信号处理原理期末复习指导

《信号处理原理》期末复习指导

重庆电大远程导学中心理工导学部

2007.6.10制作

第一部分课程考核说明

《信号处理原理》课程是本科计算机科学与技术专业的一门必修课程，共4学分，本课

程期末考试由中央电大出题，以中央电大下发的资料为准。

（一）.考核目的

重点考核学生对基本概念，基本知识，基本技能的理解和掌握程度。

（二）.考核方式

采用重庆电大试题，闭卷统一考试，考试时间90分钟。

（三）.命题依据

以教学大纲、教材、实施意见为准。

（四）试题类型及比重

判断题（10%）、填空题（18%）、选腌（15%）,证明题（12%）、灌题（30%）、作图题（15

分。

（五）适用范围、教材

此复习指导适用于本科计算机专业。文字教材：本课程采用郑方主编的《信号处理原理》

作教材，中央电大出版社（2002年9月发行）

（六）考试注意事项

做题时一定要注意，不要留空白，特别是判断，填空，选择，还有就是再作图题和证明

题时一定要注意看清题目，这学科确实有些难，但是大家要有耐心，搞懂后面的复习题就基

本没有什么问题了。

第二部分期末复习资料的使用

复习资料主要有平时作业，期末复习指导，综合练习题，教材：

（一）平时作业，平时的四次作业题型和考试题型相同，难度也相当，时大家复习的重要资

料

（二）期末复习指导，给大家指出了考试的重难点和要点，特别是模拟题是大家要掌握的重

点

（三）综合练习题，在本文的后面，供大家复习时使用也是重要的复习资料

（四）教材，考试是绝对不会跑出教材的，特别是一些难以区分的性质，课本重都有说明，

填空与判断都出在教材中

第三部分教材内容梳理

第一章基本概念

一、熟练掌握：

1、单位冲激信号的定义与性质。P10T1

2、信号的基本运算（四则、反褶、时移、压扩）。P15-16

3、微分、积分、卷积、相关等等运算。P17-22

二、一般掌握：

1、信号及信号处理的基本概念；P1

2、数字信号处理与模拟信号处理。P5

3、信号的描述方法与分类。P2

4、典型信号；信号的正交分解。P28

第二章信号的傅里叶分析

一、熟练掌握：

1、傅里叶变换的定义与性质。P49

2、卷积定理及相关性定理。P66-69

3、抽样定理。P75

4、离散傅里叶变换的定义和性质。P58

二、一般掌握：

1、周期信号的频谱分析（傅里叶级数）。P43

2、典型周期信号的频谱。P69-70

3、典型信号的傅里叶变换。P51-53

4、周期信号的傅里叶变换；离散傅里叶变换的快速算法一FFT。P79

5,傅里叶变换的推导过程；离散傅里叶变换的推导过程。P81

第三章拉氏变换

一、一般掌握：

1、拉普拉斯变换的定义和性质。P95

2、拉氏变换的发展过程及其在信号处理中的应用。P94

3、典型信号、周期信号与抽样信号的拉氏变换；拉氏变换与傅氏变换的关系。P105-106

第四章离散信号的Z变换

一、熟练掌握：

1、Z变换的定义P118和性质。P136

2、Z变换的收敛域。PU9-122

3、离散数字系统的分类、表示和求解。P143

4、离散系统和频率响应、稳定性、因果性。P157

二、一般掌握：

1、典型信号的Z嫩123-126

2、逆Z变换的计算方法P137T39

3、Z变换的背景；数字滤波器的功能、基本原理和设计，叮模拟滤波器的异同。P118

第四部分综合练习

第1章

1.判断题

1)£Sa(t)dt=n/2错误

2)e(t)与h(t)的卷积是£e>(rW-r)Jr.正确

4)反因果信号只在时间零点之后有值。错误

5)实信号的自相关函数是偶函数正确

6)使用确定的时间函数可以描述所有的信号。错误

7)Sa函数是奇函数。错误

8)图象和语音都是信号。正确

9)函数是信号的数学描述，频谱也是信号的描述方式。正确

二、填空

1)「人)&-0劝=/&)。

2)任一个函数f(t)与信号SQ-%)的卷积等于/(，一%)。

3)阶跃函数u(t)与符号函数的关系是sgn(t)=2u(t)-l»

4)对于确定性信号,任意给定一个自变量的值，我们可以唯一确定信号的

取值。

5)元音表现出_____准周期信号的特性。

6)Sa(O)=1.

