平稳地震地面运动改进金井清谱的相关函数模型

平稳地震地面运动改进金井清谱的相关函数模型摘要：胡聿贤平稳地震地面运动谱模型是对Kanai-Tajimi模型的一种改进。在本文中，通过数学推导证明胡聿贤谱是将基岩地震动模拟为过滤白谱过程，经具有某种特性的线性单自由度土层滤波后而形成的，从而在物理上解释了胡聿贤模型的合理性。研究了低频截止频率的作用，推导出胡聿贤模型的相关函数的表达式。本文的结果可为结构随机地震反应时域分析提供基础。关键词：地震地面运动；随机过程；Kanai-Tajimi谱；胡聿贤谱；相关函数Acorrelationfunctionmodeltoearthquake-inducedgroundmotionprocesswithamodifiedKanai-TajimispectrumAbstract:AmodifiedKanai-Tajimispectralmodel,calledHuspectralmodel,isanalyzedinthispaper.TheKanai-Tajimimodelismodifiedbythefrequencyparameteroverthelowfrequencyrange.Itisprovedthattheearthquake-inducedgroundmotionmodelwithHuspectralmodelisessentiallythefilteredcolornoiseprocess.Thismodelcanconsiderthecharacteristicsofbedrockandoverlayingsoilandcansolvetheconvergenceproblemofthedisplacementandvelocityvarianceofthegroundmotion.ThestudyshowsthatthemodifiedKanai-Tajimispectralmodelisdistinctinphysicalmeaningandpracticallyreasonable.Furthermore,thefrequencyparametertorestrainthelowfrequencycontentofearthquakegroundmotionisdiscussedandtheautocorrelationfunctionofmodifiedHuspectralmodelisdeducedbycorrelationtheoryandstatespacemethodintimedomaininthispaper.Theseresultsprovideabasisforrandomresponseanalysisandreliabilityassessmentoftheseismicstructures.Keywords:earthquake-inducedgroundmotions;stochasticprocess;Kanai-Tajimispectralmodel;Huspectralmodel;correlationfunction引言强地震往往造成巨大的经济损失和人员伤亡，主要原因是土木工程设施无法抵御强烈的地震地面运动，在地震过程中发生破坏甚至倒塌，从而形成非常严重的震害。所以如果要减轻地震灾害，最为有效的手段就是努力提高工程结构的实际抗震能力，在经济许可的条件下优化结构的抗震性能。这就要求人们必须对结构在地震作用下的反应做出较为精确的分析，首先需要对地震地面运动进行估计并做出描述。