概率论与数理统计其次版

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概率论与数理统计（刘建亚）习题解答——其次章

2－1解：

不能。由于(1)P(X1=-1)=-0.50;(2)P(X2=xi)=0.850。2－2解：

2－3解：

取法：n=C54，X的取值：0，1，2，3。所以

P(X=k)=

C3C12

C

415k

4-k

(k=0,1,2,3)，分布列为

2－4解：

由概率的规范性性质

N

N

aNa2

k

P(X=k)=

1，得：

(1)(2)

邋P(X=k)=

k=1ゥ

k=1

=a=1;=a=1;

\\

a=1

a=1

邋P(X=k)=

k=1

k=1

2－5解：

3骣1

P(X=k)=?

桫44

k-1

(k

2n-1

1,2,)

3骣1

P(X=2n)=?

桫44

ゥ

(n1,2,)

1

=3

2

4骣11-桫4?

15

P(X=偶数)=

邋P(X=2n)=

k=1

34

k=1

骣1

桫4

2n-1

2－6解：

P(X?4)

2－7解：n重贝努利试验，X~B(20,0.1)解法一：

3317

p(1-p)=0.1901；（1）P(X=3)=C20

16

P(7＃X10)=

12

。

（2）P(X?3)

1-P(X?2)

1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=0.3231；

2；P(X=2)=0.2852。

（3）最可能值：k=[(n+1)?0.1]

解法二：利用泊松定理，P(X=k)蛔

2

3

l

k

k!

e

-l

(k=0,1,)，l=np=20?0.12

（1）P(X=3)=（2）P(X?3)

3!

e

-2

=0.1804；

1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=0.3233

2；P(X=2)=0.2707

1-P(X?2)

（3）最可能值：k=[(n+1)?0.1]

2－8解：

X~B(n,p),n=

730

1p0=,

1365

0.l1=np=2，令

由泊松定理知P(X=k)蛔l

k

-l

k!

e(=k

0,1,

)

P(X?2)1-P(X?1)-1-2

e3=

0。.5940

2－9解：kkX~B(20,0.2),

P(X=k)=C10p(1-p)

10-k

(k=0,1,)

P(X?4)

1-P(X?3)

0.1209

2－10解：

X~B(100,0.01),n=10010,p=0.010.1

l=np=1

近似看作X~P(l，设同时出现故障的设备数为)

X，N为需要的维修工数，由题意P(X

N)

0.0，故1

N

P(XN)=1-P(X；N)1-

邋l

k

-l

l

k

l

k!e

=

k=0

k=N+1

k!

e

-0.01

查泊松分布表得N+1＝5，即N＝4。2－11解：

X~B(50000,

0.0001)

l=np=5

k

泊松定理知Pn(X=k)蛔

l

5

k

5

k!

e

-l

=

k!

?e

-k(

0,1,

)

P(X=0)蛔

5

-5

0!

e=6.73810

-3

k

P(X5)=1-P(X郴5)

1-

l

k=5

!

e

-l

k=1-0.5595

2－12解：

X~P(l)

l=4

ゥ

(1)P(X=8)=P(X?8)

P(X?9)

邋l

k

-l

-l

k

-l

=0.0297

k=8

k!e

k=9

k!

e

(2)P(X10)=

l

k

l

k=11

k!

e

-=0.00284

2－13解：

（1）由概率的规范性1=（2）P(0.3X0.7)=（3）由题意知对0＃a

+

1

蝌

-

f(x)d=x

1

cx=d2

，得cc＝2；

0.7

2xdx=0.4

；

1a

0.3

1有

a

蝌2xdx=

2xdx

得a2=1-a2∴

a=（4）分布函数定义式：F(x)=

x

f(t)dt

-

当x0时，F(x)=0；当0?x

1时，F(x)=0+

x

2tdt=x

2

；

2

当x1时，F(x)=1

0

2

F(x)=x

1

x00?xx1

1

∴

2－14设随机变量X的概率密度为

f(x)=

1329,,

x[0,1]x[3,6]other

0,

若k使得P(X?k)解：由题意知

23

23

，则k的取值范围是多少？

k)

+

=P(X?