7)信号的取侑是实数的信号称为实值信号,信号的取值为复数的信号称为复值信号。

8)正弦信号的频率与角频率的关系是：角频率是频率的2万倍。

9)如果信号是余弦信号，并且可以用/'(r)=Pcos(24W+/)来表示，那么信号的角频

率为-27CCD-o

10)信号处理就是对信号进行—提取—、-―变换,_____•、分析、—一综合

aa

守守。，，

11)指数信号的一个重要性质是它的积分、微分仍然是一指数形式。

12)单位斜变信号的微分是单位阶跃信号-«

13)单位冲击信号在自变量由负无穷到正无穷上的积分为1

14)信号可以有以下分类方法：确定信号与随机信号，周期信号与_______韭

周期信号，连续信号与离散信号，模拟信号与数字信号。

15)信号可以代表一个实际的物理信号，也可以是一个数学上的函数或者序列，比如f(t)=sint

是一个正弦信号，同时也是一个正弦函数。

三、选择题

(1)下列有关信号的说法错误的是：C

a信号是消息的表现形式

b声音和图象都是信号

c信号都可以用一个确定的时间函数来描述

d信号可以分解为周期信号和非周期信号

(2)哪种信号分解不是唯一的：A

a脉冲分量

b直流分量与交流分量

c偶分量和奇分量

3)/Sa(t)dt等于：D

a1

boo

c71

d71/2

4)为使用计算机来处理信号，需涉及下列步骤：B

a编码，传输，解码

b模数转换，数字信号处理，数模转换

c平移，反褶，相乘

d采样，量化，计算

5)图解法求卷积所涉及的操作有：B

a.采样、量化、相乘

b.反褶、平移、相乘(积分)

c.编码，传输、解码

d.相乘、取对数、相加

6)卷积不具有的特性是D

a交换律

b结合律

c分配律

d互补性

四、综合题

1.证明[/,(t)*f2(t)]*f3(t)=f,(t)*[f2(t)*f3(t)]

证明：

[7,⑺**f式t)=£[(2)/2(r-AM/l]/3(r-

=「力(孙上川〜㈤〃3(-7)〃四

=1力(㈤【1/2(7)"3”一7—乃4]"4

=力")*"2。)*力⑺]

2.画出信号x(t)=sin(3t-兀/3)的图像

解答略

3.画出f(t)=u(cost)在(一3肛3万)之间的波形

4、粗略绘出f（t）=Sgn[Sa（t）]的图像

解答略

2t0<t<l

5、画出函数f(t)J214t<4以及胆的波形。

dt

L-2t+10

4<t<5

解答略

第2章

一、判断题

1）有些信号没有有傅立叶变换存在正确

2）实信号的傅立叶变换的相位频谱是偶函数。错误

3）信号在频域中压缩等于在时域中压缩。错误

4）直流信号的傅立叶频谱是阶跃函数。错误

5）按照抽样定理，抽样信号的频率比抽样频率的一半要大。错误

6）信号时移只会对幅度谱有影响。错误

二、选择题

1）下列说法正确的是：D

a直流信号的傅立叶频谱是阶跃函数

b5（，）在t=0时，取值为零

c复指数频谱中负频率出现是数学运算的结果，有相应的物理意义。

DF（5（，））=1

2）对于傅立叶变换来说，下列哪个说法是错误的：C

a信号在时域上是非周期连续的，则其频谱也是非周期连续的

b信号在时域上周期离散，则其频谱也是周期离散的

c信号的频谱不是周期连续的，那么信号在时域也不周期连续

d信号在时域非周期离散，则其频谱是周期连续的

3)下列说法不正确的是：BCD

a单位冲激函数的频谱等于常数

b直流信号的频谱是阶跃函数

c信号时移会使其幅度谱发生变化

d可以同时压缩信号的等效脉宽和等效带宽

4)下列说法正确的是：B

a非因果信号在时间零点之前不可能有值

b.通过与三角函数相乘可以使信号的频谱发生搬移

c.频谱是阶跃函数的信号一定是直流信号

e.信号的等效脉宽和等效带宽可以被同时压缩

三、填空题

1.冲击信号的傅立叶频谱为常数，这样的频谱成为均匀谱或者一一白色谱------。

2.时间函数f(t)与它的FT频谱称为——傅立叶变换对——，记作-：f(t)0F(w))

3.两个函数的傅立叶变换与逆傅立叶变换都是相等的，这两个函数-一定---是相等的。

4.信号的傅立叶变换存在的充分条件是信号f(t)-绝对可积-----用数学表示就是......

