浙江省金华市东阳市2022年初中学业水平模拟考试数学试题（含答案与解析）

东阳市2022年初中学业水平考试模拟试卷

数学试题

注意事项：

1.本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，

答在本试卷上无效.

2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再

将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.

3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位

置，在其他位置答题一律无效.

4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1.-2022是2022的（）

A.倒数B.相反数C.绝对值D.平方根

2.公安部最新统计，截至2022年3月底，全国新能源汽车保有量达8915000辆，占汽车总量的

2.90%.其中数8915000用科学记数法可表示为（）

A.891.5X104B.8.915X107C.0.8915X107D.8.915X106

3.如图，是放置在北京冬奥会场馆内水平地面上的领奖台，其几何体左视图是（）

4.方程x(x-1)=2x的解是()

A.x=3B.x=-3C.xi=3,12=0D.xi=-3,X2=0

5.不等式一3（x—2）2（）的解集在数轴上表示为（）

B.-I_L

6.某班学生做“用频率估计概率”的实验时，得到的实验结果成如图所示的统计图，则符合这一结果的实

验可能是（）

木频率

01-'-1-1-1~1-!----►

100020003000次数

A.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4

B.扔一枚面额一元硬币，正面朝上

C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀”

D.从标有1,2,3,4,5,6的六张卡片中任抽一张，抽到的卡片上标有奇数

7.将一个正五边形按如图方式放置.若直线，"〃小N2=42。，则N1度数是（）

A.78°B.76°C.72°D.68°

8.如图：一把直尺压住射线。B,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说：“射线

OP就是/BOA的角平分线.”他这样做的依据是（）

A.角平分线上的点到这个角两边的距离相等

B.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

C.三角形三条角平分线交点到三条边的距离相等

D.以上均不正确

9.如图，一次函数耳=X与二次函数%=炉+云+。的图像相交于P、。两点，则函数

yuV+S-Dx+c的图像可能是（）

为圆心，边长为半径画弧得到的封闭图形）扫地机器人，丙是一间长为4m,宽为3m的矩形房间，现单独

使用甲或乙对丙进行打扫，则打扫不到的“死角”面积（）

丙

A.甲较大B.乙较大C.甲与乙一样大D,无法确定

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11.分解因式：a3-9a=

3

12.根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值为万，则输出的y值为一.

|输出y值I

13.沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个半圆.若此半圆的半径长为6cm,则原圆锥的底面圆半

径r为cm.

14.抛物线y=2f—8向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标是____.

15.如图，在平行四边形ABC。中，AC=3cm,BD=y/]3cm，AC±CD,。。是△ABO的外接

圆，则AB的弦心距等于cm.

16.在综合实践课上，小慧把一张矩形纸片ABCO沿平行于A8的虚线剪开得到两个小矩形纸片（如图

1）,把得到的两个小矩形纸片叠放在一起，使得较小矩形的各顶点分别落在较大矩形的每条边上（如图

2)

4

（1）若AB=5,tan«=-,则BC=

3

AB

（2）记一•=/*则加的取值范围是.

BC

三、解答题（本题有8小题，共66分）

17.计算：4sin60°-|-V12|+(72022-1)°-^

18.下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务.

42

Cl—1Q+1

4（a+l）2（a-l]

解：原式=/……第一步

（〃一1）（。+1）（6T-1）（4Z+1）

=4（a+l）—2（a—l）...第二步

=4a+4—2a+2……第三步

=2a+6...第四步

任务一：①以上求解过程中，第一步的依据是.

②小聪同学的求解过程从第步开始出现错误.

任务二：请你写出正确的计算过程.

19.如图是以A8为直径的半圆，点。为半圆内一点（C为网格线中点），请用无刻度的直尺完成以下作

图.

（1）作AC边上的高线.

（2）在半圆上找一点P,使得4P平分NC4B.

20.某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“中小学诗词大赛”，分别对两名同学进行了

八次模拟测试，每次测试满分为200分.现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解

答下列问题：

平均（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）

甲175ab9375

乙175175180,175,170si

（1）表中"=；b=.

（2）求出乙得分方差.

