信号与系统课后习题答案(一)

例：判断下列系统是否为时不变系统？(2)J；⑺=，/(，)

(3)j«)=/(-0

(2玲g(/)=/(/-/°),T[g(/)]=念⑺=/(/一〃),77。一/())H力。一。)8,〃《-。=

(/70)/(/—幻。⑶令g(/)=/a—f。)，T[g(/)]=g(—/)=/(T—。)，Tf(t-t0^

〃。一幻，〃(/To)=/(T+/o)

L2已知某系统输入/'(/)与输出丁。)的关系为M/)=|/(W判断该系统是否为线性时不变系统？

解:设T为系统运算子，则n(/)可以表示为小)=7"(/)]=|/(/)|,不失一般性，设/&)=片⑺+人⑺

7[](3=伉")|=%(。,7"。]=伉6)+/。)|=加),显然其不相等，即为非线性时不变系统。

1.3判断下列方程所表示系统的性⑴：武/)=也+[f(x)dx(2)：3(。]2+★)=/(/)

dt

(3)：y'(/)+2y(/)+3y(，)=/(/)+/(/—2)(4)：_/(/)+2卯«)+2y(/)=3/(。

线性非线性时不变线性时不变线性时变

1.4。试证明方程y，(t)+ay(t)=f(t)所描述的系统为线性系统。

证明：不失一般性，设输入有两个分量,且fi(t)-yi⑴,f2(t)-y2(t)则有y/(t)+ayi(t)=fi(t),

y2'(t)+ay2(t)=f2(t)相加得yi'+ayi(t)+yz(t)+ay2(t)=fi(t)+f2⑴即4[yi(t)+y2(t)]+a[y1(t)+y2(t)]

dt

=fi(t)+f2(t)可见fi(t)+f2(t)-yi⑴+y2(t)即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。

1.5。证明1.4满足时不变性。

证明将方程中的t换为t-t0,to为常数。即『(t-toHaya-toAfa-t。)山链导发则，有力W一0)=

dt

力(‘二10二%]又因卜为常数,故如二41=1从而砂，42=砂(3位所以有

t/(Z-/0)dtdtdt(7(/-Zo)

dy(tt

~^+ay(t-t0)=f(t-t0)即满足时不变性f(t-b)Ty(t-t。)

at

1.6.试一般性地证明线性时不变系统具有微分特性。

证明设f⑴-y(t),则f(tW)一y("t)又因为-〃/)―/"一加)t幽二如所以

△t△/

lim〃/)-/(…△/)之0必若泡既有八…⑺

—0\t

1.7若有线性时不变系统的方程为y'⑴+ay(t)=f(t)在非零f(t)作用下其响应y(t)=1-el试求方

程y'(t)+ay(t)=2f(t)+f'(t)的响应。

解：因为f(t)-y(t)=1-e1又线性关系，则2f(t)-2y(t)=2(1-e4)又线性系统的微分特性，有

f(tHy'(t)=e-t故响应2f(t)+f(t)一y(t)=2(1-e")+e"=2-e"

sin(/+=sin(—)^(r)=—8(t)fsin(Z—7)b(/)d，=一变

计算：442J—42

IJ2f,-l<r<l°

|12r(y(r-/)dr=?|o,其它jjsin(r-^)^(r-l)dz=?Q

J】sin(r-^)(y(/)d/=?1

2f2r

色卜隈⑺尸e-J(0-2e-£。)=b(，)—2e-2,£(t)

2-5设有题2-6图示信号次f),对(a)写出广(f)的表达式，对(b)写出/〃(/)的表达式，并分

别画出它们的波形。

解(a)

(0<Z<2

2

/'(/)=｛次-2)，，=2

-24/-4),/=4

(b),r(/)=2^/)-2^/-i)

-2(X/-3)+2(5(/-4)

2.6.化简下列信号：(a)/(。即-3)=/(3W-3);(b)b(/)+sin/・即)=3")

