有限元基本概念

有限元分析基本概念有限元分析（FEA，Finite

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Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。

有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh

Ritz法＋分片函数”，即有限元法是Rayleigh

Ritz法的一种局部化情况。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh

Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。

对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为：

第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。

第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。

第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。

第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。

为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。

对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。

第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。

第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。

简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。

有限元分析系统的发展现状与展望随着现代科学技术的发展，人们正在不断建造更为快速的交通工具、更大规模的建筑物、更大跨度的桥梁、更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。这一切都要求工程师在设计阶段就能精确地预测出产品和工程的技术性能，需要对结构的静、动力强度以及温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计算。例如分析计算高层建筑和大跨度桥梁在地震时所受到的影响，看看是否会发生破坏性事故；分析计算核反应堆的温度场，确定传热和冷却系统是否合理；分析涡轮机叶片内的流体动力学参数，以提高其运转效率。这些都可归结为求解物理问题的控制偏微分方程式往往是不可能的。近年来在计算机技术和数值分析方法支持下发展起来的有限元分析（FEA，Finite

Element

Analysis）方法则为解决这些复杂的工程分析计算问题提供了有效的途径。我国在"九五"计划期间大力推广CAD技术，机械行业大中型企业CAD的普及率从"八五"末的20%提高到目前的70%。随着企业CAD应用的普及，工程技术人员已逐步甩掉图板，而将主要精力投身如何优化设计，提高工程和产品质量，计算机辅助工程分析（CAE，Computer

Aided

Engineering）方法和软件将成为关键的技术要素。在工程实践中，有限元分析软件与CAD系统的集成应用使设计水平发生了质的飞跃，主要表现在以下几个方面：

增加设计功能，减少设计成本；

缩短设计和分析的循环周期；

增加产品和工程的可靠性；

采用优化设计，降低材料的消耗或成本；

在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题；

模拟各种试验方案，减少试验时间和经费；

进行机械事故分析，查找事故原因。

在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。下图是美国旧金山海湾大桥地震响应计算的有限元分析模型。

发展方向及重大进展国际上早20世纪在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。从那时到现在，世界各地的研究机构和大学也发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。当今国际上FEA方法和软件发展呈现出以下一些趋势特征：

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从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从理论上也已经证明，只要用于离散求解对象的单元足够小，所得的解就可足够逼近于精确值。所以近年来有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题。例如当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反过来影响到气流的流动……这就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓"流固耦合"的问题。

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由求解线性工程问题进展到分析非线性问题随着科学技术的发展，线性理论已经远远不能满足设计的要求。例如建筑行业中的高层建筑和大跨度悬索桥的出现，就要求考虑结构的大位移和大应变等几何非线性问题；航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，也要考虑材料的非线性问题；诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现，仅靠线性计算理论就不足以解决遇到的问题，只有采用非线性有限元算法才能解决。众所周知，非线性的数值计算是很复杂的，它涉及到很多专门的数学问题和运算技巧，很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如MARC、ABQUS和ADINA等专长于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。这些软件的共同特点是具有高效的非线性求解器以及丰富和实用的非线性材料库。

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3疫颈增强可视化的急前置建模和后傻置数据处理功唱能早期有限元殃分析软件的研泊究重点在于推戴导新的高效率债求解方法和高录精度的单元。怜随着数值分析饼方法的逐步完爱善，尤其是计久算机运算速度咳的飞速发展，纵整个计算系统尊用于求解运算兔的时间越来越晶少，而数据准南备和运算结果阴的表现问题却搁日益突出。在傅现在的工程工潮作站上，求解均一个包半含典1燕0晋万个方程的有绍限元模型只需毒要用几十分钟声。但是如果用域手工方式来建梯立这个模型，角然后再处理大馒量的计算结果悉则需用几周的接时间。可以毫赞不夸张地说，遥工程师在分析内计算一个工程侮问题时乐有咱80稍%握以上的精力都果花在数叔据准备和结果牛分析上。因此篮目前几乎所有邻的商业化有限原元程序系统都善有功能很强的毙前置建模和后据置数据处理模辉块。在强黄调辰"捆可视教化味"拴的今天，很多响程序都建立了铲对用户非常友塞好块的沟GU懒I咏（亲Graphi汽cs

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Inte壁rfac徐e勿）简,耗使用户能以可叙视图形方式直纪观快速地进行辉网格自动划分厦，生成有限元甜分析所需数据性，并按要求将幻大量的计算结虫果整理成变形画图、等值分布挪云图，便于极懂值搜索和所需绣数据的列表输饿出草。凡肠疤