（3）根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由.

21.跳绳是一项很好健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，甩绳

近似抛物线形状，脚底8、C相距20cm,头顶A离地175cm,相距60cm的双手。、E离地均为

80cm.点A、B、C、D、E在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计.小明调节绳子，使跳动时绳子

刚好经过脚底3、C两点，且甩绳形状始终保持不变.

（1）求经过脚底5、。时绳子所在抛物线的解析式.

（2）判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由.

22.如图，AABC内接于圆O,AS=AC,作NA5c的平分线，分别交AC、圆。于点E、F,过点

A作8c的平行线与NABC的平分线交于点O,BC=2.

（1）求证：A£＞为圆0的切线.

Ar

（2）若生=2,求圆。的半径.

EC

k

23.定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点.如图，反比例函数y=1（x＞0）与正比例函数＞相

交于整点A,与一次函数＞=一%+，相交于整点8、C,正比例函数y=x与一次函数y=-x+r相交于

点。，线段BC与线段AO上的整点个数之比记作“7.

（1）当左=4时，求加值.

（2）当线段8c上的整点个数为7,AO=夜时，求，的值.

（3）当A。4&时，请直接写出f与加之间的关系式.

24.如图1,在矩形ABCO中，A8=6,BC=6百，点。为对角线8。的中点.点尸在AO边上，点

M在8。上，将射线绕点P按逆时针方向旋转60。后得到的射线交30于点N,交CD（或6C）

边于点。.

（1）当P为AO的中点时，如图2,连接0P

①求证：/XOPNSNMN.

②若点。恰与点C重合，请求出此时APMN的面积.

（2）当AP:PZ）=5:1时，连接。C、OQ,是否存在点〃，使得ACO。与△肱VP（或△DWP）相

似，若存在，求C。长；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1.-2022是2022的（）

A.倒数B.相反数C.绝对值D.平方根

【答案】B

【解析】

【分析】根据绝对值，相反数，倒数，平方根的定义判断即可.

【详解】解：-2022和2022互为相反数，

故选：B.

【点睛】本题考查了实数的性质，绝对值，相反数，倒数，平方根，掌握只有符号不同的两个数互为相反

数是解题的关键.

2.公安部最新统计，截至2022年3月底，全国新能源汽车保有量达8915000辆，占汽车总量的

2.90%.其中数8915000用科学记数法可表示为（）

A.891.5xl04B.8.915xl07C.0.8915xl07D.8.915xl06

【答案】D

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中〃为整数，确定"的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值210时，〃是正

整数，当原数绝对值＜1时，”是负整数.

【详解】解：8915000=8.915xlO6

故选：D

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中

10,〃为整数，表示时关键要正确确定”的值以及〃的值.

3.如图，是放置在北京冬奥会场馆内水平地面上的领奖台，其几何体左视图是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据几何体三视图的概念求解即可.

【详解】解：由题意可得，

领奖台的左视图为

故选：C.

【点睛】此题考查了几何体三视图的概念，解题的关键是熟练掌握几何体三视图的概念.从左边观察物体

时，看到的图叫做左视图.

4.方程x（x-1）=2%的解是（）

A.x=3B.x--3C.xi=3,及=0D.x\—3,X2=0

【答案】C

【解析】

分析】直接利用因式分解法解方程即可得到答案.

【详解】解：・・・尤（工-1）二21，

/.x（x-l）-2x=0,

・，.1-2）=0,

解得加=3,及=0,

故选：C

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键.

5.不等式一3（x-2）20的解集在数轴上表示为（）

A.—।----1----1------------1->.B.—i-----1------1------------1_>.

-1012340123

c.一I1一D.；]；!LA

-10123-10123

【答案】B

【解析】

【分析】首先解不等式，再在数轴上表示其解集.

【详解】解：一3（%一2）20,解不等式得到：x<2,

不等式解集为x42,

在数轴上表示如图：一I——।——I_,,__।-A，

-10123

故选：B.

【点睛】本题考查不等式解集在数轴上的表示，关键是要掌握解不等式，先将不等式的解集求出来，再在

数轴上表示解集.