(c)2e-2£(/)=2S(/);(d)cos/*J(/)=J(/)

2-7试计算下列结果。⑴砥，-1)(2)fCOS(«yZ--W)d/(3)，6一3节(—7)由(4)

£Z^(/-l)dz(5)[t^t-1)dt(6)+/^(/一3)龙⑺21S^dr

解(1)旗，-1)=次-1)(2)Icos3f——)b(f)df=]cos(——)8(t)dt--

d)X)d)山-332

(3)『e-3节(T)d/=pe-3,^(/)dr=『b(/)d/=1(4)£/^>(/-l)d/=[S(t-l)d/=1

(5)[旗f-l)dt=[-1)dt=l(6)=0(7)=2f(/)

例3-9设有LTl系统，其输入信号/(，)=2e(，)，冲激晌应A(t)=

e、(，)，如图3-17所示，试求系统的零状态响应y(，)。

/<»)♦*<,>'

2-------------------------«-

0t0t

图3-17例3-9图

解因本例中/（，）和M，）均为有始信号，故由式（3-47）直接可得

y（«）=/（»）*A（<）=12e-"”>dT•£（t）

=2e''^eTdr,£（t）=2（1-e"'）£（l）

3-1如图2-1所示系统，试以“c（，）为输出列出其微分方程。

解由图示，有

九=£+C*"又，L=：l（us_"c）d，!!

—（us—〃c）=~—+Cu\从而得

LR.

雇6）+/《（/）+3"C（/）=《MS（/）

IkjLyL

3-3设有二阶系统方程/（/）+4y,（/）+4y（7）=0在某起始状态下的0+起始值为

爪。+）=1,了（。+）=2试求零输入响应。

2

解由特征方程下+4%+4=0得彳1=冬=-2则零输入响应形式为％（Z）=（4+A2t）e-'

由于%（0+）=小=1-2小+企=2所以4=4故有7zi（/）=（1+4/）e"\/>0

3-4如题2-7图一阶系统，对（a）求冲激响应i和"L，对（b）求冲激响应火和，c，并画出它们

对于图（b）RC电路，有方程

。出U=&一"即％+」—%=—is当is=次/）时，则

dzRRCC

力（。=气（/）=!屋正•£（/）同时，电流，c=。妞=6（/）--L屋正・£（/）

CdrRC

3-5设有一阶系统方程/(/)+3y(t)=/'«)+/(/)试求其冲激响应h(t)和阶跃响应5(/)o

解因方程的特征根4=-3,故有X|(/)=e-".£(/)当力(/)=次/)时，则冲激响应

h(t)=x](/)*[&(/)+c>(r)]=c>(/)-2e-%•£(/)阶跃响应

s(7)=17?(r)dr=^-(1+2e-3;)£(Z)

3.6L77系统的冲激响应如图(a),若输入信号/(，)如图(b)所示三角波，求零状态响应?

本题用图形扫描计算卷积即y(f)=〃⑺*f(t)=0(/<0),「八,(0</<1),

frdr+,(2-TWT,(24/<3),frdr+J(2-r)t/r,(l</<2),

j\(2-r)t/r,(3<Z<4),0,(Z>4)=0,1/2,-l+2/-1/2,-l+2/-1/2,8-4/+^2,0

3.10算子法求下列系统的冲激响应力⑺。(a)/(Z)+3y(Z)+2j(0=5*)+7/(/)

(b)y(/)+2/(/)+y(r)=2/(/)+3/(z)

解：(a)系统的算子方程(P?+3p+2)y(/)=(5夕+7)/。)从而H(p)=,即+‘—=2+—-—

p-+3P+2p+\p+2

23

2,

从而〃(/)=(——+——)^(/)=2e-'+3e_,z>0(6)(/+2p+l)y(/)=(2p+3)/(/),

p+1p+2

H(p)=^^=^^7+4从而〃(/)=【^；7+2】^t)=te-'+2e-',t>0

p+2p+l(p+iyp+1(p+1)-p+1

3-11试求下列卷积。⑶氏/+3)*&/-5)(b)簧/)*2⑹心区f)*火/)