FT----»

5)符号函数不满足绝对可积条件但是却存在--------------。

6)用数学表达式描述信号f⑴的FT的线性性和叠加性，线性性的描述为

F[kf(t)]=--LF[f(t)]—-.o叠加性的描述为尸(f(t)+g(t)]=--Z[f(t)]+/'[gCt)]-----,

7)若信号在时域被压缩，则其频谱会——扩展--------。

8)单位冲击信号的特性有对称性，时域压扩性，其时域压扩性的数学表达式是

9.关于FT的反褶与共轨的描述是：信号反褶的FT等于--信号的FT--的反褶，信号共

扼的FT等于--信号FT的反褶---的共朝。

10)傅立叶变换以及傅立叶逆变换的定义中分别引入了核函数，这两个核函数是——共施对

称----的。

11)傅立叶正变换的变换核函数为--------e-im,------

12)傅立叶变换与傅立叶逆变换的本质是一致的，但是在数学形式上有着某中关系，这种关

系称为――对偶性——，数学表示为一一RF(t)]=2兀f(―3)

13)FT的尺度变换特性又称为——压扩特性------

对它的数学描述是-------------------------------------。

14)信号的时域平移不影响信号的FT的——幅度谱――，但是会影响到--相位谱。

15)所谓频谱搬移特性是指时间域信号乘一个复指数信号后的频谱相当于原来的频谱搬移到

复指数信号的—频率位置一处。

16)如果一个信号是偶函数那么它的反褶—是它本身，如果一个信号是奇函数那么至

少经过2一次反褶后才能还原为原始信号。

17)要保证信号抽样后的离散时间信号没有失真的恢复原始时间连续信号，或者说要保证信

号的抽样不导致任何信号丢失，必须满足两个条件：

1.信号必须是—频带受限—的。

2.采样频率至少是信号----最高频率——的2倍。

18)偶周期信号的傅立叶级数中只有直流项和……余弦项——

19)奇周期信号的傅立叶级数中只有正弦项。

20)若信号f(t)的傅立叶变换为F(co)=l,则F(t)的傅立叶变换为一-2^((y)--o

四、证明题

1、若尸[f(t)]=尸⑼，则/"("%)]=尸(。)/刖

证明：

因为

F[f(t-t0)J=£f(t-t0)e->'dt

令

x=t-10

则

Z[f(t-t0)]=Flf(x)]=£f(x)e-j3(x+，o)dx

=e73to[『(x)e-j3xdx=F(s)eT3tli

2.证明单位冲击信号的频谱是均匀谱

解答略

3.已知尸[f(t)]=2/j(D,,f(t)是奇函数，请证明尸(1/1)=-jnf(w).o(提示，根据傅立叶

变换与逆傅立叶变换之间的对偶性)

证明：根据FT的线性性，尸任(t)]=2/j(O,则尸[(j/2)f(t)]=l/(O

根据FT对偶性，可得

F(1/t)=2乃[(//2)/(-0)]=jitf(-①)=一jTrf(co)

3.证明：复信号的虚实分量满足：

⑴尸"«)]=；[尸(。)+尸3)]

(2)尸",«)]=上/(。)一尸(。)]

2j

证明：

(1)尸",«)]=尸

=；[力/。)]+尸"*(。】]

=1[F((y)+F*(®)]

2)尸"⑴]=尸''"'/⑴]

2)

1*

=不[尸"⑻-尸"⑻]

2j

=上[/(0)一尸*(一。)]

2；

五、计算题

1.根据以下频谱搬移特性求取信号g(t)=cos2t的FT,

7[f(t)cos(bt)]=—[F(-/?)+F(69+/?)]

