信号与系统课后习题答案

第一章

1.8系统的数学模型如下，试判断其线性、时不变性和因果性。其中X(0-)为系统的初始状态。

(2)丁(。=1""(5)y(/)=/(z)cos2/(8)y(/)=/(2r)

2f{1)

解：⑵八y(勾t}=e

①线性：

2fi{1}

设工(，)一%(。，&(。7为(。则M(f)=e",Qy2(t)=e

那么叫工C)-y(f)=e2[。-]=e2"向eW却显然

，⑺何必⑴+出必⑺，所以是非线性的。

②时不变性

2f(，，a]

设力⑺一必⑺，则凹(。=62叫y](t-tf})=e'-

设工(—0)—»(。，则乃(，)=/"'。)=»(—0),所以是时不变的。

③因果性

(\=()2}M

因为对任意时刻tlv,t-e,即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。

⑸ya)=〃')cos2r

①线性：

cos2?

设力⑴人⑺—必⑴，则M“)=/(，)cos2f,y2(0=/2(0

那么

%工。)+。2/2")~y(r)=[a/(f)+a2/U，)]cos2f=a/(r)cos2r+a272(，)cos2f

显然，⑺="D+%)’2⑺，所以系统是线性的。

②时不变性

设工O11S，则M(f)=/(f)cos2f,yi(fTo)=/；(fTo)cos2(f-fo)

设工(1。)一力(。，则丫2(。"("幻cos2F%(J。),所以是时变的。

③因果性

因为对任意时刻tl,y"J='"Jcos2,即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。

(8)Mfr)

①线性：

设力⑺-必⑴，则/(。"⑵)，火⑴二人⑵)

那么

%工。)+出力⑺—>(/)=⑵)+a'?(23=⑵)+々/2⑵)

显然)'")=a'y'⑴+"2%”),所以系统是线性的。

②时不变性

设工(。7乂(。，则%[)=>⑵)，•••%(lo)"[2(-o)]

设，(-0)->%«)，则当(。=力⑵-to)。y”"),所以系统是时变的。

③因果性

因为对任意时刻tl,)'&)=/(2L)，当乙>0时-，乙<2、即输出由未来时刻的输入决定，所以系统是非因果的。

第二章

2.12(a)已知信号f⑴如图所示，试分别画出下列信号的波形。

⑴f(1-t)⑵f⑵+2)

(3)f(2-t/3)(4)[f(t)+f(2-t)]U(1-t)

然后反折即得f(1-t)(见图(b))。

(2)首先f(t)向左移2得f(t+2)(见图a)

然后将f(t+2)的波形压缩为1/2即得f(2t+2)的波形(见图b)。

然后将f(t+2)的波形扩展3倍即得f(2+t/3)的波形(见图b)。

最后将f(2+V3)进行反折即得f(2*3)的波形(见图c):

(4)先作出f(2-t)的波形和U(1-t)的波形(见图a和图b)

八U(l-t)

t

图(a)图(b)

然后作出f(t)+f(2-t)的波形(见图c):

最后乘以U(1-t)后的波形如图比

“f(2-t)+f(t)

图(c)图(d)

2.16利用冲激信号及其各阶导数的性质，计算下列各式：

⑵/«)*以川/(/)=12(/+4阳17)力

(8)

/(f)=内用£6(t-n)dt

加)=匚叫加+阳川小

(10)(14)2，一

⑵〃，)=*(川=阳。

解：

因为6(1-)=*—),

(8)

/(/)=12卜3+4”(1一/)力=[2(』+4"1-1)力=2(尸+4)、=10

所以

=2

(10)t=0

.3{t—n)