解(a)按定义Mf+3)*£(f-5)=[£(r+3)£(/-r-5)dr考虑到K-3时,4T+3)=0；

r>/-5时，£(t-T-5)=0,故&f+3)*£(r-5)=(dr=/-2,/>2

(b)由次/)的特点，故次/)*2=2(c)近6/)*》(/)=上e-'M/)]'=(c'-re-/)£(t)

/10)

3-12对图示信号，求/⑺*/（f）。2

1

解（a）先借用阶跃信号表示力（/）和以/），

(•)

即力(/)=2&/)-2M/—1)〃，)

(1)(1)

/（，）=&，）-耳，-2）1

d1

故4H-202

(b)

力(/)*力(/)=[2&，)-2良-1)]*侬，)-£(―2)]

因为

a/)*&，)=Jld7=r&/)故有

/(0*^(0=2/£(/)-2(/-1Wr-l)-2(?-2X?-2)+2(Z-3M/-3)

(b)根据S(f)的特点，则力(，)*力。)=力(D*3a)+演/-2)+5(，+2)]=力(，)+力(，-2)

+力(，+2)

3-13试求下列卷积。⑶(l—e-")£(/)*>(7)*£«)

(b)e-3Z(/)*金上一€(。]解(a)因为>(7)*£(/)=£'(7)=况/),故

d/

(1-e~)£­(/)*S'(t)*s(t)=(1-e~)£(/)*3(t)=(1-Q-2')£(/)

(b)因为e-'M/)=S(/),故

/2(7)*9归一€(7)]=e-3‘£(/)*£(7)=J(/)-3e-3z

d/

3-14设有二阶系统方程_/(/)+3V(/)+2X0=4夕(/)试求零状态响应

解因系统的特征方程为不+32+2=0解得特征根不=7,A2=-2

故特征函数X2(f)=e**e^=(e-z*e-2')£(t)

-,22z

零状态响应y(t)=46'(f)*x2(t)=4S'«)*(e*e-')£«)=(8e--4e")£•(/)

3-15如图系统，已知4(1)=6(/-1),〃2(/)=£(/)试求系统的冲激响应〃(f)。

解由图关系，有

x(/)=/(/)-/(0*似。=即)-即)*g-1)=即)-凶-1)

所以冲激响应力⑺=刈=%(/)*/)=[3(。-8(t-1)]*£(/)=£(t)-s(t-1)

即该系统输出•个方波。

3-16如图系统，已知7?i=&=lQ,L=1H,C=IFo试求冲激响应也")。

&

解由KCL和KVL,可得电路方程为

CM*+(---1—=—)%c+(—I——)wc=—c)\/)H—16(。6«)

0&LLRJ©&RL。《)

代入数据得雇+2u'c+2幺=&«)+6(。

特征根(=-1士j1故冲激响应〃c(Q为〃cC)=(e**e")*©(/)+J(0]

=(cost-sin/)•£,(/)+e-/sin/•£,(/)=e~cos"(/)V

3-19一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入</)=a/)时，全响应为(t)=

3e-3,-£(t)；当输入/(/)=-£(，)时，全响应y2(/)=eB.£(/),试求该系统的冲激响应//)。

解因为零状态响应f)fs(，)，--s(7)故有yi(7)=%(：)+s(7)=3c％£(t)

-3,

y2(t)=*，)-s(，)=e"。t)从而有yi(t)-y2(t)=2s(t)=2e-£(，)即s(f)=晓"可t)

故冲激响应♦(f)=k(f)=及f)-3e*£(t)