解：令f⑴=L那么[F3)=2/rb(@)

根据频谱搬移特性，尸[f(t)cos(2f)]=g[尸(0—2)+/(。+2)]

=—x[2/(。-2)+2兀队①+2)]

2

=兀3(a)-2)+芯(0+2)

2.已知>"⑻=尸(。),且有/(。)=[F(o—g)+尸3+g)],试求下tK(⑼]

解：根据FT变换的'线性性、频域卷积定理，卷积的分配律，5函数频移特性,cos例/的

FT(由直流信号的FT,FT的搬移特性和线性性、欧拉公式等求出)

F(<y-6y0)=F[a>}*3(a)—a)0)

F(co+co0)=F3)*b((y+g)

K(co)=F((w)*S{co-(y())+F((y)*S(co+a)0)

尸T[K(0)]=万~'[F(co)*6(a)-a)0)+F(<y)*J(<y+<y0)]

=2万尸7[尸(0)]尸T[S(0-g)+S(0+0()]

=2^(f)(—cosgf)

n

=27(。cos(ynr)

3.试求信号f（t）=e-a”（。傅立叶变换的频谱函数F（（o）

解：F(co)=£e-alu(t)e-j<i>,dt

=「e-ate->ldt

=£e_(a+jw)'dt

1

a+jco

4)设矩形脉冲信号G(t)的脉幅为E,脉宽为T,求信号/(f)=G«)cos(6V)的傅立叶变

换

解：根据定义可求出

尸[G(t)问EG&]=EzSa(—)(详见教材52页)

根据频谱搬移特性尸[f(t)cos(bt)一b)+F(a)+b)],

F[G(t)cos(<y00]=g{[E75aH；())7]+£75a[("+}

六、

1.画出Sa(t)及其FT的波形

解答略

2.画出矩形信号G,(t)及其FT的波形

解答略

3已知连续信号x(t)=sint+sin3t,采样频率(0s=3rad/s,试画出连续信号各分量以及采样信号的

波形。

解：1)连续信号x6=sint+sin3t一共有两个分量，sint和sin3t(波形略),

2乃

2)采样信号的波形，(0s=3rad/s,那么采样周期T,=—,我们以这个采样周期对连

3

27r

续信号x(t)=sint+sin3t的两个分量分别采样,可知sin3t的采样值sinO,sin(3.---),sin(3。

3

47r27r

——)。。。。。。。。都为0,因此只需要画出sint的采样波形即可，采样周期为7；=——(波形

33

略)

3)分析：原来的sin3t信号在采样序列中消失了，原因是：对信号sin3t用(bs=3rad/s

的采样频率是不满足采样定理的，所以造成连续信号sin3t在采样信号中消失。

4、己知信号f(t)的频谱如下图所示，如果以2秒的时间间隔对f(t)进行理想抽样，试根据

尸(3)绘出抽样信号的频谱。

提示：(抽样信号的频谱：吊(3)=’£F(3-"3，))

A/l=-oo

解：时域信号是抽样信号那么其FT将会是周期的波形(时域离散对应频域周期)

单个周期的波形形状还与题中所给连续信号f(t)的频谱图形形状一致

2乃

其频谱的周期与振幅都可由提示得出：频谱周期为8产——=冗,

振幅为—=—

Ts2

(波形略)

七、问答题

1.(8)不正确，缺少绝对值符号

2.奇周期信号(周期为刀)的傅立叶级数中是否含有余弦项？为什么。

解：不会含有余弦项，因为：

根据傅立叶级数的定义，余弦分量的系数为：

2flo+Tt

an^—\/Q)C0S("6VRf

T|J。

由于/(f)是奇函数，所以/Q)cos("(y/)还是奇函数，于是%=0。

即，周期奇函数的傅立叶级数中不含余弦项。

3.设f(t)为一连续的时间信号，试说明下列各种信号运算有什么不同？

(2)g(f)*b(-T)

(3)£

“=-cc

(4)Zf(t)*3(t-nT)

“二-00

(5)—〃T)dt

+oc

(6)Z[f(f)b(­〃T)dt

n=-oc

解：(1)截取/(f)在0~T之间的波形，得到一个片段(表示为新信号g(f)。

(2)将信号g(f)搬移到nT处，即得g«-〃7)。

(3)将信号g")以T为周期进行重复(或者延拓)

(4)对信号/⑺以T为周期进行理想采样，得到系列冲击值.