(14)冲激串"=f中只有两个：6(t)和6(t+1)落在积分区间

[-3/21/2]之中，因此

/(‘)=zE，“[s,+i)+6(。]力=«-+1

2«=-«»2

2.25已知激励为零时刻加入，求下列系统的零输入响应。

⑴)'”)+)«)=/'(/)，)包)=2,)，'(()-)=o

⑶y"«)+3y'(，)+2y(f)=/(f),y(o-)=i,/(o-)=o

解：⑴特征方程为：矛+1=°,特征根为4=''4=T,因此，yx(t)为：

"⑴=+。20"'之°,代入初始条件并求解,有：

G+C,=2

\.=>C]=C2=1._.

iC,—iC7=0~-cnryx+e=2coszf>0

⑶特征方程为：矛+34+2=0,特征根为：4=T，4=-2,

因此，yx(t)为：月«)=。2'+。2”'；代入初始条件并求解，有：

C,+C2=1G=2

-C,-2C,=0G=-l一仆，儿⑺=2e-'_e-”r>0

kL,所以,/

2.26系统框图如图2-58所示，试列出系统的微分方程，求单位冲激响应。

解：(1)如图，加法器的输出方程为：

V")=/(»>'(/),整理后即得系统的微分方程为：

(2)求h(t)

特征方程为无+丸=°,特征根为：4=一1，4=°,因此，h(0为：

“')=(金+G)U(')，微分方程中令f(t)=8(t),并将h(t)代入，得：

⑺一C/(f)+(G+C2)阳川+[—Ge-'U(f)+(G+G)6(川=6(f)

比较两边冲激函数的系数，得：

G+a=°[Cj=-1

<n4/\\

e，(f)

2.33已知信号如图2-61所示，试分别画出<(')"&(')的波形。

(c)

(e)

解：⑸-（'）=W）*［叫+…"1）］"（，+1）+皿-1）,故波形如下：

⑹力⑴*力(0=工'(，)**%)=[2叫)-26(1)]

=2(1_/”1)_2(1_"(1))0(一)

0f<0

=<0</<1

2(e—”t>l

波形见(b)

Z)工(f)*&(f)=/；(f)*短(f)=[2g+1)-2叫-1)]*皮)(f)

=2/1+%-1),而£")的波形是一个等腰三角形，因此卷积的波形为：

/(，)*72⑺=sin“U⑺―U(…万)]*[1+U(%—1)]二(sin/du+#j)—1)

=2+力㈠)(1)

'0t<0

(，)=£^sinr[t/⑺-U(r-〃)dr]=<l-cosf0

.2t>7T

其中I

"2t<\

/(f)*&(f)=<3-cost\<t<7U+\

-uz4t>7T+\

所以，I

卷积的波形见(d)

(d)

2.49已知LTI系统的框图如图2-72所示，三个子系统的冲激响应分别为

lV'v'''2V'''乙求总系统的冲激响gh⑴。

解：由图可知，总的冲激响应为

咐=也(。+4(川*%G)=[u(f)+b(f)]*[uou(l)]

=(1?山(>(『时。(1)+。(，)-以1)

=fU«)_(f_l)U(f_l)+u(f)_u(l)

=(U”)-U(I)]+U(f)

2.52求下列系统的零输入响应，零状态响应和全响应。

(1)y'(t)+3y'(，)+2y(t)=f(f)，f。)=-2/"«),y((r)=l,y((T)=2

2

解：特征方程为：A+3A+2=OI特征根为：4=-1，4=-2,

(1)求零输入响应

由特征根得"⑺为："(f)="'+2J20；代入初始条件并求解，有：

JG+G=IJG=4

(一。1一2。2=2=储2=-3,所以K(f)=4e-'—3e-"d0

(2)求冲激响应h(t)

由特征根及微分方程的阶数可知：'")=(4，+'26在原微分方程中令f⑴=6(t),并将h(t)代入,

得：

[(4/+44「”«)+(_4—24)叫)+(4+4)阳川+3[(—41?7-2性。”1)+(4+4)3(川

-,2,

+2(A1e+V)t/(r)=<7(/)

比较两

边冲激函数的系数，得：

A]+A,=0A=1

2A+4=1n

14=7所以咐=1”(')