6.某班学生做“用频率估计概率”的实验时，得到的实验结果成如图所示的统计图，则符合这一结果的实

验可能是（）

木频率

A.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4

B.扔一枚面额一元的硬币，正面朝上

C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀”

D.从标有1,2,3,4,5,6的六张卡片中任抽一张，抽到的卡片上标有奇数

【答案】C

【解析】

【分析】根据频率估计概率分别对每一项进行分析，即可得出答案.

【详解】解：A、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率是,，不符合这一结果，故

此选项不符合题意；

B、扔一枚面额一元的硬币，正面朝上的概率是!，不符合这一结果，故此选项不符合题意；

C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀”的概率是1，符合这一结果，故此选项符合题

3

意；

31

D、从标有1,2,3,4,5,6的六张卡片中任抽一张，出现奇数的概率是二=1，不符合这一结果，故此

62

选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为：频率=所

求情况数与总情况数之比.同时此题在解答中要用到概率公式.

7.将一个正五边形按如图方式放置.若直线m〃小/2=42。，则N1度数是()

A.78°B.76°C.72°D.68°

【答案】A

【解析】

【分析】根据正五边形性质和多边形的外角性质可求/3与/I的关系，过A点作A8〃〃，根据平行线

的性质可求N4与N3的关系，根据角的和差关系可求N5与N4的关系，再根据平行线的性质可求N2与

N5的关系，从而求解.

【详解】解：(5-2)xl80°-5=108°,

180°-108°=72°,

则N3=360°-72°x2-(180°-Zl)=36°+N1,

过A点作

\'m//n,

.'.m//AB//n,

.*.Z4=180°-Z3,Z2=Z5,

VZ5=108°-Z4,

/2=36°.

VZ2=42°,

.\Z1=78°；

【点睛】考查了平行线的性质，正五边形的性质和多边形的外角性质，平行线的性质：两直线平行，同旁

内角互补；两直线平行，内错角相等.

8.如图：一把直尺压住射线08,另一把直尺压住射线0A并且与第一把直尺交于点P,小明说：“射线

0P就是NB04的角平分线.”他这样做的依据是（)

A.角平分线上的点到这个角两边的距离相等

B.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等

D.以上均不正确

【答案】B

【解析】

【分析】过两把直尺的交点尸作PFA.B0,根据题意可得再根据角的内部到角的两边

的距离相等的点在这个角的平分线上可得。尸平分NA08.

【详解】如图，过点P作PELA。，PFLB0,

•••两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，

：.PE=PF,

.•.0尸平分NA08（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）,

A

B

故选：B.

【点睛】本题考查角平分线的判定定理，角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；熟练

掌握定理是解题关键.

9.如图，一次函数）［=%与二次函数为=X2+云+。的图像相交于尸、Q两点，则函数

y=f+（万-l）x+c的图像可能是（）

【解析】

【分析】根据函数图象和二次函数的性质判断即可.

【详解】解：由>2=/+法+。图象可知，对称轴k-g>。，c<0.

：.b<0,抛物线丁=/+（人-1）X+C与y轴的交点在X轴下方，故选项B,C错误,

b—11—卜

:抛物线y=/+（〃-1）x+c的对称轴为x=-------=-------,

A—>0,

2

抛物线12+（b-\）x+c的对称轴在y轴的右侧，故选项D错误,

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数图像和性质，明确二次函数了=0?+勿+。中各项系数的意义及利用数形结

合的思想是解答本题的关键.

10.是一个直径为30cm圆形扫地机器人，乙是一个周长为3O;rcm的莱洛三角形（分别以正AABC的顶点

为圆心，边长为半径画弧得到的封闭图形）扫地机器人，丙是一间长为4m,宽为3m的矩形房间，现单独

使用甲或乙对丙进行打扫，则打扫不到的“死角”面积（）

丙

A.甲较大B.乙较大C.甲与乙一样大D.无法确定

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可知：AABC是一个等边三角形，根据所给条件得出边长A8=6C=AC=30cm,然后

设正AA5C的外心为。，连接AO、CO,延长CO交A5于点。，则可求出AO的长及NQ4。的度

数，进而可求出外接圆的半径即Q4的长度，最后比较半径大小即可得出答案.

