(x,y=0)上,而是位于(x=xI(z),y=0)处,即相对传输线在x方向偏移了一个角度Ix一般将上式确定的光强极大值传输方向称为偏心Gauss光束的峰值光强轴线.第8页，共76页，2023年，2月20日，星期日2.一维偏心Gauss光束的光场分布若用z’表示峰值光强轴线,与其垂直的横平面坐标用(x’,y’)表示,则在(x’,y’,z’)坐标系中,偏心Gauss光束场分布即不是Gauss型的,也不是轴对称的.但是,在x’<<z’的条件下,偏心Gauss光束场分布相对于z’轴线近似是Gauss型的.第9页，共76页，2023年，2月20日，星期日3.一维偏心Gauss光束的等相位面与曲率半径若令0’=0cosIx,z0’=z0/cosIx,则其光斑半径及等相位面曲率半径满足第10页，共76页，2023年，2月20日，星期日3.一维偏心Gauss光束的等相位面与曲率半径在传输线z上,偏心Gauss光束的等相位面是抛物面的,其曲率半径R(z)满足:第11页，共76页，2023年，2月20日，星期日4.一维偏心Gauss光束的曲率中心曲率中心在x方向偏移的距离为xP.当z>0时,xP<0,曲率中心向z轴下方偏移;当z<0时,xP>0,曲率中心向z轴上方偏移.偏移距离与传输距离成反比,对于较远的传输距离,等相位面曲率中心轴线可近似认为与传输轴线z重合.第12页，共76页，2023年，2月20日，星期日4.一维偏心Gauss光束的曲率中心光强极大值和曲率中心的偏移距离满足:xI(z)xP(z)=-x02当z=z0时xI(z0)=xP(z0)第13页，共76页，2023年，2月20日，星期日5.二维偏心Gauss光束推广到二维,并考虑到在光腰平面(z=z’=0)处偏心光束相对z轴存在偏移第14页，共76页，2023年，2月20日，星期日5.二维偏心Gauss光束另外一种偏心Gauss光束场分布表达式为式中y0为实数.第15页，共76页，2023年，2月20日，星期日5.二维偏心Gauss光束上式可改写为式中第16页，共76页，2023年，2月20日，星期日5.二维偏心Gauss光束上式确定的偏心Gauss光束1.峰值光强轴线z’与传输线z的夹角在xoz和yoz平面上的正切值分别为x0/z0和y0/z0.2.光腰(z=z’=0)处的横平面上,峰值轴线z’的原点坐标为(x=xd,y=yd).第17页，共76页，2023年，2月20日，星期日§1.9贝塞尔光束用直接代入法可证，形如的贝塞尔光束是赫姆霍茨方程在z>=0自由空间的一个特解。式中

k为波数，J0为零阶贝塞尔函数。第18页，共76页，2023年，2月20日，星期日§1.9贝塞尔光束当0<a<=k时，这是一个在垂直于z的横截面上具有光强分布J02(ar)的光束，且光强分布不随z而变，因此具有“无衍射”特性。其中心主极大的半宽度近似于a－1，光强分布随r－1而衰减。当a=0时，为平面波解。当a>k时，变成随z增加而衰减的场。第19页，共76页，2023年，2月20日，星期日§1.10矢量Gauss光束Gauss光束的偏振态更精确的结果解决波长较长的微波频段的一些问题第20页，共76页，2023年，2月20日，星期日本节内容1.复点源概念

2.偶极场

3.近似处理第21页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.复点源概念

所谓复点源指的是波源位于复数坐标系中，或是在实数空间坐标系中有一个复位移。球面波空间部分应满足的波动方程为：该方程的解为(1.8.1)(1.8.2)第22页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.复点源概念

在直角坐标系中

r=(x2+y2+z2)1/2 (1.8.3)

当源点从坐标(0,0,0)移到(x0,y0,z0)，相应的r为

r=[(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2]1/2(1.8.4)

把上式代入(1.8.2)式，可以证明，它仍然是波动方程(1.8.1)的解，事实上，即使位移量x0、y0、z0是复数，结果也是正确的。第23页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.复点源概念

下面研究一种特殊情况，设源点位置为(0,0,-iz0)，这时

r=[x2+y2+(z+iz0)2]1/2(1.8.5)

假定 z0>>(x2+y2)1/2(1.8.6)r可以按级数展开，结果代入(1.8.2)式第24页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.复点源概念r按级数展开成结果代入(1.8.2)式(1.8.7)第25页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.复点源概念

在振幅中只保留展开式的第一项，在位相中保留展开式的前两项，可获得(1.8.8)第26页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.复点源概念

