新湘教版九年级下册数学全册教案

第1章二次函数

1.1二次函数

了敦与目标

【知识与技能】

1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形

式.

2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值

范围.

【过程与方法】

经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数

学的方法描述变量之间的数量关系.

【情感态度】

体会教学与实际生活的密切联系，学会与他人合作交流，培养合作意识.

【教学重点】

二次函数的概念.

【教学难点】

在实际问题中，会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.

了教学国程

一、情境导入，初步认识

1.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积SGC与相邻于围墙面的每

一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x2+100x,(0<x<50);电脑价格y(元)与平均降价率

x的关系式是y=6000xJ12000x+6000,(O<x<l).它们有什么共同点？一般形式是

yuax'+bx+c(a,b,c为常数，a^O)这样的函数可以叫做什么函数？二次函数.

2.对于实际问题中的二次函数，自变量的取值范围是否会有一些限制呢?整

二、思考探究，获取新知

二次函数的概念及一般形式

在上述学生回答后，教师给出二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,

b,c是常数,awO)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的

二次项系数、一次项系数和常数项.

注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时,要连同

符号一起指出.

三、典例精析，掌握新知

例1指出下列函数中哪些是二次函数.

..2

(l)y=(x-3)'-xJ;(2)y=2x(x~l);(3)y=3%T;(4)y=—;(5)y=5-x2+x.

x

【分析】先化为一般形式，右边为整式，依照定义分析.

解：(2)(5)是二次函数，其余不是.

【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路：

1.将函数化为一般形式.

2.自变量的最高次数是2次.

3.若二次项系数中有字母，二次项系数不能为0.

例2讲解教材P3例题.

【教学说明】由实际问题确定二次函数关系式叱要注意自变量的取值范围.

例3已知函数y=(m2-m)x2+mx+(m+l)(m是常数)，当m为何值时：

(1)函数是一次函数；

(2)函数是二次函数.

【分析】判断函数类型，关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零，列出相应

方程或不等式.

解：(1)由〈-m-0得〈,

工0

，m=l.即当m=l时，函数y=(m2-m)x2+mx+(m+l)是一次函数.

⑵由m2-m=#0得m^O且mwl,

.,.当m中0且mwl时，函数y=(n/-m)x'+mx+(m+1)是二次函数.

【教学说明】学生自主完成，加深对二次函数概念的理解，并让学生会列二次函数

的一些实际应用中的二次函数解析式.

四、运用新知，深化理解

1.下列函数中是二次函数的是()

A.y=—i----B.y=3x3+2x2C.y=(x-2)-xD.y=l-^2

X2+2X-3

2.二次函数y=2x(x-l)的一次项系数是()

A.1B.-lC.2D.-2

3.若函数y=(左一3)/=〃+2+日+i是二次函数，则k的值为()

A.0B.0或3C.3D.不确定

4.若y=(a+2)xJ3x+2是二次函数，则a的取值范围是.

5.已知二次函数y=l-3x+5x1则二次项系数a=,一次项系数b=,常数项

c~.

6.某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y

次，试写出y与x之间的函数关系式,它(填"是"或“不是”)

二次函数.

7.如图，在边长为5的正方形中，挖去一个半径为x的圆(圆心与正方形的中心重

合)，剩余部分的面积为y.

(D求y关于x的函数关系式；

(2)试求自变量x的取值范围；||

(3)求当圆的半径为2时，剩余部分的面积(n取3.14,结果精确到十分位).

1,1

【答案】LD2.D3.A4.a#-25.5,-3,16.y=—V——%是

22

7.(1)y=25-7tx2=-7tx2+25.

(2)0<x<52.

(3)当x=2时，y=-4n+25=-4x3.14+25=12.44=12.4.

即剩余部分的面积约为12.4.

【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，待学生完成上述作业后，教师指

导.

五、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾二次函数的有关概念.

2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？与同伴交流.

【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归

纳.

课后作业

1.教材巳第13题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

普敢与反思

1.2二次函数的图象与性质

第1课时二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质

敦与目标

【知识与技能】

1.会用描点法画函数y=ax2(a>0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.