例4.7设有时间信号/(7)=吧2，试求其频谱函数F(w).解：这里f⑴为偶函数，且可以

Tit

表示

/(/)=-5«(2/),,/(/)3考虑到gr(。3血(?)/«)c2叭-卬)

712

w

则：成?(竺)c2咫r(—vv),r=4,4S«(—)<->2侬式卬)，即包"—g4()=尸(卬)

22Tit

4-1求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。

解对于周期锯齿波信号，在周期(0,7)内可表示为

f")=7.系数％=下_[/⑺由=71不由=万

/=(f/(/)cos〃卯d/=|^”・cos〃卬由=/北:如=0

,2A(r.2A(*■,2AtCQsnco.t

么=亍，/")sm〃幼/"=产]/511〃0阀，=诃=

所以三角级数为

AA

/。)=彳-2—sin”如

2„=i〃兀

fl,

4-3试求下列信号的频谱函数。(1)/(7)=e-2M⑵/(/)=e-sind)0/-£(Z)

解⑴尸(口)=「/(小一皿山=|%2/池山+fe-2,e-jwd/=―1—+―1—=—

J-LA2-jco2+j啰4+疗

⑵尸(⑼=[/(/方以由=£e-a,•—(ej^-e-j(ao，)e-j,wd/

*2j「

=_L，上切”.-e_j<a<>,•e(-a--i<B),]d/=—______!______________!______

2*2j](a+j0)-j4(a+jo)+jg

=1.2jg=g

2j(or+j<w)2+co^(a+jco)2+a)^

4-4求题3-4图示信号的傅里叶变换。

解(a)因为

，£,|八<7

(b)

心)=7

、0,I为奇函数，故

22

F(co)--j2\—sinozdz=-j——7[sinCOT-CDTCOSCOT]=j-[cos6yr-Sa(69r)]

山TT0)~CD

(b)/(7)为奇函数，故

F(a))=-j2f(-l)sin<y/d/=­[COSCOT-1]=j—sin2(—)

1)\a>CD2

4-8设7U)为调制信号，其频谱网0)如题图4-7所示，cosg/为高频载波，则广播发射的

调幅信号x(，)可表示为x(t)=A[l+mfi/)]cosdV试求x(t)的频谱,并大致画出其图形。

解因为调幅信号)=Zcos如+mAf[f)cosgt

故其变换

vyiA

X(o)=7L4[3(O—00)+5(口+00)]+-^-[尸(0一00)+77(°+°0)]

4-10试求信号./(7)=1+2cos/+3cos3/的傅里叶变换。

解因为1―2兀次⑼2cosZc2M贫/一1)+次G+1)]3cos3/—37c[次0-3)+次/+3)]

故有尸(口)=2兀[次⑼+次公一1)+次G+1)]+3矶次外一3)+式①+3)]

4-11对于如题3・6图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为

/g)一•2耳(2⑼=8Sa2(2⑼再由调制定理得f2(Z)=/(9cos兀/一己(。)

工⑻小Sa皿-2兀)+8Sa,(2…吁4SM3-2兀)+4Sa0+2兀)

sin2(2G)sin2(2d?)

=--------r'1----------r

{CO-71)(①+71)

4-15如题4・1图示KC系统，输入为方波〃/，)，试用卷积定理求响应〃“八。

“向R

解因为RC电路的频率响应为।~竟------:

〃/•、1«1(01f—r-C以。

H(JG)=二——7

JG+1________■0_______________o

而响应〃2(，)=〃1(，)*〃(，)

故由卷积定理，得)=5(。)*，(jo)而已知q(M=」-(l—e+),故

j<y

1

U2(a))=—------L(1-e+)反变换得u2(t)=(1-e-)£(/)-[1-《(/一1)

j@+lyco

4

4-16设系统的频率特性为H(④)==一e-仆“用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。

j(w+2

解冲激响应，故〃(/)=「七"(切]=41--3).£(/一3)而阶跃响应频域函数应为

1414

S3)=F[s(t)]H(a))=[兀/⑼+—]•——J-"=27tb(功+-———小’

]coj69+2ycoj&+2

=2无以。)+(总一所以阶跃响应s«)=2[1—eNT)].£«_3)

4.19设系统频域特性为由对称性，且用g(w)表示频域门函数，则：

H(w)=e-721v,|w|<6;0，M>6,若系统输入f")=sin4/〃・cos6z,求系统响应.