【详解】乙是一个周长为307的莱洛三角形（分别以正AABC的顶点为圆心，边长为半径画弧得到的封

闭图形）扫地机器人，

AB=AC=BC=gx30%=10万（a〃），

/朋C=ZAC3=ZABC=60°,

60xACx万

,/BC=--------------，

180

60xACx%

10万=-----------，

180

AC-3Qcm,

即BC=AB=AC=30cm,

设图乙中正AABC的外心为。，连接A。、CO,延长CO交AB于点。，如图乙，

则CD_LAB，AD=BD=—AB=15cm,

2

ZOAD=ZCAO=-NBAC=30°,

2

An

•.,在RrAOAD中，cosZOAD=——，

OA

OA=―=106(cm)

cos30°B-

T

乙扫地机器人工作时，由旋转所成圆的直径为2QA=2x106=20JJ(cm),

•••20百=J1200,30=7900.

20>/3>30，

，打扫不到的“死角”面积乙较大.

故选：B.

A

乙

【点睛】本题考查三角形的外接圆，解题的关键是正确找到正三角形的外心并根据正三角形的性质求出半

径.

二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)

11,分解因式：/_9。=.

【答案】a(a+3)(a-3)

【解析】

【分析】原式提取公因式a，再利用平方差公式分解即可.

【详解】解：a3-9a

=-9)

-a(a+3)(a-3)

故答案为：a(a+3)(a-3)

【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

3

12.根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值为5,则输出的y值为

愉出】•值|

【答案】^-##0.5

【解析】

【分析】根据x的值选择相应的函数关系式求解函数值即可解答.

3

【详解】解：

2

Al<x<2,

31

.\y=—x+2=——+2=——,

22

即输出y值为

故答案为：—.

2

【点睛】本题考查求一次函数的函数值，明确每段函数的自变量取值范围是解答的关键.

13.沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个半圆.若此半圆的半径长为6cm,则原圆锥的底面圆半

径r为cm.

【答案】3

【解析】

【分析】利用半圆弧AC的长等于圆锥底面周长，根据弧长公式以及圆周长公式列方程求解即可.

【详解】解：如图，由题意得，SA=SC=6cm,

设圆锥的底面半径为rem,由半圆弧AC的长等于圆锥底面周长得,

180万x6

2nr,

180

解得r=3(cm),

故答案为：3.

【点睛】本题考查圆锥的计算，掌握弧长及圆周长计算公式是正确解答的前提，理解圆锥侧面展开图扇形

的弧长等于圆锥底面周长是解决问题的关键.

14.抛物线y=2/-8向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标是___.

【答案】(1,-6)

【解析】

【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，写出平移后的抛物线，再写出顶点坐标即可.

【详解】解：抛物线y=2/—8向右平移1个单位，再向上平移2个单位，

可得：y=2(x-I)2-6,

所以顶点坐标为：(1,-6).

故答案为：(1,-6)

【点睛】本题考查的是抛物线的平移，顶点坐标，掌握“抛物线的平移规律”是解本题的关键.

15.如图，在平行四边形A8CO中，AC=3cm,BD=®m，ACLCD,是△AB。的外接

圆，则AB的弦心距等于cm.

【答案】?

6

【解析】

【分析】设AC、BD的交点为G,作圆的直径AN,连接BN,过点。作。尸，AB于点F,过点C作

CMLBD于点M,利用勾股定理计算。C,利用三角函数计算GM,MC,tanZADB=tanZDBC=

tanZANB=——,计算BN,利用垂径定理，三角形中位线定理求得OF.