(3)求零状态响应

lr

yf(f)=/(，)*6(f)=-2e~U(t)^e~U(。一L')]=

=一2(["%十为，U(0+2(["7尔-%,0(，)

=-2te-'U(t)+2(e-'-e-2')U(t)

因此全响应为：

y(f)=L(f)+>7(f)=(4eT-3e""(f)_2QU(r)+2(eT-e-2，)U(f)

=(6e~'-2te~'-5e~2l)U(t)

2.54—LT1系统，初始状态不详。当激励为f(t)时全响应为Re+Sin2f)"(f),当激励为2f⑴时全响应为

(e3+2sin2f"(f)

O

(1)初始状态不变，当激励为f(t-1)时其全响应，并指出零输入响应和零状态响应。

(2)初始状态是原来的两倍，激励为2f(t)时其全响应。

解：设系统的零输入响应为"")，f⑴产生的零状态响应为〃")，因为系统是LTI系统，由题设可得

兄«)+〃(，)=(2e。+sin2t)u(f)

”(/)+2y/(f)=(e-3'+2sin2f)U(r)

解此方程，得

y,(f)=3e』U⑴

>/(')=(一e"'+sin2f)t/(/)

由时不变性，此时的零状态响应为力h一',而零输入响应不变，故全响应为：

＞。”。)+力«T)=3*U(r)+[-e-3(，-1)+sin2(/-1)]。(f-1)其中

零输入响应为⑺，零状态响应为L'勾'"

根据线性性质，此时系统的零输入响应和零状态响应均为原来的两倍，故全响应为：

y(f)=2”(f)+2y/(f)=[4ef+2sin2f]u(f)

,/c1~r-

零状态响应为6e"(f),零状态响应为(一2，+2sm

第三章

3.10已知周期电压I，1\人试画出其单边、双边幅度谱和相位谱。

=2+2cos,+45°)-sin(2，+45°)+cos(3『+6()c)

nr:

=2+2cos,+45。)+cos(2f+135")+cos(3f+60")

所以令4=1,即有4=2,A=2,?=45\A2=1,(p、=135,A?=1,0=60；

因此单边幅度谱和相位谱如下：

3n/4

n/3

n/4

根据单双边谱之间的关系得:

3.12已知连续周期信号f⑴的波形如图3-58所示。

（1）求指数型与三角型傅里叶级数；

S「=1，--1+11

（2）求级数

2%

T=2,4=——=71

解：（1）有图易知T

2

〃为奇数

fcosnmdt=0,b=j

nsinn/rtdt=-(A-cosn7r)=<n兀

njv

0〃为偶数

三角型：所以

1821

/(1)=—+£-------sin(2〃-1)R=—+2[1+sin3兀t+sin、兀t+...]

2女(2〃-1)万2

指数型：

-^―〃=±1,±3,±5,…

4=%=；/"=如一血)=右(1-3叫=.

nrc

0otherwise

所以")十,£』

(2)在三角型级数中令2,得

-1+-2"sin史+，sin包121-

+...=­H--f1

23252235

吗卜n7t-,因,所以

111,11n

2-n1---1—F...=一

兀35

2354即S=兀/4.

3.30求下列信号的傅里叶变换

。(〃2-1)(4)/修(-2)

⑵

1为"1)⑻

(6)

U(r/2-l)^(69)+—"28

(2)因为“("2T)=U(f-2),所以

解：j3

因为e-.-2)=e-%~2),所以，/可-2)="产-

(4)

因为I"阳I)M(I),所以，万"(1)~/3

(6)

3

因为U(j(I)=g小。.5),所以6-j0.50

~2

(8)

3.31已知信号力")和&")的带宽分别为因和电，并且姐＞02,求下列信号的带宽。

力⑴力⑺力(。*人(。⑶/,(0+2/(/)

⑴(2)2

尸⑺*人。)工(力)人(・1)