(5)筛选出信号/⑺在nT处的值/(n7)

(6)把信号/⑴在所有时间值为T的整数倍处的取值加起来，即£f(〃T)

第3章

一、判断题：

1.拉普拉斯变换满足线性性。正确

2.拉普拉斯变换是连续时间系统进行分析的一种方法.正确

3.冲击信号的拉氏变换结果是一个常数。正确

4.单位阶跃响应的拉氏变换称为传递函数。错误

5.系统的极点分布对系统的稳定性是有比较大的影响的。正确

二、填空题

1.如果•个系统的幅频响应是常数，那么这个系统就称为一全通系统

2.单位冲击信号的拉氏变换结果是1_o

3.单位阶跃信号的拉氏变换结果是(1/s)。

4.系统的频率响应和系统的传递函数之间的关系是把传递函数中的s因子用代替后的

数学表达式。

5.传递函数零点全在左半平面的系统称为最小相位系统。。

6.从数学定义式上可以看出，当双边拉氏变换的因子s=j。时，双边拉氏变换的就变成了

傅立叶变换的定义式，所以双边拉氏变换又称为广义傅立叶变换。

7、单边拉普拉斯变换(LT)的定义式是:尸(s)=1f(t)e-s'dt.

8、双边拉普拉斯变换(LT)的定义式是:/(s)=「/(f)e-"力.

1fG+JOOc,

—[F(s)es'ds,t>0

9、反拉普拉斯变换(LT)的定义式是：/(0=2jy-Ja->

0,r<0

三、计算题

1.试求函数/(f)=sin(az+b)的拉氏变换及其ROC

解：/(f)=sin(af+b)=sin(at)。Cosb+cosat»sinb

所以〃/(,)]=容与+毕学

s+as+a-

2.试求函数/(f)=e-'u(t-3)的拉氏变换及其ROC

■KO+00

s

解:L[f(t)=L[e-'u(t-3)]=\e-'u(t-3)e-'dt=pe-stdt^-3(5+1)

33

(Re(s)>0)

3.求出以下传递函数的原函数

1)F(s)=l/s

解：=

2)F(s)=-^—

s+1

解：f(t)=c"u(t)

]

3)F(s)=

，«-1)

110.50.51

解：F(s)=____=_______=J___+----

S(S2-1)S(S-l)(s+1)5-1s+1

f(t)=0.5/w(r)4-0.5/u(t)~u(t)

4.根据定义求取单位冲击函数和单位阶跃函数的拉氏变换。

+00

L[b(f)]=Jb(f)e-"力=1

+00+CO[

L[u⑻二dt=

S

-000

5、试求函数/(f)=2bQ)-3M(f)的拉氏变换及其ROC

3

答案：L[f(t)]=2一一(Re(s)>0)

2

6、已知信号f(t)的单边LT为F(s)=〃/«)]=—(1—"'),试求信号f(t),并说明f(t)是什

么信号。

答案:f(t)=2u(t)-2u(t-Y),是矩形信号。

7、已知信号/⑴是因果信号其拉氏变换为F(s)=1，试求/(0)=?

答案：/(O)=limf(t)=lims•F(s)=lim斗=0

t->0ST8S,

8、已知信号/⑴是因果信号其拉氏变换为F(s)=(：+2)"+10),,试求/(动二?

s(s+10s+1000)

答案：由终值定理

r/\rzrz\r(S+2)(S+10)

f(oo)=hmsF(s)=hms——--------------=0.02

I。2。5(52+105+1000)

9、求/⑴=户〃«)的拉氏变换

答案：〃/«)]=§(Re(s)>0)