BM

【详解】设AC、8。的交点为G,

•.•平行四边形A3CD中，AC=3,BD=y/n，AC±CD,

3/ra

Z.GC=~,GO=±±，ZAC£>=90°,CD=AB,

22

CD=y/GD2-GC2=1=A8,

作圆的直径AM连接BN,过点。作OFL48于点F,过点C作CM_LBO于点M,

贝ljZADB=NDBC=NANB,

•r\/t■/nrr32A/133713/ryrr334n9V15

..CM=GCsinZDGC=—x-------=--------,GM=GCcosZDGC=—x--------=-------,

2131321326

BM=BG+GM=恒+2^1=I1岳,

22613

CM3

tanNADB=tanNDBC=tanXANB=-----=—,

BM11

〈AN是直径，

・・・NABN=90。,

AB

BN=

tanZANB113

OF1.AB,

:・AF=FB,

・・・OF是三角形A8N的中位线,

八1…11

OF=—BN=—,

26

故答案为：—.

【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，垂径定理，三角形中位线定理，平行四边形的性质，三角函数

的综合运用，熟练掌握圆的性质，灵活运用三角函数是解题的关键.

16.在综合实践课上，小慧把一张矩形纸片ABCD沿平行于A3的虚线剪开得到两个小矩形纸片（如图

1）.把得到的两个小矩形纸片叠放在一起，使得较小矩形的各顶点分别落在较大矩形的每条边上（如图

AB

(2)记----=m,则加的取值范围是______.

BC

【答案】①.6②.m>-##/«>0.5

2

【解析】

4

【分析】(1)根据矩形的性质和tana=1,可得QG=3,NG=4,从而得到QG=3,NG-4,再证得

4454

tanZMNH=-,tanZFPQ=~,可得PQ=MN=§,FQ=~<即可求解；

(2)由(1)得NFPQ=NNQG=NMNH=a,可得

FQ-PQ•sina,QG-QN-cosa=AB-cosa,NG=AB•sina,从而得到HN=Afi-(1-sina),

MN=in0,可得到BC=2A5-cosa,从而得到〃z=—5—,再由0<cosa<l,即可求

cosa2cosa

解.

【详解】解：（1）如图,

根据题意得：NQ=AB=HG=EF=PM=5,MN=PQ,NG=/H=NF=/PQN=/MNQ=90°,

4

tana=—,

3

.••可设QG=3x,NG=4x,

222

QN=QG+NG9

.•.52=(3x)2+(4x)2,解得：曰

：.QG=3tNG=4,

:・HN=\,

VZNQG+ZQNG=90°,NMNH+/NMH=9C,

・・・/MNH=/QNG=a,

4

tanZMNH=一,

3

4

同理：tanZ.FPQ=—,

,14

••—,

MH3

4

解得：MH=一,

3

/.PQ=MN=a,

VtanZFPC=-,即丝=±,

3PF3

3

二PF=-FQ,

(3

/.PF2+FQ2=1+bQ2=PQ2,

44

解得：或—§（舍去）,

・・.8C=PQ+EQ+QG=6；

故答案为：6

(2)由⑴%FPQ=NNQG=NMNH=a,

：.FQ=PQ-sina,QG=QN-cosa=AB-cosa,NG=AB•sina,

：.HN=NG-NG=AB-ABsina=AB\l-sma),

HN—sina)

.・・MN=------=——-----------L

cosacosa

：.BC=PQ+FQ+QG=PQ+PQ-sin4-AB-cosa

=(l+sina)PQ+ABcosa

=(l+sina)MN+ABcosa

/.、-sina)，

=(1+sina)x----------------乙+AB-cosa

ABIl-sin-a)

------------------+AB-cosa

cosa

ABcos2a

+ABcosa

cosa

=2AB-cosa，

AB

----=m,

BC

AB

-------------=m,即m=--------

2AB-cosa2cosa

Ovcosavl,

/.0<2cosa<2,

11

..------->一，

2cosa2

1

・・777>一;

2

故答案为：m>—

2

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握直角三角形中锐角三角函数之间的关系是

解题的关键.

三、解答题（本题有8小题，共66分）

17.计算：4sin60°-|-V12|+(72022-1)0-

【答案】-2

【解析】

【分析】先利用锐角三角函数，绝对值的性质，二次根式的性质，零指数暴，负整数指数幕化简，再合

并，即可求解.

［详解］解:4sin6O°-|-Vi2|+（V2O22-l）0-^

=4x3-26+1-3

2

=26-2百+1-3

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，绝对值的性质，二次根式的性质，零指数幕，负整数指数幕，熟

练掌握相关运算法则是解题的关键.