由于地震的震源、传播路径和结构场地中存在着不确定性，强地震引发的地面运动被认为是随机过程。因此结构的地震反应也必然是随机过程，采用概率方法分析结构的地震反应并评估结构的抗震可靠度显得更为合理。强地震动的发生属于稀有事件，通过大量样本建立它的统计特性是不可能实现的。比较现实的做法是给出结构场地地震地面运动过程的随机模型，通过强震观测资料拟合出该模型在不同场地条件下的参数，并以此作为结构随机激励的依据。地面运动随机模型通常具有明确的物理概念，一般用功率谱密度函数描述。美国学者Housner首先将随机过程模型用于描述地震地面运动[1]，采用的模型等价于白噪声。后来在地震工程中获得广泛使用的随机地震动模型是由日本学者Kanai和Tajimi发展的过滤高斯白噪声模型[2][3]，称为Kanai-Tajimi模型（金井清模型）。Kanai-Tajimi模型将基岩地震动模拟为白噪声过程，覆盖土层简化为某种特性的单自由度线性滤波器，因而它具有明确的物理意义。但是Kanai-Tajimi谱也存在着明显缺陷，主要是过分夸大了地震动的低频成分，用于低频结构的随机地震反应分析时可能得到不合理的结果。此外，Kanai-Tajimi谱在零频处存在奇异点，不满足连续两次可积的条件，由它导出的地面速度和地面位移的方差无界。为了克服Kanai-Tajimi模型的不足之处，国内外一些学者对Kanai-Tajimi模型进行了改进，提出了多种解决方案，如胡聿贤模型[4][5]、Clough-Penzien模型[6]、欧进萍模型[7]等。在这些模型的基础上，国内一些学者又做出了进一步的修正，如杜修力[8]、赖明[9]、李春祥[10]等人提出的修正方案。在众多改进Kanai-Tajimi模型的方案中，由我国学者胡聿贤提出的改进模型在保持了Kanai-Tajimi模型优点的情况下较好地克服了其不足之处，与强震观测记录统计的结果符合得比较好，数学表达上也比较简洁，是描述地震地面运动过程随机特性的一个较为理想的模型。本文试图通过数学推导解释胡聿贤谱在物理上的意义，研究低频截止频率的作用，给出胡聿贤模型的相关函数表达式，为结构随机地震反应时域分析提供方便。1改进的Kanai-Tajimi模型Kanai-Tajimi平稳地震地面运动谱密度模型表示为(1)式中，和为覆盖土层滤波器的参数；为基岩扰动白噪声的强度。聪Kanai-晌Tajim陈i冻谱本质上础是经过一次过默滤的白噪声过臣程，载采用的沿滤波器方程为搞语起蛇矿夏白(2)兴咏砌岛往寿(南3)本式中，劝为强度为槽的拐白噪声过程。要胡聿贤谱戴对嗓Kanai-讲Tajim圣i右谱的改进方案无为刊原懂欺那浪缺昼(谢4忙)铲式中，滚为低频截止频湿率总；参序数巡n炮可扎取稍1金、公2滥或终3衫，一般侄取雁n=有3忌，因为只有这惜样才能满足连姐续两次可积条诚件遗。尺与叨Kanai-仰Tajim颈i城谱相比，胡聿复贤谱仅修正赢了共Kanai-桃Tajim粒i研谱的低频部分毕，基本上没有给改变其高频部眉分。显然，咸当傍n=拨3赛时由假胡聿贤拆加速度功率浆谱洗模型施导出的地地面运动的速揭度和位移都是段有限的。所以俭胡聿贤谱既保关留眉了疏Kanai-妨Tajim雀i爸谱的优点，又吵克服了它的不呼足。史Kanai-须Tajim栗i骄谱没有反映基愁岩地震动的真粮实频谱特性，适因为它将没基岩地震加速秀度模拟为库白谱，显然不炉符合地震的物辣理本质。李如果基岩地震禽加速度凳取为童某种有色谱，晌例如其谱密度制具有如下形式次：佣蚕步呈掘毯别(5)乒则可以证明：倾通过滤波器方芹程爆（肺2奶）和寺（踩3南）求得的地震趴地面加速度过春程僵的谱密度具有勺式订（丈4孙）的胡聿贤谱孟的形式。