s

第4章练习

一、判断题

(1)如果x(n)是偶对称序列，则X(z)=X(z-')o正确

(2)时不变系统的响应与激励施加的时刻有关。错误

(3)nx(n)的Z变换结果是-zX(z)。错误

(4)单位阶跃序列的Z变换结果是常数错误

(5)序列ZT的ROC是以极点为边界的正确

二、填空题

1.对于理想的低通滤波器，所有高于截止频率的频率分量都将不能通过系统,而

低于截止频率的频率分量都将能够的通过系统。

2.称X(n)与X(z)是一对ZT变换对o

3.一个序列是因果序列的充分必要条件是：x(n)=x(n).u(n),一个序列是反因

果序列的充分必要条件是x(n)=x(n).u(-n-l)。

4.离散时间系统是指输入、输出都是序列的系统。

5.在没有激励的情况下，系统的响应称为零输入响应_________。

6.离散系统的传递函数定义式是：---H(z)=Y(z)/X(z)------。

7.»系统的零状态响应等于激励与——其单位冲激响应------之间的卷积。

8.只要输入有界，则输出一定有界的系统称为——稳定系统-----。

9.输出的变化不领先于输入的变化的系统称为——因果系统......。

10.一个信号序列经过一个离散系统后，其频率成分要发生变化，变化的量取决与系统的频

率响应，幅频响应值小的频率成分被抑制,幅频响应值大的频率成分通过。

11.数字滤波器从功能上分，有高通，低通，带通，

全通，带阻___________o

12.如果离散系统的传递函数的所有重点_______都位于单位圆，

那么这样的系统就叫最小相位系统。

13.序列的ZT在其收敛域，即ROC内是解析的，因此ROC内不包含任何极点,

而且ROC是连通的«

14.双边序列ZT的ROC是以模的大小相邻的两个极点的模长为半径的两个圆

所形成的环形区域。

15.左边序列的ROC是以其横最小的非零极点的模为半径的圆内部的区域。

16.从定义式可以看出序列的DTFT是其在单位圆上的抽样，这个结论成立的条

件是：ZT的ROC包含单位圆。

17.Z[(-l)z,«(«)]=------―(lzl>l)------。

Z+1

18.单位阶跃序列的Z变换为一……--(lzl>l)--------。

z-1

19、序列x(〃)为右边序列，其Z变换为X(z)向右平移5个单位后再求取单边Z变换，结果

是Z[x(〃-5)]=z<X(z)。

20、已知Z[x(”)"(〃)]=X(z)，序列向左平移5个单位后再求取单边Z变换，结果是

4

Z[x(〃+5)i/(n)]=z5fX(z)-^x(n)z-,,]o

〃=0

21>Z[2w(n)+J(n)]=

22>已知X(z)=-----且--序列x(n)为因果序列，那么x(n)=-nu(n)o

2(z-l)22

三.选择

1、Z[2"“(〃)]=C

A、二一B、」一C、—D、」一

z+2z+1z—2z—1

2、(多选)已知双边序列x(n)的ZT有三个非0的极点和两个零点，其ROC可能是：CD

A、l<|z|<ooB、0<|z|<lC、0.5<|z|<lD、l<|z|<2

3、(多选)以下序列肯定是因果序列的是BD

A、a(n+1)B、y(〃)=x(〃)•”(〃)C、x(k)=kD、x(〃)=〃■〃(〃)

IO?

4、已知X(z)=-------——，其反变换x(n)的第2项x(1)=C

(z-lXz-2)

A、0B、70

C、10D、1

5.关于右边序列的ZT的收敛域与其ZT的极点的关系，以下描述正确的是AC

A、不包含极点B、可能包含极点

C、是某个圆外的区域D、是某个圆内的区域

6、脉离散系统的传递函数定义为C

A输出序列与输入序列之比；

B系统输出的Z变换Y(Z)与输入Z变换X(z)之比；

C在初条件为零时，系统输出序列的Z变换丫仁)与因果序列输入的Z变换X(z)之比;

D在初条件为零时，系统输入序列的Z变换与输出序列的Z变换之比。

7、设序列x(n)的双边Z变换为Z[x(n)]=X(z),则序列左移m个单位后的双边Z变换是

D。

A、z"'X(z)与某个表达式的和B、z"'X(z)

C、z-'"X(z)与某个表达式的和D、z-"'X(z)

8、关于单位冲击序列的说法正确的是BC

A、单位冲激序列是单位冲激函数的离散抽样

B、其ZT的ROC：0<|z|<oo

1,(«=0)

C、表达式：8(n)=

0,("*0)

D、是u(n)的微分

9、以下属于ZT性质的是:ABD

A、线性性B、时域平移性

C、稳定性D、序列指数加权性

10、关于ZT时域扩展性，正确的是ABD

A-eZ

A、定义式：X(G(")=a(OxaeZ),a是扩展因子。

0,-eZ

a

B、a>l时，相当于在原序列每两点之间插入(wl)个零。

C、a<T时，相当于在原序列每两点之间插入(-zl)个零。

a

D、z[v(a)(«)]=X(z)