，由47二4s4(旬«-»咫8(W)，COS6,c)[b(w+6)+b(w-6)],由频域卷积定理有

/(卬)=螫竺*乃眇(w+6)+S(w-6)]=C[g8®+6)+g8(w—6)],由卷积定理有

2万2

?-y2My2M，

Y(w)=/(w)/7(w)=y[g8(w+6)+g8(w-6)]g12(w)e=y[g4(w+4)+g4(w-4)K

取反变换，有y«)=sm[2(/-2)]—[4«_2)]

t-2

4-22题4-8图所示(a)和(b)分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。已知输入加)的频谱

和频率特性*(j。)、如图所示，试画出M/)和M。的频谱图。

解由调制定理知

/'(/)=f(/)coscoct<->F[(<y)=y[F(<y+4.)+F(co-<wc)]而x«)的频谱

X(o)=4(M•〃]("?)又因为

/,(/)=x(/)cos6>cz<->尸2(①)=g[X(&+a)+X(。-g)]所以

丫3）=工3）〃2（9）

它们的频谱变化分别如图p4-8所示，设此>6。

4-23一滤波器的频率特性如图所示，当输入为所示的义/）信号时，求相应的输出y（f）。

w（j«）y（n

解因为输入火，）为周期冲激信号，故2（„

Fn=-=1,q=0=2兀所以4/）的频谱…II「1I…

TT-*«04n«-2-1012

0000

F（6>）=2兀2&3（口一〃外）=2兀£3（口一2〃兀）

“=-00M=-X）

当"=0,+1,±2时，对应”（jo）才有输出，故丫（0）=尸（0）〃（地尸2兀［2“0）+次0-2兀）+

贫。+2兀)]反变换得M/)=2(1+cos2兀/)

4-24如题4-9图所示系统，设输入信号附）的频谱尸3）和系统特性，i（j/）、%（j0）均给

定，试画出y⑺的频谱。

解设/(，)=/(，)cos50/,故由调制：

|-20。303-90-9009•90.

Fl3)=-[F(w+50)+F(co-50)]从而,/2(/)—心(0)=H、(0)•F](0)

它仅在I<y|=（30-50）内有值。再设人（/）=力（7）cos30f则有

/（⑼=g巴3+30）+工（。-30）］即户3（"）是「2（”）的再频移。进而得响应的频谱为

丫3）=匕（°）•H<j3）其结果仅截取-20<20的部分。以上过程的频谱变化如图所示。

4.27设信号附)的频谱尸(3)如图⑶所示,

当该信号通过图(b)系统后，证明恢复为火，)。

证明因为

/(/怔卬3耳3-2卬

故通过高通滤波器后，频谱Q(。)为

F[=H(jco)F(a>-2et)t)-F{co-2?)

所以输出

y(t)<->Y(a>)=F(a)-2例+2a)J=F(a>)

即y⑺包含了./(。的全部信息尸(。)，故恢复了.&)。

4-26如题图4-4所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性H(j<o)。

解由图可知输出式/)=4)]由

取上式的傅氏变换，得丫(啰)=以丝(1-e-j'%)

]a)

故频率特性

”(通)=

尸(。)j0

4.29设信号/⑺=‘in10°加,其带宽为多少?若对其取样，最低取样频率/；?