18.下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务.

42

CL—167+1

+2（a-1］

解.原式=---------L--------L—…第一步

=4（Q+1）—2（〃—1）......第二步

=4a+4—2a+2……第三步

=2a+6......第四步

任务一：①以上求解过程中，第一步的依据是

②小聪同学的求解过程从第步开始出现错误.

任务二：请你写出正确的计算过程.

【答案】任务一：①分式的基本性质；②二；任务二：过程见解析，——

a2-l

【解析】

【分析】任务一：①先利用分式的基本性质把分式进行通分，②小聪同学的求解过程从第二步开始弄丢了

分母；

任务二：先利用分式的基本性质把分式进行通分，再把分子相减，即可求解.

【详解】解：任务一：①第一步的依据是分式的基本性质；

故答案为：分式的基本性质

②小聪同学的求解过程从第二步开始出现错误；

4（a+l）2（a-l）

4(a+l)-2(a—1)

(a一])(a+1)

4a+4-2a+2

(a一l)(a+1)

2a+6

2a+6

-«2-l

【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.

19.如图是以A3为直径的半圆，点C为半圆内一点（C为网格线中点），请用无刻度的直尺完成以下作

图.

（1）作AC边上的高线.

（2）在半圆上找一点尸，使得AP平分NC4B.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）如图，取格点。，连接OB,先说明C点是的中点，再利用勾股定理的逆定理证明

AADfi是直角三角形，得出OB_LAC；

（2）先找出圆心0,将0与的中点”连线交半圆于尸点，连接AP,由垂径定理知£）P=3P，由同弧

所对的圆周角相等即可得出4P是NC4B的角平分线.

理由如下：连接A。,

••,c为网格线中点，

.♦.C点是矩形AEZ）厂对角线的中点，即C点是AD的中点，

•：ADr+1：^5,DB2=22+42-20,AB2=42+32=25>

AD2+DB2=25=Afi2,

AAOB是直角三角形，

：.DB±AC,

即。B是AC边上的高线.

【小问2详解】

解：AB与格线ND交于0点，取格点H,连接0H并延长交半圆于点P,连接AP,AP是NS4C的平分

线.

理由如下：

在RtAAMB和RtAQNB中，

•rZAMB=NONB=90°,ZOBN=ZABM,

RiAAMB~RlAONB,

•OB_NB_1

:.OB=-AB,

2

AO—OB>

。点是圆心，

观察图形可知，为矩形NB7D的中点，DH=HB，

:.OH±DB,

：.DP=BP，

:.ZDAP=ZBAP,

即AP是NS4C的平分线.

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、圆周角定理、垂径定理等，考查形式较为新颖，熟练掌握上述定理

并能够灵活运用是解题的关键.

20.某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“中小学诗词大赛”，分别对两名同学进行了

八次模拟测试，每次测试满分为200分.现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解

答下列问题：

平均（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）

甲175ab93.75

乙175175180,175,170S1

（1）表中。=；b=.

（2）求出乙得分的方差.

（3）根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由.

【答案】（1）a=177.5,Z?=185

（2）Si=37.5

（3）乙，答案不唯一，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出氏c的值；

（2）答案不唯一，可从平均数，方差，中位数等方面，写出理由；

（2）根据平均数，方差，中位数，可得答案.

【小问1详解】

解：甲的成绩从小到大排列为：160,165,165,175,180,185,185,185,

...甲的中位数a=--------=177.5,

2

•••185出现了3次，出现的次数最多，

.•.众数人是185,

故a=177.5,人=185；

【小问2详解】

解：乙的方差为：

(175175『+2?(180175『+2?(170磔丁+(185-1751+(165-175『=37.5.

【小问3详解】

解：从平均数和方差相结合看，乙的成绩比较稳定；所以选择乙参赛比较好.

【点睛】本题考查了折线统计图，方差，中位数，利用方差的公式，众数的定义，中位数的定义是解题关

键.