如果令(1.8.9)第27页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.复点源概念

代入到(1.8.8)式中，可获得与1.4节结果相同的基模Gauss光束表达式(1.8.10)第28页，共76页，2023年，2月20日，星期日2.偶极场

考虑一个位于坐标原点,随时间做简谐振动的电偶极子或磁偶极子产生的场.利用Hertz矢量(Hertz势)，导出偶极辐射场的空间分布是很简便的。设Hertz电矢量e，Hertz磁矢量为m，它们与电偶极矩和磁偶极矩的关系分别为：第29页，共76页，2023年，2月20日，星期日2.偶极场(1.8.11)式中pe为电偶极矩，pm为磁偶极矩。第30页，共76页，2023年，2月20日，星期日2.偶极场

电场E和磁场H与Hertz势的关系为

Hertz势满足方程(1.8.13)(1.8.12)第31页，共76页，2023年，2月20日，星期日2.偶极场

利用

(1.8.14)第32页，共76页，2023年，2月20日，星期日2.偶极场式中ne是pe方向的单位矢量，e=|e|。r为矢径

r=xi+yj+(z+iz0)k (1.8.15)式中i,j,k分别是x、y、z方向的单位矢量。对于磁Hertz矢量也存在着一组类似的结果。第33页，共76页，2023年，2月20日，星期日2.偶极场

假定只存在电偶极矩，且定向在x轴方向(ne=i)。略掉因子(1/40)exp(it)，可得到(1.8.16)第34页，共76页，2023年，2月20日，星期日2.偶极场

相应的磁场为

(1.8.17)第35页，共76页，2023年，2月20日，星期日2.偶极场

从以上两式可以看出，电场和磁场是不对称的。这个缺陷可通过把一个磁偶极子产生的场叠加在这个场上得到克服。设磁偶极子定向在y轴，由此有nm=j。为简化，令

pe=1 pm(0/0)1/2=-1 (1.8.18)第36页，共76页，2023年，2月20日，星期日2.偶极场这时电场为(1.8.19)第37页，共76页，2023年，2月20日，星期日2.偶极场磁场为在上面的表达式中r是复数。(1.8.20)第38页，共76页，2023年，2月20日，星期日3.近似处理1)注意到z0=02/，则有

这个式子说明(kr)-2属于高级小量，可以忽略掉。(1.8.21)第39页，共76页，2023年，2月20日，星期日3.近似处理2)

只要x与0属于同一数量级，最后一步近似是允许的。(1.8.22)第40页，共76页，2023年，2月20日，星期日3.近似处理3)

因此可以把r-1展成(x2+y2)/(z+iz0)2的幂级数，有该式的第二项属于(k0)-2的量级，这可以通过与(1.8.22)式的比较看出。(1.8.23)(1.8.24)第41页，共76页，2023年，2月20日，星期日3.近似处理

对于(1.8.19)式和(1.8.20)式括号外的r－1因子也用上面的方法处理。最后得到:(1.8.25)第42页，共76页，2023年，2月20日，星期日3.近似处理展开式(1.8.7)中的第二项k(x2+y2)/2(z+iz0)在指数因子中不是二级小量，而第三项属于二级小量。这样指数项变成(1.8.26)第43页，共76页，2023年，2月20日，星期日3.近似处理

将上式代入(1.8.25)式，得(1.8.27)第44页，共76页，2023年，2月20日，星期日3.近似处理

方括号后面的项只要乘(iz0/2k2)exp(-kz0)，就变成基模Gauss光束的表达式(1.8.8)。方括号中的后三项可看成是修正因子，它们就是标量近似中所忽略的(k0)-2项。对其余五个电磁分量也进行类似处理，并利用表示基模Gauss光束，保留到(k0)-2项，则电磁场的各分量为：第45页，共76页，2023年，2月20日，星期日3.近似处理(1.8.28)第46页，共76页，2023年，2月20日，星期日3.近似处理(1.8.29)第47页，共76页，2023年，2月20日，星期日3.近似处理

为了研究Ex、Ey和Ez的振幅分布，选取y=x的45o特殊平面，根据(1.8.28)式，归一化的场为：第48页，共76页，2023年，2月20日，星期日3.近似处理

式中=(x2+y2)1/2。(1.8.30)第49页，共76页，2023年，2月20日，星期日3.近似处理第50页，共76页，2023年，2月20日，星期日3.近似处理

从图中可以看出:1)电场的主分量(Ex)的分布是Gauss型的，而其他两个则不是。

2)与主分量相比，Ez近似到(k0)-1，Ey近似到(k0)-2。因此，即使忽略二级小量(k0)-2，由于Ez的存在，基模Gauss光束也不能简单地按平面波处理。第51页，共76页，2023年，2月20日，星期日本章小结