100R

奈奎斯特间隔工？解：由对称性有g«)--2唱(心

令r=200%,Sa(l00R)一•二；*")由频域门函数gzooKw),可得叱,=100%,

fm=5Qhz,fs=2fm=lOOfe.7；=—=1/100(5)=10/M5

Js

4.30设带限信号/；(/)的最高频率为女反,带限信号力⑺最高为60?z,试求

下列信号的最小取样频率(。)<(2/);(6)工⑴/⑺解⑷因/；«)>fm=3khz,

呵(27)2%=6协z,故£=12板⑶对于小).力(/),由频域卷积定理，其

最高频率变为9版z,故f,=2,4,=2x9助z=18khz

例设b(s)=;一三一八求f(t)。解尸(s)=；~士—~与其中

(S+1)(54-2)(S+l)(s+2)S,4-1s+1

爪1=(5+1)尸(5"=_1=-1K2=(S+2)F(S)\S=_2=2所以b(5)=鼻+占则

/«)=-e~+2e"

例设F(s)=J+2的⑺.解:配方法求反变换2s)=s+,1+-L—

s+2s+2(s+1)~+1(s+1)“+1

—aiS+a-nt.VV匚匚[、！

ecoswt<-»---------------,esinwt<->--------；-----，所以

(s+ay+M广(s+a)~+M广

f(t)=e~lcoswt4-e~{sinwt=V2e-/cos(/-45°),Z>0

例设尸仃)=/今，求f(t)。解尸(§)=厂工+3•其中Ku=(s+1>尸(S)|

(S+1)(5+1)S+lL

T

=2Kn=^-(s+3)L=1则f(s)=—+三厢(f)=2te-'+e-',t>0

dsJ(S+1)S+l

c-2

12

例设尸(s)=———r求f(t)解尸(s)=32+

S(S+1)(s+l)'(s+l)(s+l)

(s+1)3尸(s)=匕2则K”=—

加=2Kl}

‘J"s=-\

s-23

=2GV(O=-t\-'+2te'+2e-'-2,t>0

2ds21ss=-l2

例5.13设有方檄p)+3y'“)+2y(f)=e-3/j(0_)=l,/(0_)=2,求y(f)。

解取拉氏变换得[s2y(s)_sy(0_)-V@)]+3[sy(s)-y(0_)]+2y(s)=

s+3

0.5

+-----

财⑸=(2；：：蓝+3)丫。)=s+ls+2s+3s+ls+2s+3

所以y(。=r1[r(s)]=4.5e-'-4e-2'+0.5e』(t>0)

例设有二阶系统方程y"(f)+3/(0+2y(r)=/'暇+4/(0j(0_)=1,/(0_)=2输

入/1(f)=£(»),试求零输入响应，零状态响应和全响应。解取拉氏变换得宁丫仆)

ry(0_)-y(0_)]+3[sy(s)-y(0_)]+2y(s)=(s+4*(s^y(s)=^^_；/(s)

s+3s+2

s+4

F(s)

+史亨黑祟”代入初始状态和尸I)=i/s得y(s)=s(s2+3s+2)

2

H------------对上式两项分别去反变换得%«)=(2-3e-'+e-*)£«)%«)=

s~+3s+2

2e~'-2e~21«>0)全响应y(f)=%«)+%«)=2-e-'-e-2'(t>0)

例5.18：如图所示电路系统，已知0=1F,L=1/2H,R1=0.2Q,R2=1Q,uc(0-)=0,

iL(0-)=2A,试求电感电压uL(t)。

^^-/?,Z(5)--=0(5)

解s域模型如图，用网孔分析法（工+RJ/G）+2

+(/?]+7?2+s£)，2(s)—(。)=47,(5)-0.2Z(5)=--0.27,(5)+

s2

(1.2+0.5s〃2(s)—1=0解得人G)=.,2(s+6)从而心)=sLI/s)—LiJO)=

s+7s+12

-s-12_8T故叫⑺=Be®-9e-3')K(/>0)

s?+7s+12s+4

例。5.16如图所示电路系统，tWO时电路已处于稳态。设R1=4Q,R2=2Q,L=1H,C=1

F,试求t'O时的响应〃cQ）。

解得起始状态乙(0_)=)-Z=lZ，%(0_)=&U，=—x6，=2匕s域

4+27?j+7?24+2

电路列网孔方程(凡+5乙+」-1/(5)=-1-2既/(s)=；(s+2)