11、以下说法正确的是ACD。

A、偶对称序列的ZT可能含有一对互为倒数的非零的零点。

B、偶对称序列的ZT不可能含有一对互为倒数的非零的极点。

C、奇对称序列的ZT可能含有一对互为倒数的非零的零点。

D、奇对称序列的ZT可能含有一对互为倒数的非零的极点。

12、关于有限长序列的说法正确的是：AB

A、序列x(")在n<“或“>=2(其中，“<”2)时取0值。

B、其ZT的收敛域至少是0(忖<8。

C、肯定是因果序列

D、肯定在n=0点一定为0

13、关于实际的离散信号正确的是ABC

A实际的离散信号通常都是因果序列。

B、单边ZT与双边ZT是一致的，收敛域也相同。

C、ROC是z平面上的某个圆外面的区域。

I)、ROC是z平面上的某个圆内部的区域。

14、属于求逆Z变换的方法有BC

A、二分法B、事级数展开法

C、留数法D、微分法

15、关于部分分式展开法，正确的是BCD

A、把X⑵按厂展开

B、把X(z)展开成常见部分分式之和

C、分别求各部分的逆变换，把各逆变换相加即可得到x(”)

D、通常做展开的对象是幺红

Z

三、计算题

-2

1.(1)求取X(z)=--4-----(ld>1)的IZT

z2-1.5Z+O.5

解：上式可化为：

2

、Z

X(z)=------------

(z-l)(z-0.5)

可求出：

A=-1

A2=2

于是，可以将X(z)展开为：

X(z)_2zz

zz-1z-0.5

由于x(〃)序列是因果的(lzl>l),月以

x(〃)=2H(/I)-0.5"w(n)=(2-0.5")«(n)

3设一离散系统的差分方程为：y(〃)+ay(〃—l)=Ax(n),求

(1)该系统的传递函数H(z)

(2)令a=-0.7,b=0.02,求输入为u(n)时的系统的零状态响应y(n)的Z变换Y(z)

(3)画出Y(z)的极点分布图。

解：

(1)将差分方程两边取Z变换，并利用位移特性，得到

y(z)+azTy(z)=6X(z)

所以，

”(z)==―J

X(z)\+azz+a

(2)差分方程可化为y(n)-0.7y(〃-1)=0.02M(〃)，于是对方程两边分别取Z

变换，可得

1

y(z)-o.7Z-r(z)=^^

Z-l

即

y(z)=—

(z-0.7)(z-l)

(3)由上可知，Y(z)有两个一阶极点：(哥)=0.7,Z2=l(图形略)

「x[n/3]n/3为整数

6.Z[X](n)],其中,》](〃)=v

I0n/3为小数

解：根据双边Z变换的定义，可得：

■KXi+8

X《)=^x,(n)z~"=^x(n/3)z~"

；J=—00〃=-oo

n/3为整数时，令m=n/3

,00

Xi(z)=Zx(机)=Zx(〃?)(z3)-"'

ni=—<x)m=-<x)

=Xg3)

7、求x(〃)=(〃一1)〃(〃一1)的Z变换

解：因为Z[〃M(〃)]=­J

(z-1)2

根据时域平移特性，Z[(“—1)〃(〃—l)]=z-'X(z)=一二(lzl>l)

(z-l)

8、以周期T对信号/。)=2-'进行采样，试求采样序列的z变换。

解：x(k)=2-kT依据z变换定义：

X(z)==Y2~kTZ~k=i+2-Tz~'+2~2Tz~2+……+2~kTz~k+

k=0k=0

等比级数公比q=2-rz-',

]z

X(Z)=(12一21<1)

l-2-Tz~'z-TT

四、证明题

1.若已知X(z)=Z[x(n)],贝！IZ[nx(n)]=-z—X(z)

dz

证明：根据Z变换的定义，可得

00

X(z)=Z[x(n)]=

n=—oo

那么：X(z)=£x(n)@P=£x(").(一〃)z-"T

dzn=-codz«=-<»