2.体会数形结合的转化，能用y=ax2(a>0)的图象和性质解决简单的实际问题.

【过程与方法】

经历探索二次函数y=ax“a>0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数

的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.

【情感态度】

通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax“a>0)图象和性质的真

正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.

【教学重点】

1.会画y=ax"(a>0)的图象.

2.理解，掌握图象的性质.

【教学难点】

二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.

孽,教与国旌

一、情境导入，初步认识

问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么？二

次函数图象是什么形状呢？

问题2如何用描点法画一个函数图象呢？

【教学说明】①略；②列表、描点、连线.

二、思考探究，获取新知

探究1画二次函数y=ax“a>0)的图象.

画二次函数y=ax'的图象.

【教学说明】①要求同学们人人劫手，按"列表、描点、连线”的步骤画图y=(的

图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.

②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征.

③强调画抛物线的三个误区.

误区一：用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和发展趋势.

误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形.

如图(2)就是漏掉点(0,0)的y=x2的图象的错误画法.

误区三：忽视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁

无限延伸，而并非到某些点停止.

如图(3),就是到点(-2,4),(2,4)停住的y=一图象的错误画法.

探究2y=ax2(a>0)图象的性质在同一坐标系中，画出y=x；y=,y=2x°的图

象.

【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导，强调画图时注意每一个函数

图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征(共同点)，从而归纳二次函数y=ax2(a>0)的

图象和性质.

【教学说明】教师引导学生观察图象，从开口方向，对称轴，顶点,y随x的增大时的

变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调.

y=ax2(a>0)图象的性质

1.图象开口向上.

2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最低点.

3.当x>0时，y随x的增大而增大，简称右升；当x<0时，y随x的增大而减小，

简称左降.

三、典例精析，掌握新知

例已知函数y=(Z+2)f"I是关于x的二次函数.

(1)求k的值.

(2)k为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x在哪个范围内

取值时，y随x的增大而增大？

【分析】此题是考查二次函数y=ax?的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出

关于k的方程，进而求出k的值，然后根据k+2>0,求出k的取值范围，最后由y随x

的增大而增大，求出x的取值范围.

,、f左+2。0

解：(1)由已知得《，，解得k=2或k=-3.

二+左一4=2

所以当k=2或k=-3时，函数y=(%+2)xA-+A'"4是关于x的二次函数.

(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，所以k+2>0.

由(1)知k=2,最低点是(0,0),当x20时，y随x的增大而增大.

四、运用新知，深化理解

1.(广东广州中考)下列函数中，当x>0时，y值随x值增大而减小的是()

31

A.y=x'2B.y=x-lC.y=—xD.y=—

4x

2.已知点(T,y),(2,y»,(-3,y3)都在函数y=x?的图象上,则()

A.yi<y2<y3B.yi<y3<y2C.y3<y2<yiD.y2<yi<y3

3.抛物线y=gx?的开口向,顶点坐标为,对称轴

为,当x=-2时，y=;当y=3时，x=,当x<0时，y随x

的增大而；当x>0时，y随x的增大而.

4.如图，抛物线y=ax?上的点B,C与x轴上的点A(-5,0),D(3,0)构成平行

四边形ABCD,BC与y轴交于点E(0,6),求常数a的值.

【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时

指导.

4

【答案】1.D2.A3.上，(0,0),y轴，一，±3,减小，增大

3

4.解：依题意得：BC二AD=8,BC//X轴，且抛物线y二ax?上的点B,C关于y轴对称,

又.「BC与y轴交于点E(0,6),「.B点为(-4,6),C点为(4,6),将(4,6)代

3

入y二ax,得：a=—.

8

五、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾二次函数y=ax2(a>0)图象的画法及其性质.

2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.

,'课后作业

1.教材B第1、2题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

第2课时二次函数y=ax2(a<0)的图象与性质

敦与目标

【知识与技能】

1.会用描点法画函数y=ax2(a<0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.