2

I2sc)s5+2.v+l(s+l)2(s+l)2

+三取反变换i(/)=-te'-/又〃(s)=—7(5)+也”得利(/)=te~'+2e-'

s+1sCs

5-1求下列函数的单边拉氏变换。

(1)2-e-/(2)^(/)+e~3z(3)e-2/cos/(4)sin2/+3cos2/

解(1)尸(s)=「(2—e-')e"d/=2--L5+2

⑵产(s)=1U(7)+e力e-"d/=l+」一

hs+3

(3)F(s)=£(e-2zcos/)e~s7d/=£-^-(ejz+e-jz)e-2/-e~$/dr

1T11)_s+2st

2、s+2-js+2+jJ(s+2『+l(4)F(s)=j(sin2/+3cos2t)e~dt=

11____1_31____1_2+3S

2j{s-2js+s+2j)S2+4

5-2求下列题5-2图示各信号的拉氏变换。

解(a)因为/(/)=£")一£(/—%)

而£(7)-＞』，£(/一/())-leT'"

SS

故工⑺f1(1_e/)(b)因为/(/)=-[£(/)一£«—/。)]=L£(/)一，£(t-t0)

S，0，0，0

又因为一£(/)f———£(t-())—(—1--7-)^-S/0

%S(QSStQ

故有力(/)一---(-+4-)}斯=/一(1—e』)-工e』

5ZoSS/0StQS

5.3求下列拉氏变换(a)f(t)=6(。+teT'sity,(b\/(/)=佰⑴*[1+e'£{t}\

解：(a)5'(7)<->s,te''£(t)c——-~y所以/?(s)=s+——-一：(6)应为/⑺=t£(t)*1

(s+1)-(s+1)-

+/£(/)*"‘£(/)而，£(/)*13二•，=4,/£«)*—‘£(/)O-,J不所以F(s)=4+..T/7

5SS5(S+1)S5(5+1)

5-5利用微积分性质，求题5-3所示信号的拉氏变换。

解先对人,)求导，则

f'(t)=£(/)-2s(t-l)+2s(t-3)-e(t-4)

故对应的变换片(s)=1(1—2e-s+2厂，—eY*)

s

所以八)=侬=心一、+犷-"

ss

5+1

5-9用部分分式法求下列象函数的拉氏反变换。(1)/(s)

52+5s+6

2s2+s+214

F(s)=s+1=_£±1__L.A_

解(1)=+占=(s+2)尸(S)L_2=T

§2+5s+6(s+2)(s+3)s+2s+3

_i2

左2=(S+3)/(5)|=3=2故有F(s)=所以/(/)=(-e-2r+2e_3z>(/)

2s~+s+2A

(2)F(5)==—+当当可得，=s2s)[=2

s(s2+1)s

1

又2s?+s+2=4『+A+Bs2+Cs可得3=0,C=1哈+

52+l

所以/(/)=(2+sin/)£(/)

(3)F(5)=---------=-------------=------1----占=(s+l*(s)J=1

s2+35+2(s+l)(s+2)s+1s+2

&=(s+2)尸(s)|~=T故有R(s)=占+W故〃/)=⑹'—e-")«/)

Ak“12

⑷E(S)=VT^T='+hi故占=sE(s)Lo=l

(S+2)2+S+2

s(s+2)s

)I42

船=(s+2)2/(s)|~=一~船=N(S+2%G)]

5=-2s=-2

i_i9

故有万⑸丁.一E所以阿

5-12设系统微分方程为/(/)+4y⑺+3y(t)=2f\t)+/(/)