地这样，胡聿贤秒谱可以理解为串：具有式（渡5旦）谱密告度形式的基岩填地震动随机过旗程，经过覆盖汉土层单自由度杜线性滤波器过斥滤后的地面加荒速度过程的谱纪密度即为胡聿想贤谱。挠实际地震发生己时，基岩加速搏度过程不可能启为白谱，而只邻能是具有某种轮特征的色谱，膀所以胡聿贤谱牛比郊Kanai-捷Tajimi低谱更符合地震咏的物理本质。动2趴挎低频截止频率膜的作用晒既然胡聿贤谱眯是有色谱肆（绩5港）过滤后的结僵果，那么基岩芹地震加速度过晌程辞又具有什么特敢征呢？买基岩地震动过节程白（访5兆）具有两个谱皮参数，分别为中和所，它们同谱幅洁值的关系示于许图艺1失中。仔从弯图扩1确可以看出，基盘岩地震加速度俊过程的谱密度滋函数看（宗5般）同白谱相比描，只是在低频匆部分有所不同蚁，而在中高频裂部分是基本相别同的。当频率泼超过蚀大吓约幕2撑倍时，它同白纤谱几乎没有差急别。所以式吃（拌5渔）的基岩地震僵动功率谱模型心相当于对白谱稍做出的修正，覆它削减了白谱匠的低频含量，依仅改变白谱在竿低频范围内的冲能量分布情况紫，而谱参数占则决定了对白晓谱进行修正的截范围，即大致烈在智0~勒的范围内对白宅谱做出修正。FrequencyAmplitudeFrequencyAmplitudeS/S0E-39E-05E-45FrequencyAmplitudeS/S0傲图目1纽沈基岩地震动过顷滤白谱俘（旦n=请3曾）里享许晨经叹三图爷2悲解胡聿贤功率谱倍模型童（换n=榴3炒）连下面证明式娇（默5侵）的谱密度函您数是一种过滤惯白谱过程。巨取幅n=建3饿，羽考虑如下的蝴滤波方程：吨勺虾俱歪疤廉拣(6间)会舰累孔弱原甩声蜡(7)续式中，滋为强度为仗的黑白噪声过程。搜令节，材。将过和续代入式笑（牌7鱼），注意到滨，得传递函数卡为剥舅燃污态说批(8烈)节所以游的谱密度为辞乳沾竿粪载(9)由于尽铲倾残耽员(1决0)可得袋寸拳过镰时(1阁1)锤显然，荷当麻n=驻3擦时河式足（军1塔1告）与式存（弃5畜）完全相同。闻所以基岩地震移加速度可以被扫看作一种过滤征白谱过程，而俊胡聿贤谱是过故滤白谱再过滤摸一次的结果，义即为两次过滤锡白谱。贩在基岩地震动岔过滤白谱准（挽5灰）中，皆表征基岩扰动片加速度的强度掌，取决于地震择释放能量的大敌小，一般可由包最大地震地面呼加速度均值确射定；参数迟控制基岩地震男动的低频截止呼范围，霸越大，地震低死频含量就越少龟，它在物理上拒应该同震源机团制存在关系。样一般而言，地爆震发生时基岩英地震动的高频艰含量是比较丰柳富的，经过土哪介质过滤后，关高频含量被大旗量滤掉，而某脸些长周期的成鸦分被放大了。婚从这个意义上与讲，基岩地震福动模型化（雕5怒）仅修正白谱字的低频部分而幼不改变其高频被部分不仅在数旱学上非常简洁肆，在物理上也那具有一定的合半理性。因为被扎土介质过滤后刃，基岩地震动锣传播到场地后朱其高频分量的峰影响已经不是浮很大了。伟关于低频截止左频率么的取值，一些禾学者做过专门售的研究。洪峰待等泊[援11奸]脑利用实际地震童地面加速度记资录，采用最小疏二乘法拟合胡扎聿贤谱的谱参诊数，给出了两棚种场地条件下扑参数坊的取值，结果脖见梯表携1顶。已王光君杰等贞[1放3塘]悔基于台拳湾冶SMART-兽1馅台网三次地震尽记录讲的燃N-庙S历分量，计算了悬其加速度功率铅谱密度和位移训功率谱密度的菠统计值，通过配非线性拟合技届术对这些统计剥值进行了拟合详，得到了胡聿售贤谱模型的参丢数取值，结果加列于赠表姓2旦中。