2.体会数形结合的转化，能用y=ax2(a<0)的图象与性质解决简单的实际问题.

【过程与方法】

经历探索二次函数y=ax?(a<0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数

的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.

【情感态度】

通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数丫=@*26r0)图象和性质的真正

理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性.

【教学重点】

①会画y=ax2(a〈0)的图象；②理解、掌握图象的性质.

【教学难点】

二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.

y瓠字国程

一、情境导入，初步认识

1.在坐标系中画出y=，x?的图象，结合y=」x?的图象，谈谈二次函数y=ax“a>

22

0）的图象具有哪些性质？

2.你能画出y=--x，的图象吗？

2

二、思考探究，获取新知

探究1画y=ax2（a<0）的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的

方法画出丫=—-X?的图象.

2

【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成

后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学.

问：从所画出的图象进行观察,y=，X；'与y=-Lx?有何关系？

22

归纳：y=-x2与y=-LX，二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两图象关

22

于y轴对称.（教师引导学生从理论上进行证明这一结论）

探究2二次函数y=ax"（a<0）性质问：你能结合y=-1的图象，归纳出y=ax“a

2

<0）图象的性质吗？

【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y随x的增大时的变化

情况几个方面归纳，教师整理，强调y=ax"a<0）图象的性质.

1.开口向下.

2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最高点.

3.当x>0时，y随x的增大而减小，简称右降，当x<0时，y随x的增大而增大,

简称左升.

探究3二次函数丫=2（5大0）的图象及性质

学生回答：

【教学点评】一般地，抛物线y=ax''的对称轴是,顶点是,当

a>0时抛物线的开口向,顶点是抛物线的最点，a越大，抛物

线开口越；当a<0时，抛物线的开口向,顶点是抛物线的最一

点，a越大，抛物线开口越，总之，越大，抛物线开口越____________.

答案：y轴，（0,0）,上，低，小，下，高，大，小II\y\I

三、典例精析，掌握新知

例1填空：①函数y=（-夜xT的图象是,顶,,O/[\干_,对称

轴是,开口方向是_I|I

②函数y=x~,y=—X?和y=-2x'的图象如图所示，

2

请指出三条抛物线的解析式.

解:①抛物线，（0,0）,y轴，向上；

②根据抛物线y=ax?中，a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y='x；中

2

间为y=x；在x轴下方的为y=-2x2.

【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.抛物

线丫=2*2中，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，|a|越大，开口越小.

例2已知抛物线y=ax?经过点（1,-1）,求y=-4时x的值.

【分析】把点（1,T）的坐标代入y=ax；求得a的值，得到二次函数的表达式，再

把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值.

解：,点（1,-1）在抛物线y=ax2上，T=a•.,.a=T,.,.抛物线为y=-x：当

y=-4时，有-4=-x"，：.x=±2.

【教学说明】在求y=ax2的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a值.

四、运用新知，深化理解

1.下列关于抛物线y=x，和y=-x’'的说法，错误的是（）

A.抛物线y=x'和y=-x2有共同的顶点和对称轴

B.抛物线y=x°和y=-x2关于x轴对称

C.抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反

D.点（-2,4）在抛物线y=x?上，也在抛物线,y=-x?上

2.二次函数y=ax°与一次函数y=-ax（ar0）在同一坐标系中的图象大致是（)

4.已知点A(-1,y),B(l,yz),C(a,y3)都在函数y=x?的图象上，且a>l,则外，yz,y?

中最大的是.

5.已知函数y=ax2经过点(1,2).①求a的值；②当x<0时，y的值随x值的增大而

变化的情况.

【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指

导.

【答案】LD2.B3.24.ya

5.①a=2②当x<0时，y随x的增大而减小

五、师生互动，课堂小结

这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？在学生回答的基础上，教师点评：(1)

y=ax“a<0)图象的性质；(2)yuaxYarO)关系式的确定方法.

;‘课后作后

1.教材Pl。第广2题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质

J敦学目标

【知识与技能】

1.能够画出y=a(x-h尸的图象，并能够理解它与y=ax?的图象的关系，理解a,h对二

次函数图象的影响.