21.跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，甩绳

近似抛物线形状，脚底8、C相距20cm,头顶A离地175cm,相距60cm的双手。、E离地均为

80cm.点A、B、C、D、E在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计.小明调节绳子，使跳动时绳子

刚好经过脚底3、C两点，且甩绳形状始终保持不变.

B^\TC

(1)求经过脚底8、C时绳子所在抛物线的解析式.

(2)判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由.

【答案】(1)y=—f-80.

45

(2)不成功，理由见解析

【解析】

【分析】⑴建立如图所示的坐标系：结合题意可得：£>(-30,0),£(30,0),由双手。、E离地均为

80cm,可得顶点坐标为：(0,-80),再利用待定系数法求解解析式即可;

(2)由175-80=95>80,可得跳绳不过头顶A,从而可得答案.

【小问1详解】

解：建立如图所示的坐标系：结合题意可得：

0(-30,0),£(30,0),

双手。、E离地均为80cm.

顶点坐标为：(0,-80),

设抛物线为：y=ax2-80,

\900。-80=0,

.，4

解得：a=—,

45

4,

所以抛物线为)，=一f-80.

45

【小问2详解】

解：Q175-80=95>80,

跳绳不过头顶A,

，小明此次跳绳能不成功.

【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，建立合适的坐标系是解本题的关键.

22.如图，AABC内接于圆。，AB=AC,作NA5C的平分线，分别交AC、圆。于点E、,过点

A作8c的平行线与NABC的平分线交于点。，BC=2.

(1)求证：AO为圆。的切线.

4/7

(2)若——=2,求圆。的半径.

EC

【答案】(1)见解析(2)R而

【解析】

【分析】(1)如图：连接A0并延长交BC于”，交圆。于G,连接BG,GC；证明

RtAABG^RtAACG,得到/BAG=NCAG,所以AG_LBC,所以/AHC=90°,根据AO〃BC得到

/D4H+/A”C=180。可求得0A_LD4,即可证得结论.

(2)由RtZxABG丝RtZXACG,得至ljAG_LBC,根据〃为BC的中点，得到W7=1,根据AO〃8C,得到

A。AE

△AEDs^CEB,所以——=—=2得到A£>=4,又因为AO〃BC,求得

BCCE

AH7AB2_BH?=而，在中，OB?=OH?+BH?，由勾股定理即可求解•

【小问1详解】

证明：如图：连接A0并延长交BC于“，交圆。于G,连接BG,GC；

ZABG=ZACG=90°,

在RtAABG和RtAACG中，

AG=AG,AB=AC,

.,.RtAABG^RtAACG,

：.ZBAG=ZCAG,

又；AB=AC,

：.AC±CG,

：.ZAHC=90Q,

-：AD//BC,

：.ZDAH+ZAHC^1SO°,

：.ZDAH=180°-ZAHC^180°-90°=90°,

：.OA±DA,

AD为圆。的切线.

【小问2详解】

解：'：AB=AC,AG1.BC,

：.BH=、BC=l,

2

-：AD//BC,

：.LAEDSACEB,

ADAE>

——=——=2.

BCCE

：.AD=4,

'：AD//BC,

：.ZD=ZDBC,

：BO平分NABC,

：.ZDBC=ZDBA,

:"D=NDBA,

：.AB=AD=4,

在RtZ\AB”中，由勾股定理得AH=JAB2_6”2=而，

在RtZXOBH中，OB2=OH2+BH2.

：.OB2AH-AO)1+BH2

：.<?B2=(X/15-(9B)2+12.

解得：。8=双叵.

15

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，相似三角形，三角形内角和定

理，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键.

k

23.定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点.如图，反比例函数y=1(x＞0)与正比例函数＞相

交于擎卓A,与一次函数＞=一％+，相交于擎，卓B、C,正比例函数y=x与一次函数y=-x+r相交于

点。，线段BC与线段A。上的整点个数之比记作加.

（1）当左=4时，求阳值.

（2）当线段8C上的整点个数为7,A£>=夜时，求，的值.

（3）当AOW加时，请直接写出，与加之间的关系式.