浴表冻1耽敢胡聿贤每功率表谱棵模型践的参数徒（洪峰的结果恼，政n=3肺）嚷场地条件喝(挠rad/s)丛(阁rad/s)拢软土场地批1.574匪10.25埋1.742驻1.006跨中等土场地议1.076消17.07累2.108待0.7845歇表田2尼誉胡聿贤怒功率奋谱踩模型处的呆参数疾（朋王命君杰的结果躁，鹿n=3市）桥地震编鸟码液(锈×低10宅-3渣)室(辽rad/s)睛(献rad/s)毁E-05挺3.30两16.77袖2.65滑0.63除E-39皮55.00嚷6.97榴3.60线0.40沫E-45芳14.05必10.59俩1.51坏0.56干王岔君杰党根据三次实际汤地震拟合出的乱胡聿贤谱模型点如后图慧2西所示，六从中可以看出理对地面运动功虏率谱形状的影呜响。仙3超基岩地震动过激程的时域特征种式我（宇4纠）的县功率谱密度函刮数描述了胡聿裂贤谱的频域特那性，而时域特兽性主要通过相返关函数体现。熄胡聿贤模型唯是虫对送基岩地震加速北度辟过滤白击谱进行再次墙过滤笨的结果急，而座基岩地震加速舅度什则妇可以通过式器（堤6草）茄和老式波（水7外）膨的陡过滤方程双得到。恩引入垄状克态向量，窜将式惰（霜7百）写成状态方虏程形式娇叼孩和始颜薯(1帜2)式中，，，仰和谷都具有对称性法，式浓（门1槐2榨）所对应的特白征方程为及蒜叛电语膜谊(搜13)饱可解得特征值惑为椅，蜘，馅能却左猛彼(判14)燕对应的复振型粘为招，妈，则答眯旅使愧(15)禽可以证明，各碎复振型撤之间具有如下踪的加权正交性盯：时作复模态变换坐衡旅瞎皮慨亲帽(张1伞6扑)扁将式掠（浪1侄6妥）代入式窝（弟1词2瘦），分别前乘讽，炼和息，透并间利用复振型的汤正交性，可得菌到三叉个然相互解耦的方晚程：单膊侄忆万缠蚀(松1玻7)式中，。庙方程迅（己1途7撕）的解为抱雨墨划狡厌燥(籍1货8)存复振型反应脏、杰的相关函数为裹觉冬岔柱耍帐僵(子1暖9)神式吐中盯“库*裙”撇表示共轭复数粱。将式着（庄1慎8理）代入式扰（味1答9席），交换义期望与积分运遭算的次序，讽得色广用(根20)畅式中，闭，睬为白噪声的相床关函数。丝由复振型变换厉（锁1垫6塘）和复振型表乐达式深（会1蚂5屿），可知体系糊的反应为庙茫春粉过啊拦跳(21)让反应的相关函薄数为效卫酿垫怨盒环块赠(动22)耐将式今（旁2组0盗）代入式妇（玉2服2查），可荣得尘坟岔执寿(见23)胃考虑到装，经积分运算断得到基岩牧过滤白熟谱戴的相关函数为争絮吩(技24)沸4株天摆胡聿贤模型的乱相关函数登如果同基岩搅地震加速度吵过程具有式漫（席1孔1泡）的功率谱密键度和撒式躲（宪2形4时）的相关函数袍，则将它筛作为输入，把言覆盖陡土层咽视为单自由度炮体系，再待经过反一次过滤市即提可得到田胡聿贤部模型算，窑滤开波辅方程为挣式扑（抄2雾）隶和式邀（驼3裂）逆。替将铁滤波方程沙（盒2铺）和什（蜡3漠）改写为如下博的状态方程形虏式：衡裹斗疫鹅丢(25泊)颤式中渡，野为具有式快（梦2称4奥）的相关函数泉的过滤白噪声交过程；陪为状态向量；宴、衣和纵为系数矩阵和俯向量，按下式怨计算：，，亿方程两（胸2桂5续）的解向量刚可分解为各阶阳复振型的反应瞎，即遥厉辈咽董晌踪(26熊)调式中，愤和年分别为章第稼j悬阶复振型和复大振型反应。军根据文抖献建[15偷]甩，地面加速度菊的相关函数为乖积如性疑慎耀(匹27)其中以扭物敌冻斩轮(启28)渔校黄悉淡崭聋(慈29)烂式中，丝为复频率，裕，鸟。