2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

【过程与方法】

经历探索二次函数y=a(x-h)2的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的

思想.

【情感态度】

1.在小组活动中体会合作与交流的重要性.

2.进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步

形成积极参与数学活动的意识.

【教学重点】

掌握y=a(x-h)2的图象及性质.

【教学难点】

理解y=a(x-h)"与y=ax，图象之间的位置关系，理解a,h对二次函数图象的影响.

了教学国程

一、情境导入，初步认识

1.在同一坐标系中画出yu'x?与y=L(xT尸的图象，完成下表.

22

122

〕=-Xr=y(.r-1)

开口方向向上向上

顶点坐标(0.0)(1,0)

对称轴)•轴A=1

2.二次函数y=，(XT)，的图象与y=_Lx?的图象有什么关系？

22

3.对于二次函数,(xT)；当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何

2

值时，y的值随x值的增大而减小？

二、思考探究，获取新知

归纳二次函数y=a(x-h)2的图象与性质并完成下表.

y=a(x-hyy=a(x-h)2

抛物线

(〃>o)(«<0)

顶点坐标(A.0)(/I.O)

对称轴宜线x二h宜线x=h

在K轴的上方在X轴的下方

位置

(除顶点外)(除顶点外)

开口方向向上向下

在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y

随着X的增大而随着工的增大而

增减性减小；在对•称轴增大；在对称轴

的右侧随K的增的右侧,y随着x的

大而增大增大而减小

当X=h时，最当X=h时，最

最值

小值为0大值为0

开口大小1。1越大,开口越小

三、典例精析，掌握新知

例1教材P12例3.

【教学说明】二次函数丫=2乂2与y=a(x-h尸是有关系的，即左、右平移时“左加右减

例如y=ax-，向左平移1个单位得到y=a(x+l);y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)°的

图象.

例2已知直线y=x+l与x轴交于点A,抛物线y=-2x?平移后的顶点与点A重合.①

水平移后的抛物线1的解析式；②若点B(xi,y),C(X2,丫2)在抛物线/上，且

2

X2,试比较yi,yz的大小.

解:①ry=x+l,...令y=0,则x=T,.,.A(-1,0),即抛物线/的顶点坐标为(-1,0),

又；抛物线I是由抛物线y=-2x,平移得到的,.,.抛物线/的解析式为y=-2(x+1)2.

②由①可知，抛物线/的对称轴为x=-l,,.•a=-2<0,.,.当x>T时，y随x的增大

而减小，又<xi<xz,「.yi>y2.

【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称

取点.

四、运用新知，深化理解

1.二次函数y=15(x-l)2的最小值是()

A.-lB.1C.0D.没有最小值

2.抛物线y=-3(x+l)2不经过的象限是()

A.第一、二象限B.第二、四象限C.第三、四象限D.第二、三象限

k

3.在反比例函数y=—中，当x>0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(xT)‘

x

的图象大致是()

ABCD

4.(1)抛物线y=-x?向平移个单位得抛物线y=』(x+1)'';

33

(2)抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2.

5.(广东广州中考)已知抛物线y=a(x-h尸的对称轴为x=-2,且过点(1,-3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)画出函数的大致图象；

(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最

大值(或最小值)？

【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑.

【答案】LC2.A3.B4.(1)左，1(2)y=-2x2

5.解：(l)y=-L(X+2T⑵咯(3)当x<-2时，y随x增大而增大；当x=-2时，

y有最大值0.

五、师生互动，课堂小结

1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？

2.在学生回答的基础上，教师点评：(l)y=a(x-h)2的图象与性质；(2)y=a(x-h)?与

y=ax，的图象的关系.

管》课后作业

1.教材Pl2第1、2题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

"*＞教与反思

第4课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质

“静教与目标

【知识与技能】

1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象.掌握y=a(x-h)2+k的图象和性质.

2.掌握y=a(x-h)2+k与y=ax?的图象的位置关系.

3.理解y=a(x-h)2+k,y=a(x-h)2,y=ax2+k及y=ax?的图象之间的平移转化.