即《X(Z)=£》(〃).(—〃)「一

a，“=-oo

上式两边再同时乘-z,得：

-z，x(z)=S〃x(〃)zT

n=—oo

所以一Z&X(z)=Z[nx(n)]

dz

(命题得证)

2.设序列x(n)的双边Z变换为Z[x(n)]=X(z),则

(1)左移的双边Z变换是Z[x(n+m)]=zmX(z)

解：根据双边Z变换的定义，可得

Z[x(n+m)]=+/冷火一〃

n=-oo

=¥£X(Z)ZT

々=-00

=zmX(z)

(2)右移的双边Z变换是Z[x(〃—Ml)]=z-'"X(z)

解：根据双边Z变换的定义，可得

Z[x(n-m)]=y^x(n-m)z~n

“二-00

="加MM

k=-g

=z-'"X(z)

z

3.若X(z)=Z[x(n)],则Z[anx(n)]=X(-)

a

解：根据双边Z变换的定义可得

Z\a"x(jiy\=力a"x(〃)z-"

〃=0

=£x(”)(z)-"

〃=oa

n

所以，Z[ax(n)]=X(-)

a

4.设偶序列x(n)的Z变换X(z)是有理式，试证明

X(z)=X(-)

z

证明：因为x(n)为偶序列，x(n)=x(・n),山z变换的定义有：

11产,1

X(一)=ZX(〃)(一尸=Ex(f)(一尸

Zn=—<x)Z〃=-ocZ

令女=f，得

14-OC1+oo

X(一)=Zx(k)(—)«=\>(外尸=X⑵

Zn=-coZn=-co

五、画图题

1.某个序列的ZT有3个极点-1,-2,-4,请画出其所有可能的ROC区域(阴影表示)

解：4种可能:

1)序列为左边序列，收敛域：Izkl

2)序列为右边序列，收敛域：lzl>4

3)序列为双边序列，收敛域：

4)序列为双边序列，收敛域：2Vzi<4

图形略

关于频谱搬移的例子

设g(t)的频谱为G((o),求信号f(t)=g(t)cos(co0t)的傅立叶变换。

解：因为：

,_<0t

cos(w0t)=-^(ej°o+ejo)

所以：f(t)=gg(t)(ej崛+)

根据频移特性

/(，)/。，=尸(3_30)

可得f(t)传立叶变换为：

F(co)=—[G(a>-a>0)+G(o)+co0)]

关于FT性质的一些典型例题

1、若尸[f(t)]=1(0),则尸=

证明：

因为

尸[f(t-t0)]=£f(t-t0)e->'dt

令

x=t-1°

则

尸[f(t-t())]=F[f(x)]=[f(x)e-j3(x+to)dx

=e-j3toJf(x)e_J®xdx=F(co)eT3to

2.证明：复信号的虚实分量满足：

⑴>"r⑻=+尸(-⑼]

(2)尸",«)]=上[尸(。)一尸(一。)]

2)

证明:

(1)尸"4)]=尸⑴]

=;[尸[/«)]+尸""(，)]]

=;[尸(0)+/*(_/)]

2)2"«)]二尸"")；/(〃

2；

=二[尸"(切-尸[/*(切]

2)

=±[F((y)_F*(_(y)]

2j

典型例题：

1.根据以下频谱搬移特性求取信号g(t)=cos2t的FT,

[f(t)cos(bt)]=—[F(co-h')+F(co+h')]

2

解:令f(t)=l,那么]F((y)=2B(⑼

根据频谱搬移特性，尸[f(t)cos(2r)]=l[F(w-2)+F(6>+2)]

2

=-x[1TI8[G)-2)+1TI8(G)+2)]

2

二乃5(①一2)+TT5(O+2)

2.试求信号f(t)=e®u(t)傅立叶变换的频谱函数F(co)

解：F(co)=/©-M(。©-抽山

=1e-ate-Jwtdt

=£e-(a+j<0)tdt

1

a+j8

3设矩形脉冲信号G(t)的脉幅为E,脉宽为汇，求信号/(f)=G(f)cos(gr)的傅立叶变

换

解：根据定义可求出

COT

»[G(t)]=Z[£Gr(r)]=£z5a(—)(详见教材52页)

根据频谱搬移特性尸[f(t)cos(bt)~\=-[F(CD-b)+F(co+b)],

2

下[G(t)cos(gf)]='{[a(”