本章以光的电磁理论为基础,导出有关高斯光束的几种形式:

基模高斯光束 高阶模高斯光束 椭圆高斯光束 偏心高斯光束 矢量高斯光束并讨论它们的场分布特点以及传输规律。第52页，共76页，2023年，2月20日，星期日第二章Gauss光束的衍射

研究Gauss光束的衍射的目的：

1)与平面波和球面波的衍射相比较，找出它们之间的异同。

2)通过平面Gauss光束的衍射说明Gauss光束各参量的物理意义。

3)计算Gauss光束通过限制孔径的衍射损耗，找出有效通光孔径，以便作为光学设计的参考。第53页，共76页，2023年，2月20日，星期日本章内容§2.1Huygens-Fresnel原理§2.2Gauss光束的Fraunhlfer衍射§2.3Gauss光束的Fresnel衍射§2.4Gauss光束的衍射解释§2.5线性偏振的Bessel－Gauss光束§2.6Gauss光束衍射损耗第54页，共76页，2023年，2月20日，星期日§2.1Huygens-Fresnel原理研究光波衍射的基本理论成功地解决了平面波及球面波的衍射问题用衍射方法研究激光谐振腔的理论基础本节将采用这个原理研究Gauss光束的各种衍射问题第55页，共76页，2023年，2月20日，星期日本节内容1.Huygens-Fresnel原理2.傍轴近似3.Fresnel近似和Fraunhlfer近似第56页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.Huygens-Fresnel原理Huygens原理：一个波阵面上的每一点都可以看成新的子波中心，从这些中心发出球面子波，以后任意时刻的波阵面或波前是这些子波的包络面。Huygens-Fresnel原理：Huygens原理＋子波相互干涉的假设。Huygens-Fresnel原理的数学表达式：Huygens-Kirchhoff积分第57页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.Huygens-Fresnel原理设波场中任意一个曲面G上场的复振幅分布函数为u(r0)，r0是曲面G上Q点的位置矢径。假设考查P点的复振幅为u(r)，r是P点位置的矢径。第58页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.Huygens-Fresnel原理

根据Huygens-Fresnel原理，P点的复振幅为式中K为比例系数，称为倾斜因子。dS为Q点近旁的面积的面积元。积分区为整个曲面G。（2.1.1）

第59页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.Huygens-Fresnel原理

为了使积分式(2.1.1)更具体，并且有实际意义，下面考虑点波源S发出的光通过孔径G所发生的衍射。第60页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.Huygens-Fresnel原理

设光源S点的坐标为(x’,y’,z’)，衍射孔任意一点Q的坐标为(x0,y0,z0)，考查点P的坐标为(x,y,z)，并设线段(2.1.2)

第61页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.Huygens-Fresnel原理

点波源S产生的球面波在Q点引起波动的复振幅(除去一个常数因子)为(2.1.3)

第62页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.Huygens-Fresnel原理

倾斜因子K反映的是面积元对光源及考查点倾斜的影响。通过Green函数的运算，得式中是波长，’是线段SQ与面积元dS的法线的夹角，是线段QP与面积元dS的法线的夹角，i是单位虚数。(2.1.4)

第63页，共76页，2023年，2月20日，星期日1.Huygens-Fresnel原理

将以上两式代入(2.1.1)，得到衍射场中P点的复振幅为(2.1.5)

第64页，共76页，2023年，2月20日，星期日2.傍轴近似

假设衍射孔G位于Z0=0的平面上(参见图2.2)，孔的中心C点的坐标为(x0=0,y0=0)，光源S到孔中心C的距离为r’c，考查点P到中心C的距离为rc，则有(2.1.6)

第65页，共76页，2023年，2月20日，星期日2.傍轴近似傍轴条件1：光源到衍射孔的距离比衍射孔的限度大得多，考查点到衍射孔的距离也比衍射孔的限度大得多。用数学式表示为式中(x02+y02)max1/2表示孔中心C到边缘的最大距离。(2.1.7)

第66页，共76页，2023年，2月20日，星期日2.傍轴近似傍轴条件2：光源到衍射孔的距离比光源到衍射孔中轴线(过C点垂直于衍射孔所在平面的直线)的距离大得多，考查点到衍射孔的距离比考查点到衍射孔中轴线的距离也大得多。用数学式表示为(2.1.8)

第67页，共76页，2023年，2月20日，星期日2.傍轴近似

在傍轴条件近似下，有

cos’cos1(2.1.9)

这时倾斜因子取最简单的形式k=i/。积分式(2.1.5)简化成(2.1.10)

第68页，共76页，2023年，2月20