【过程与方法】

经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合

的思想，培养观察、分析、总结的能力.

【情感态度】

1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性.

2.体验数学活动中充满着探索性，感受通过认识观察，归纳，类比可以获得数学猜想

的乐趣.

【教学重点】

二次函数y=a(x-h)、k的图象与性质.

【教学难点】

由二次函数y=a(x-h)的图象的轴对称性列表、描点、连线.

:'教学国而呈

一、情境导入，初步认识

复习回顾：同学们回顾一下：

①y二ax；y=a(x-h)；(a^O)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，y随x的增减

性分别是什么？

②如何由y=ax2(a^O)的图象平移得到y二a(x-h)z的图象？

③猜想二次函数y二a(x-hT+k的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减

性如何？

二、思考探究，获取新知

探究1y=a(x-h)2+k的图象和性质

1.由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题：

①y=-L(x+lT-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？

2

②将抛物线y=-向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线

2

y=-—(x+l)2-l.

2

2.同学们讨论回答：

①一般地，当h>0,k>0时，把抛物线y=ax，向右平移h个单位，再向上平移k个

单位得抛物线y=a(x-h)，k;平移的方向和距离由h,k的值来决定.

②抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？

探究2二次函数y=a(x-h)?+k的应用

【教学说明】二次函数y=a(x-h)?+k的图象是，对称轴是，顶点坐标是，当a>0

时，开口向，当a<0时，开口向.

答案：抛物线，直线x=h,(h,k),上，下

三、典例精析，掌握新知

例1已知抛物线y=a(x-h)2+k,将它沿x轴向右平移3个单位后，又沿y轴向下平移

2个单位，得到抛物线的解析式为y=-3(x+l)-4,求原抛物线的解析式.

【分析】平移过程中，前后抛物线的形状，大小不变，所以a=-3,平移时应抓住顶点的

变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式.

解：抛物线y=-3(x+1尸-4的顶点坐标为(T,-4),它是由原抛物线向右平移3个单位，

向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐

标为(-4,-2).故原抛物线的解析式为y=-3(x+4)2-2.

【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关键点：

顶点的变化.

例2如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图，发射台0A的高度为2m,火炬

的高度为12m,距发射台0A的水平距离为20m,在A处的发射装置向目标C发射一个火球

点燃火炬，该火球运行的轨迹为抛物线形，当火球运动到距地面最大高度20m时，相应

的水平距离为12m.请你判断该火球能否点燃目标C?并说明理由.

【分析】建立适当直角坐标系，构建二次函数解析式，然后分析判断.

解：该火球能点燃目标.如图，以0B所在直线为x轴,0A所在直线为y轴建立直角坐

标系，则点(12,20)为抛物线顶点，设解析式为y=a(x-12)z+20,•.•点(0,2)在图象

上，144a+20=2,：.a=~-,.-.y=--(x-12)2+20.当x=20时，y=--X(20-12)2+20=12,

888

即抛物线过点(20,12),A该火球能点燃目标.

【教学说明】二次函数y=a(x-h)、k的应用关键是构造出二次函数模型.

四、运用新知，深化理解

1.若抛物线y=-7(x+4)2-l平移得到y=-7x2,则必须()

A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位

B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位

C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位

D.先向右平移1个单位，再向上平移4个单位

2.抛物线y=x?-4与x轴交于B,C两点，顶点为A,则AABC的周长为()

A.475B.475+4C.12D.2石+4

3.函数y=ax'-a与y二ax-a(awO)在同一坐标系中的图象可能是()

4.二次函数y=-2x2+6的图象的对称轴是,顶点坐标是,当x__

时，y随x的增大而增大.

5.已知函数y=ax?+c的图象与函数y=-3x?-2的图象关于x轴对称，则

a二,c=.

6.把抛物线y=(x-1严沿y轴向上或向下平移，所得抛物线经过Q(3,0),求平移

后抛物线的解析式.

【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，教师引导解疑.