已知双o)=I,V(0_)=1,/■(/)=e?•£(/)。试用s域方法求零输入响应和零状态响应。

解对系统方程取拉氏变换得

$2y(s)—sy(0_)-/(0_)+45X(5)-4X0.)+3y(s)=2sF(s)+F(s)从而

sy(0)+j/Q)+4y(0)+2s+11

Y(s)•F(s)由于尸(s)=

s2+4.V+3s?+4s+3s+2

故r(5)=,+------三]------

,2+,S+3,(S+2)(S2+4S+3)

75is

z231

求反变换得%i(/)=geTyzs(/)=-1e-+3e-'-^e-

全响应为M>)=3eT+3e-"-5e-3',/>0

5-13设某LTI系统的微分方程为歹"(1)+5了(/)+6地)=3/(/)求其冲激响应和阶跃响应。

33

解对方程取拉氏变换，得系统函数"(s)==--------=-----------当义/)=b(/)时,

s+5s+6(s+2)(5+3)

F(s)=l,得y(s)=H(s)=-----------从而〃(/)=3e3—3e』，z>0

(s+2)(5+3)

当人/)=£(/)时，F(5)=-,得y(s)=』”(s)30.5-1.51

——+----H-----

SSs(s+2)(5+3)ss+25+3

故得M7)=s(7)=0.5-1.5e~+ef,z>0

Rt)=e(t)

A=4H,C=；F,/?!=12Q,&=%=2。。

5-18如题5-10图所示电路，已知Us=28V,

当f=0时S断开，设开关断开前电路已稳定,求fN0后响应wc(t)o

对于图(b)S域模型，列出关于Uc(s)的节点方程，即

%8

1、rr/\4G2+5s+7)73s+8

(12+4s+4S+产⑶廉+1解得〃⑸

s(s2+4s+4)(s+2)2

可得〃c(/)=7—2(7+1.5把々(/NO)

5.19如图所示系统/=0时开关打开，试求d0后电压〃0«),，式/)。解：由题可得起始状态

U⑸ud+BO)

彳(0)=10440)=0;用节点法有"---------------=0

2s+153s+10

〃/、40(5+7.5)12(s+7.5)曰匚八皿6020…306010

U(s)=-------+------^最后分解为qTT)(zs)x=--------+12+——=12+—+——

0°5(5+5)5+5ss+5s+5ss+5

100,

+30A642

从而有劭⑺=[125(/)+(60+1Oe')£«)〉电流I,⑸=-----+—=-+—

55+255+5ss+5

q⑷=(4+2H“)£(/)/

例6-9设有反馈控制系统如图所示，为使系统稳定，试确定K的取值范围。

s

解：由图可得系统函数H(S)=5XR=

1+3+1)(：+2)

二-------------按二阶系统稳定条件,3+K>0,k>-

52+(3+K)s+2

6-1已知某系统函数”(s)的零、极点分布如题6-3图所示，若冲激响应的初值〃(0+)=2,

求系统函数4(s),并求出"(/)。

Hs

解由图示零、极点分布，应有〃(s)=--------------7

又因为〃(0+)=limsH(s)=77(0)=2故有h(s)进一步可表示为

“(s)=2-------------所以

目2

(s+l>+2j

2(5+1)

("I)'+"

2.6、、八

/?(Z)=2e-/(cos——尸sin——/),t>0

V32

6-3某系统函数”(s)的零、极点分布如题64图所示，且4=5,试写出〃(s)的表达式。

解从图可知系统的零点为Z]=0,z2=-2,Z3=-3极点为S1=-1,

S],3=—2±j2故系统函数

〃/、TTN(s).s(s+2)(s+3)5s3+55+6)

ti(5)=/?-----=5,--------------------------=--------；--------

nD(s)(s+l)(s+2+j2)(s+2-j2)(s+1)(/+4s+