【答案】（1）4（2）10

（3）当=时，/=（加+；）+1；当AOvVJ时，f=

【解析】

44

【分析】（1）令一=x,-=-x+r,利用4、B、C为整点，可求三点的坐标，再求出。点的坐标，即可

xx

求m的值；

（2）分别过A、。作x轴、），轴的平行线交于E,设A（“，a）,D（d,d）,由正比例函数>=%可得

△ADE为等腰直角三角形，结合已知条件线段BC上的整点个数为7,AD=yf2>得到

k

A（d—1,d-\）,8（d—3,d+3）,代入反比例函数y=]x>0）中解方程即可求得4的值，进而求得r

的值；

（3）在（2）的分析基础上，分当4。=正时和当时两种情况讨论，分别求得两种情况下A、B

k

的坐标，代入反比例函数y=—（x>0）中，解方程即可求得关系式.

【小问1详解】

解：<％=4,

4

y=—（x>0）,

4

令一二x,解得玉=2,x,=-2（舍去），

x

・・・A(2,2),

令±=-x+f,化简得：-rx+4=0(x>0),

x

设加一X

3(/+')，C(XC,~C+r),

/.-xc=4,xB+xc=t,

•••3、C都为整点，

•••XR—1,XQ—4t

xB+xc=t=5,

・•・线段8C的整点个数为4,线段AO上的整点个数为1，

/.m=4.

【小问2详解】

k

解：•.•反比例函数y=］（x>0）与一次函数y=-x+f都关于正比例函数》x对称,

线段30的整点个数与线段CO得整点个数相同，

分别过A、。作x轴、y轴的平行线交于E,

•••A、。都在y=x上，

••.设A（a,。），D（d,J）,

**-AE=DE=d—a,

・・・史为等腰直角三角形，

AD=42AE，

当AD=&时，AE=DE=\,

cl—a=1,B|Ja—d—\

A(^d—1,d-1),

A是整点，

是整点，

又YBC上有7个整点，

，线段8。上有(7-1)+2+1=4个整点，

又8是整点，

的横坐标比”少3,纵坐标比d多3,

3,d+3),

k

又A、B在y=—(x>0)上，

/.(J-l)(rf-l)=(J-3)(J+3),

Ad2-2d+\=d2-9<解得：d=5,

：.0(5,5),

又。在y=-x+r上，

f=10.

【小问3详解】

解：①当AO=a时，线段A。上整点个数为2,即4、。两点,

线段BC上整点个数为2机，

由对称可知，8。上整点个数为"2/77+」1=加+I上，

22

5,八A,2/M+I,2机+1、

设。(d,d),贝—,d4——I,

又A(d-1,J-1),

.八,4m2+4/72+5

・・2d=----------------

4

._,4/n2+4m+5加+；)+1；

••t=2d=----------------

4

②当AL><血时，线段A。上只有一个整点A,

...线段BC上整点个数为，力

由对称8。上整点个数为‘，

2

设4(a,a),则B[a+l——,。+万)，

2

・2mm

••2a=a+a-----1——，

42

m

~2

・・・，=a+1-Fa4—=2。+1,

22

2[[

即t=———m+1=-(m-l]2+—;

22V72

综上，当AO=及时，r=++1；当AO<0时，r=1(w-l)2+1.

【点睛】本题考查新定义问题.解决阅读新知识，应用新知识的创新探究型问题时，首先做到认真阅读题

目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法及如何计算等，充分挖掘新定义的内涵和本质；其次，对

介绍的新知识、新方法进行运用，用学过的知识解决新定义中的问题，化陌生为熟悉.

24.如图1,在矩形A8CO中，AB=6,6c=66，点。为对角线8。中点.点P在A。边上，点

M在80上，将射线PM绕点P按逆时针方向旋转60。后得到的射线交8。于点N,交CD(或BC)

边于点。.

（1）当P为AD的中点时，如图2,连接0P

①求证：/XOPNS&PMN.

②若点。恰与点C重合，请求出此时APMN的面积.

（2）当AP:PZ）=5:1时，连接。。、OQ,是否存在点使得ACOQ与△“VP（或AOA"）相

似，若存在，求CQ长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）①见解析；②百百

8

/c、r二t-QA217>/3—3，11

（2）存在，CQ