【答案】l.B2.B3.C4.y轴,(0,6),<05.3,26.y=(x-l)M

五、师生互动，课堂小结

1.这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？

2.在学生回答的基础上，教师点评：①二次函数y=a(x-h)、k的图象与性质；②如

何由抛物线y=ax'平移得到抛物线y=a(x-h)J+k.

【教学说明】教师应引导学生自主小结，加深理解掌握y=ax?与y=a(x-h)?+k二者

图象的位置关系.

.‘课后作业

1.教材％第1~3题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

：‘教学反思

第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

“承教与目标

【知识与技能】

1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.

2.会用配方法求抛物线yuax'+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减

性.

3.能通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a^O)的最大或最小值；能利用二次函数的

性质求实际问题中的最大值或最小值.

【过程与方法】

1.经历探索二次函数y=ax°+bx+c(axO)的图象的作法和性质的过程，体会建立二次

函数y=ax?+bx+c(a*0)对称轴和顶点坐标公式的必要性.

2.在学习y=ax%bx+c(aKO)的性质的过程中，渗透转化(化归)的思想.

【情感态度】

进一步体会由特殊到一般的化归思想，形成积极参与数学活动的意识.

【教学重点】

①用配方法求y=ax2+bx+c的顶点坐标；②会用描点法画y=ax2+bx+c的图象并能说

出图象的性质.

【教学难点】

能利用二次函数丫=2*、6*+(:血大0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通

过对称性画出二次函数y=ax2+bx+c(awO)的图象.

教字国睚

一、情境导入，初步认识

请同学们完成下列问题.

1.把二次函数y=-2x?+6xT化成y=a(x-hT+k的形式.

2.写出二次函数y=-2x46xT的开口方向，对称轴及顶点坐标.

3.画y=-2x?+6xT的图象.

4.抛物线y=-2x°如何平移得到y=-2x°+6xT的图象.

5.二次函数y=-2x2+6x-l的y随x的增减性如何?

【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会y=ax?+bx+c与

y=a(x-h)2+k的转化过程.

二、思考探究，获取新知

探究1如何画y=ax°+bx+c图象，你可以归纳为哪几步？

学生回答、教师点评：

一般分为三步：

1.先用配方法求出y=ax'+bx+c的对称轴和顶点坐标.

2.列表，描点，连线画出对称轴右边的部分图象.

3.利用对称点，画出对称轴左边的部分图象.

探究2二次函数y=ax2+bx+c图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？

学生回答，教师点评：

抛物线y=ax"+bx+c=a(%+—)2+------------,对称轴为x=-——,顶点坐标为

2a4。2a

b4-cic—b~bb

(--,--------),当a>0时，若x>——,y随x增大而增大，若xv———,y随x的

2a4。2a2a

bb

增大而减小；当a<0时，若x>——,y随x的增大而减小，若x〈一-,y随x的增

2a2a

大而增大.

探究3二次函数y=ax2+bx+c在什么情况下有最大值，什么情况下有最小值，如何

确定？

学生回答，教师点评：

三、典例精析，掌握新知

例1将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并写出其开口方向，顶点坐

标，对称轴.

①y=1x2-3x+21②y=-3xJ18x-22

4

解：①y=­x?-3x+21

4

=-(x-12x)+21

4

=-(x-l2x+36-36)+21

4

=-(x-6)2+12.

4

.,.此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6,12),对称轴是x=6.

(2)y=-3x2-18x_22-_3(x'+6x)~22=~3(x+6x+9-9)~22=~3(x+3)~+5.

.,.此抛物线的开口向下，顶点坐标为(-3,5),对称轴是x=-3.

【教学说明】第②小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练

习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解.

例2用总长为60m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长/的变化而

变化，/是多少时，场地的面积S最大？

①S与/有何函数关系？

②举一例说明S随/的变化而变化？

③怎样求S的最大值呢？

解:S=/(30-/)

=-『+30/(0</<30)

=-(「-30/)

=-(/-15)4225

画出此函数的图象，如图.

.•」=15时，场地的面积S最大(S的最大值为225)

【教学说明】二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围

的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分.