+k

f(x)dx

1

当x1时，P(X?k)当x3时，P(X?k)所以，当1＃x

蝌

k+

f(x)dx=

k6

1329

6

dx+0+dx+0=

29

dx+0=

23

23

+

13

(1-k)

23

；

3

蝌

k

f(x)dx=

k+

29

(6-k)

6

。

23

3时，P(X?k)

蝌

k

f(x)dx=0+

3

29

dx+0=

2－15解：由概率的规范性

+1

1=

蝌

f(x)dx=

px=sint

-?

cdt=cp

p\c=

1p

P(X?

12

1

)

-

212

1p

1pp1(+)=p663

2－16解：

（1）当x0时，f(x)=F'(x)=0；

当x0时，f(x)=F'(x)=e-x；

当x=0时，F'(x)存在，且F'(0)=0,\f(0)=0

-ef(x)=

0

x

x0x0

,P(X1)=1-P(X?1)

1-F(1)=e

-1

（2）P(X?4)2－172－182－19

2－20解：

X~e(l)

l=0.1

F(4)=1-e

-4

(1)P(X?10)(2)P(10＃X

+

0.1e

-0.1x

dx=e

-0.1x

-1

-0=0.36788

-1

10

20)=

20

0.1edx=e-e

-2

=0.2325

10

2－21解：

X~N(160,

0.06)

2

(0.05?0.12)m2s

P(X-0.050.12)=1-P(X-m2s)

=1-P(m-2s＃Xm+2s)

=1-0.9545

=0.0455

2－22解：X~N(160,s20)

P(120＃X

200)=F(

200-m120-ms

)-F(0

s

)

=F(

4040

s

)-F(-s

)=2F(

400

s

)-1=0.8

F(

4040s

)=0.9，查表得

s

1.28

得s031.25

2－23

2－24设随机变量X~N(3,22)。（1）求P(2X?5),P(|X|2)；（2）确定c，使得P(Xc)=P(Xc)；（3）设d满足P(Xd)0.9，问d至多为多少？解：

（1）

（2）由条件P(Xc)=

P(X

)c得

P(X?c)

1-P(Xc)=1-P(Xc),

P(X?c)

0.5

已知X~N(3,22)，图形关于x=m(=3)轴对称，即P(X?m)∴x=m=3（3）

0.5

2－25

2－26*证明：

∵X听从几何分布，∴P(X=k)=qk-1p

P(X=n+k|X?n)

P(X=n+k)P(X?n)

=1-q

n+k-1n

(q=1-p,k=1,2,)

p

k-1

=p

q

1

n+k-1

p

n-1

k=1

q

p(1+q+q)

=

q

n+k-1

p

n

1-p

1-q

=q

k-1

p=P(X=k)

1-q

2－27*略。

2－28解：

（1）

（2）

2－29解：

1

f(x)=

0y=-2lnx,[g

-1

0＃x其它(0＃x12e

-y2

1

-1

-y2

1)?xg(y)=e,(0y+),

(y)]=-

1-e

∴j(y)=2

0

y2

y0y0

2－30解：

1

f(x)=6

0

0＃x其它

6

16

13

当0＃y3时，x-3=鞭y

[g

-1

(y)]=盶1

'

j(y)=(1+1)=

当y为其它时，j(y)=0，综合得

1

j(y)=3

0

0＃y其它

3

2－31解：

（1

）y=2x2+1?(y

11)g

-1

(y)=?

[g

-1

(y)]

'

y-14

∴当y1时

j(y)=

-

y-14

轾-111=

当y1时j(y)=0，综上得

-j(y)=0

y-14

y1y1

（2）y=x蕹(y

0)g

-1

(y)=?y,-y

2

[g

-1

(y)]'

-

1

y

2

∴当y0时

j(y)=

2

(1+1)=2

当y0时j(y)=0，综上得

-

j(y)=0

y

2

2

y0y0

另一解法：

FY(y)=P(Y?y)

P(X?y)

P(-y＃X0