4商蔑与送CA作D来软件的无缝集寿成当今有限元梅分析系统的另里一个特点是与屯通俭用楚CA非D粱软件的集成使化用瓜可即牺,朋在护用蓝CA务D叙软件完成部件跑和零件的造型飞设计后，自动迈生成有限元网掌格并进行计算惜，如果分析的蜻结果不符合设每计要求则重新驴进行造型和计冬算，直到满意牙为止，从而极圾大地提高了设例计水平和效率蛮。今天，工程推师可以在集成究的敢CA埋D稿和侨FE刃A定软件环境中快模捷地解决一个颤在以前无法应豆付的复杂工程论分析问题。所觉以当今所有的麦商业化有限元帐系统商都开发户了和著名标的范CA享D酱软件（例绞如监Pro/EN傍GINEE弓R稀、行Unigra世phic你s按、怪SolidE塘dg校e乎、真SolidW迟ork抱s被、裙IDEA姻S别、镰Bentle功y庙和滋AutoCA竹D唉等）的接口。育尸

5尤敲在虑Winte居l幅平台上的发展雀早期的有限元产分析软件基本古上都是在大中稠型计算机（主咬要纸是派Mainfr瓦am匀e蛾）上开发和运罪行的，后来又不发展到以工程寒工作站锋（抱EW难S社，草Engine轰ering

壮WorkSt亿atio证n阿）为平台，它恰们的共同特点隙都是采邀用甲UNI衬X客操作系统伐。渡P粱C涉机的出现使计困算机的应用发穗生了根本性的糖变化，工程师吸渴望在办公桌券上完成复杂工牛程分析的梦想悟成为现实。但三是早期悼的丛P炒C迎机采雅用们1浇6焦位绑CP兴U搭和侮DO布S勿操作系统，内基存中的公共数延据块受到限制抢，因此当时计灿算模型的规模姿不能超额过洽1森万阶方程吓。冷Micros朱oft

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巴Pentiu壁m砌处理器的推出弹为西将贷P氏C醉机用于有限元拦分析提供了必附需的软件和硬边件支撑平台。忆因此当前国际战上著名的有限庆元程序研究和拦发展机构都纷扣纷将他们的软爸件移值简到钉Winte俊l吹平台上。下表锐列出了东用碎ADINA

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Wind次ows浸"显版本，同时还它有哥在纵P猴C粗机上喝的冬Linu商x缩操作系统环境边中开发的有限茧元程序包。婚粪各国内发展情况兵和前牛景贝197范9喷年美国辞的蹄SAP脾5林线性结构静、靠动力分析程序喂向国内引进移歪植成功，掀起肚了应用通用有个限元程序来分怕析计算工程问撇题的高潮。这橡个高潮一直持首续西到贷198胁1兵年雁ADIN违A插非线性结构分滨析程序引进，怪一时间许多一称直无法解决的塔工程难题都迎捆刃而解了。大纳家也都开始认既识到有限元分财析程序的确是索工程师应用计智算机进行分析焰计算的重要工吵具。但是当时诞限于国内大中职型计算机很少傍，大约只有杭协州汽轮机厂屋的削Siemen朽s773挤8驱和沈阳鼓风机心厂叛的仍IBM431辟0孤安装有上述程思序，所以用户鸡算题非常不方号便，而且费用续昂贵打。雹P闷C寇机的出现及其咬性能奇迹般的辅提高，为移植汉和发使展销P四C足版本的有限元喜程序提供了必坡要的运行平台染。可以说国栋内筝FE依A万软件的发展一持直是围绕恭着屿P抵C烫平台做文章。种在国内开发比音较成功并拥有贪较多用户边（悠10死0质家以上）的有府限元分析系统晶有大连理工大天学工程力学系慕的矿FIFEX9沟5幻、北京大学力喷学与科学工程械系秀的唯SAP8爽4暑、中国农机科棕学研究院慢的普MAS5.政0离和杭州自动化骑技术研究院仍的赌MFEP4.跨半0汉等。但正如娘上面所述，国沿外很多著名的伟有限元分析公妻司已经从前些祝年冲对踪P筋C本平台不屑一顾晒转变为热衷发睬展，对国州内党FE堤A各程序开发者来抓说发蓝展齐P锣C宫版本不再具有掀优势，而应该鲁从下面几方面凑加以努力筑：寒枕案

1扣俱研究开发求解艳非固体力学和蜘交叉学科皮的源FE擦A插程序经过几十外年的研究和发明展，用于求解侄固体力学的有谁限元方法和软抄件已经比较成三熟，现在研究惨的前沿问题是各流体动力学、型可压缩和不可讨压缩流体的流浇动等非固体力唐学和交叉学科凳的问题。由于还国内没有类似叔功能的商品化惭软件，所以国敞外的软件就卖抹得非常贵。为遗了破这种垄断衫局面，我们必枕须发展有自主战版权、用于分伤析流体等非固控体力学和交叉衰学科的软件。任因为流体力学批问题远比固体卧复杂得多，而丽且很少有现成恰的软件可以借伟鉴，所以需要民投入大量的人艰力和经费。这迈就必须有国家塌和大型企业集爷团来支持。有超

2谎浮开发具有中国胞特色的自动建洋模技术卧和滚GU奥I波开发建模技术跟和愁GU勒I急的投入比前述两课题要少得多革，但却可以大漆大提量高结FE尚A沈软件的性能和肢用户接受程度师，从而起到事扣半功倍的效果饼。国内不少人雕在这方面做了撒很多工作，但厌是由于当铁时耕P旗C少机