四、运用新知，深化理解

1.(北京中考)抛物线y=xJ6x+5的顶点坐标为()

A.(3,-4)B.(3,4)C.(-3,-4)D.(-3,/r[fk

2.(贵州贵阳中考)已知二次函数y=ax'+bx+c(a-—一;。八。所示,当-5wxwO

时，下列说法正确的是()r—二寸

A.有最小值5、最大值0

B.有最小值-3、最大值6

C.有最小值0、最大值6

D.有最小值2、最大值6

2

3.如图，二次函数y=ax?+bx+c的图象开口向上，图象经过点0),

O

且与y轴相交于负半轴.-1X

(1)给出四个结论：①a>0;②b>0;③c>0;

④a+b+c=0.其中正确结论的序号是.

(2)给出四个结论:①abc<0;②2a+b>0;③a+c=l;

④a>l.其中正确结论的序号是.

【教学说明】通过练习，巩固掌握y=ax2+bx+c的图象和性质.

【答案】LA2.B3.(1)①④(2)②③④

五、师生互动，课堂小结

1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？

2.在学生回答的基础上，教师点评：

(1)用配方法求二次y=ax：'+bx+c的顶点坐标、对称轴；

(2)由y=ax"+bx+c的图象判断与a,b,c有关代数式的值的正负；

(3)实际问题中自变量取值范围及函数最值.

二,课后作业

1.教材P”第广3题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

寻教与反思

*1.3不共线三点确定二次函数的表达式

y教与目标

【知识与技能】

i.掌握用待定系数法列方程组求二次函数解析式.

2.由已知条件的特点，灵活选择二次函数的三种形式，合适地设置函数解析式，可使

计算过程简便.

【过程与方法】

通过例题讲解使学生初步掌握，用待定系数法求二次函数的解析式.

【情感态度】

通过本节教学，激发学生探究问题，解决问题的能力.

【教学重点】

用待定系数法求二次函数的解析式.

【教学难点】

灵活选择合适的表达式设法.

早教学国iO呈

一、情境导入，初步认识

1.同学们想一想，已知一次函数图象上两个点的坐标，如何用待定系数法求它的解

析式？

学生回答：

2.已知二次函数图象上有两个点的坐标，能求出其解析式吗？三个点的坐标呢？

二、思考探究，获取新知

探究1已知三点求二次函数解析式讲解：教材Bl例1,例2.

【教学说明】让学生通过例题讲解归纳出已知三点坐标求二次函数解析式的方法.

探究2用顶点式求二次函数解析式.

例3已知二次函数的顶点为人(1,-4)且过8(3,0),求二次函数解析式.

【分析】已知抛物线的顶点，设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k.

解：；抛物线顶点为A(l,-4),.•.设抛物线解析式为y=a(x-l)2-4,1•点B(3,0)在

图象上，.,.OMa-4,.1.a=l,.,.y=(x-l)M,即y=x2-2x-3.

【教学说明】已知顶点坐标，设顶点式比较方便，另外已知函数的最(大或小)值

即为顶点纵坐标，对称轴与顶点横坐标一致.

探究3用交点式求二次函数解析式

例4(甘肃白银中考)已知一抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(1,0),且经过

点C(2,8).求二次函数解析式.

【分析】由于抛物线与x轴的两个交点为A(-2,0),B(1,0),可设解析式为

交点式：y=a(x-xi)(x-x2).

解：A(-2,0),B(1,0)在x轴上，设二次函数解析式为y=a(x+2)(x-1).又「

图象过点C(2,8),；.8=a(2+2)(2-1),，a=2,；.y=2(x+2)(x-l)=2x、2x-4.

【教学说明】因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三

点代入可得一元一次方程，较一般式所得的三元一次方程简单.

三、运用新知，深化理解

9

1.若二次函数y=-x'+mx-2的最大值为一，则m的值为()

4

A.17B.1C.±17D.±1

2.二次函数y=ax，bx+c的图象大致如图所示，下列判断错误的是()

A.a<0B.b>0C.c>0