(4)(5)

根据卷积的性质可知「(网带宽为g+伤

⑴；

（2）因为工⑺*力⑴"尸（网=耳（网居（网，所以“网的带宽为例;

⑶因为工⑺=2力Scb（"＞）=60M+2居0&）,所以的带宽为四；

尸⑴*力(，)-尸0&)=；M1/&)*与

’2（，3）0）

24

（4）因为,所以B叼的带宽为例;

1

工⑶加—）-爪加

,所以“（网的带宽为四+”

（5）因为

3.32利用傅里叶变换的对称性，求下列信号的傅里叶变换

sin2%(-l)

⑷川).

⑵")一^FTT

解:⑵力登*2…

gr。）—$

,令C=4乃，g4"⑺"4乃5’。（2的，根据对称性，得

因为

4%SQ（2R）c2%均乃（一①）=2Sa（2兀。c心〃（。），再由时移性质得.

sgn")2^sgn（-69）

(4)因为j①,根据对称性，有“，因此

—＜-»-jsgn（＜y）

兀t

3.33已知,'（）⑷，利用傅里叶变换的性质，求下列信号的傅里叶变换

/-/(/)

/⑶-5)⑺力㈠

⑴⑻

—/(?)*—

(11)出vm(15)“f)cos2f

⑼

.5a)

“3-5)旧巾.3-j-

e3

3

解：⑴

⑺由时域微分性质有出,再由频域微分性质，得

-吟〃f）“焉（洌卜阳洌+加亮尸（a）

，/7I匕人

j①F(jCD)

(8)由时域微分性质有dt,再根据频移性质即得

["(，0)+.F(O)b®)

(9)由积分性质有.,0,再根据时移性质，得

I‘/⑺"*+"⑼*"+5)

-/(/)<->ja)F(jco)

(11)由时域微分特性，有小，由对称性可得

-c-jsgn⑼

,最后根据卷积定理，得

，/。)*，一口0Po⑼][-/sgn㈤]=闷E(/@)

(15)因为cos2f"%[3®+2)+b(0-2)]根据频域卷积定理得

/(f)cos2f{4[b®+2)+3®_2)]}=；F[/®+2)]+gbD(o-2)]

3.44已知系统的微分方程如下：

(a))‘(')+4)'()+3y(，)=/(f)；⑹)'"(')+5)/(。+6)()=/(，)+/(。

(1)求系统的频率响应H(jw)和冲激响应h(t);

(2)若激励求系统的零状态响应力3。

解：(a)

(1)由微分方程可知系统的频率响应为

11(11)

"⑷=(网2+4_/a+3=5匕函7Ta+3)阳….一叫u")

(2)设〃')—"(网，力(')—小网，则"'Ja+2,由频域分析

〃网="网"(网=/]两上工卜诵诉看E

丫,(汝)=」^+=_+工_

可令J&+1Ja+2jco+3,其中

“3以0叫I=(M2)K+3)L=；

1

4=(a+2)40&)|g2==-1

0a+i）（a+3）

ja)=-2

i

43=(/0+3)乙。0)|汝7

(W+l)(j&+2)2

j(o=~3

1/2-11/2

------+---------+-------

J3+1J&+2j①+3,因此零状态响应为

U«)

（b）

（I）由微分方程可知系统的频率响应为

汝2

H(j®+1=——+——

Mf)=(—e-2'+2ef)U(f)

(jco)+J50+6汝+2汝+3,因此冲激响应为I'')、)

⑵设/（'）""叫力⑺-〃（网，则“网a+2,由频域分析

jVy+1/。+1

Yf(M=F(j®H(ja))=

/0+2[(网2+5汝+6(W+2)2(W+3)

A,A3

4（）。）=A2-*-------=-----

(汝+2)-Jo+2jiO+3

可令,其中

9」m+i

4=(池+2)w(a)

加-2("y+3)