袖而复振型反应树的相关函数为摔奥义进(楼30)栏将式积（畅2崖4音）代入咸式破（功3缎0戚），积分后得稼：乡防(狼31)挑点式中各系数由突下列各式确定，，捏其中曾，休波对于卧有轻，胃，崭，，，厌将芳式辩（红31汪）动代入式狼（月28帖）伴和式枯（赏29住）毕，利贱用胸Eule碧r由变换，整理后叮得递层唐(32)轻善叼(33)恢式中各系数的保计算公式分别谣为，，其中K=,L=,M=惕将阵式眨（睬32叮）积代入式质（狭33俩）也和式宣（屋27捉）虏，整理后得胁回邻决(亡34)讲式中，木、问、呢、伴、讲为系数，由下础列各式确定，，漠式原（静3牺4夸）即牙胡聿贤禽谱的相关函数犁，它与式稠（挠4欲）的谱密度函旁数（竞取华n甲=籍3驶）构成傅立叶狂变换对。5结论尊(1)劳需胡聿贤对金井浊清谱的改进方径案具有明确的旧物理意义，声改进的痛金井清将谱（胡聿贤谱垂）技实质上表述的丘是一种过滤有顷色噪声过程。叠胡聿贤谱南使得功率谱密规度函数在零点绕不再有奇异点群，保证了地面脊速度方差和位昼移方差的有界括性，该模型更宵加符合地震动明的实际情况。章(2)忙隔胡聿贤功率谱帝中的频率控制乎参数晶将盘金井清渗谱的低购频分量合理缩装减，参数值越砌大，对地面运屑动的低频含量闲的削弱就越强激。这使得胡聿针贤功率谱不仅动可用于中高频按结构的随机地鸦震反应分析，过而且还可用于纲低频结构的反眨应分析。未(3)箩妈相关函数是平阵稳过程重要的奶时域特征，通型过相关函数可盆以非常方便的坚计算出随机过薄程的均方等统曾计量。亚胡聿贤谱凝为两次过滤白办噪声过程，其炸相关函数可以浊通过滤波方程截在时域内求解纤出来，物理概忍念比较清晰。轰可为结构随机陵地震反应时域虎分析提供基础质。参考文献：柏Housne嘱rG.W甩.Char丛acteri仇stics布ofstr凡ongmo沙tiono闲feart追hquake旦s.BSS岁A,194宫7,37(情1):19诚-31族Kanai叼K.Sem群i-empi勿rical吴formul听afor泡these地ismic乒charac锄terist舞icsof旗theg驴round稍motion螺.Bull烟etino注fthe烫Earthq沈uakeR咱esearc葬h染Instit聋ute,贱Univer租sity谎of革Tokyo卖,1957榴,35(2毕):308寺-325青Tajimi活H.A元statis椒tical判method计ofde承termin哨ingth脏emaxi蹲mumre丰sponse际ofa笋buildi谢ngstr住ucture锁durin纷gane贵arthqu幕ake.2辛ndWCE融E,抹Tokyo氏,闲Japan跪,1960品胡聿挥贤秩,乱服周锡禽元宫.僻容弹性体系在平权稳和平稳化地亏面运动下的反茎应芝.乖型中国科学院土或木建筑研究所来地震工程研究奸报告集第一滨集跌,称晋北统京狠:妇竭科学出版悲社擦,1962赛金家智和奋,桃饥胡聿圣贤滤,撒神周锡慰元挡.虎睬关意于植“樱弹性系统在平膜稳和平稳化地户面运动下的反自应快”谜一文的讨释论卷.傍劳中国科学院工掉程力学研究所吴地震工程研究蛛报告集第二状集稳,矩赢北工京奖:但斥科学出版荣社友,1965市Clough屈RW间,抵Penzie皇nJ.D盏ynamic详sofs鸽tructu廊res.2糕nd傻观editio认n,New买York,嗓McGra革w-Hill枪,Inc.鸽,1993触欧进山萍莲,韵彩牛荻刘涛笛,霉牙杜修键力顾.哄拳设计用随机地真震动的模型及亚其参数确溜定直.彼音地震工程与工神程振浙动羞,1991购,11(3纹):45-俊54绪杜修张力悉,鲁明陈厚谨群据.旦逝地震动随机模贷拟及其参数确裙定方咬法绢.渣挽地震工程与工挑程振辩动既,1994偶,14(4倘):1-5仰赖群明补,拉微叶天闸义醒,痛比李英窑民昂.