‘段+1、2

A(%>+2”.(网2

、汝+3,(%>+3)2

j(o=-2

y(y=-2jco=-2

4=（松+3皤（网二=^^

is=-3

2-2,d112-2

4(/3)=-----------7H-----------1---------+--------+-------

("v+2yja>+2jco+3d(o\jco+2)ja>+2jco+3

即

因此零状态响应为

〃(f)=(~te-2'+2e-2'-2e-3')U(t)

/(，)=E"加?72,力卬

3.46已知LTI系统的频率响应如图3-75所示，其相频特性°（°）二°。求当输入为

,其中

①。=1口小时的输出y（t）o

=Ee-i"("4)/%=£e-加2H(%、加

?1=-<»fl=-2

,£_.£

JJ

=e"e-J2+e2e-j'+1+e-2eJ'+e-j^ej2'

=l+2sinr-2cos2t

3.50如图3-78所示系统，已知输入信号f⑴的频谱为F（js）,H2（jco）=,试画出x（t）和y⑴的频谱。

耳（，&）=（尸（/3）*%［6（0+5）+6（0_5）］=；尸］，（0+5）］+3夕［，（0_5）］

由频域分析可知，*（汝）="（网"lO”其波形如图a所示：

-22

y(w)=[；xDM+3)]+〈xD®-3)]

类似地，I，2J其波形如图b所示。

3.61已知系统的微分方程和激励如下，求系统的稳态响应。

⑴y'(f)+L5y(f)=/"(f),/(f)=cos2f

(2)y'(f)+2y(f)=-T(f)+2/(f),〃f)=cos2f+3

H(洌=H(j2)=-=0.8/69

解：(1)系统频响为J0+L3,当s=2时，频响,2+1.5因此稳态响应为

)Uf)T"(/2)|cos(2f+0(2))=O.8cos(2f+369)

H(荷=T3+2

(2)系统频响为松+2,设cos2f->%«),3-»心”)，

"(冏=段*1胆川)=胃詈=1

因为R+2,,0+2,所以

y„i⑴=(；2)|cos(2r+0(2))=cos(2fg)=sin2t

加⑺="(刈3=3

最后，总的稳态响应为以(')=%(')+%(/)=sin2f+3

3.63已知某理想高通滤波器的频率特性如图3-86所示，求其冲激响应。

解：系统的频率响应为

H（网=W（网e*⑼卜2[1-^⑷]e，=2^-2^⑷e”

因为2叫一5)…:由对称性及时移性质可求得4s咏(T)］-2g4.®)eW因此冲激响应为

〃(f)=2b(f—5)—4Sa［2乃«-5)］

/⑺”(於)=jsgn(o)

3.66如图3-89所示系统，已知兀t求输出y(t).

解：如图，）'（，）』（，）+%（，），因此丫（洌=匕（网+丫2（川）

由对称性求得‘⑴"""7卜g/3，因为必⑺="'）cos，所以

X（J&）=；FD®+4）］+gFD（°_4）］=；g4®+4）+gg4®_4）

而

匕（网=（|＞（洌”（网］*｛必［6（0+4）—6®—4）］｝=

=-g［g4（o）sgn®）］*［b（0+4）-b（0-4）］

=_gg4®+4）sgn®+4）+gg4（0_4）sgn（0_4）

因此Y（网=Y'（汝）+丫2（M=g2W+5）+g2（。-5）=g|2（°）一8⑷（此结果需借助图形才比较容易得到,

即将Y'（/0）"（网的波形画出并相加）

sin6rsin4/

-g|2®)，-S.®)

因为兀t兀t

sin6tsin4t_2sintcos5t2/、

所以.=—5a(1)cos5r

兀tm7Tt71

3.52已知基带信号/⑴带限于班,信号为“）带限于电，求对下列信号进行理想抽样时、所允许的最大抽样间隔To

工⑺功）⑵/⑴+力⑺⑶工（，）*人（，）

⑴

修，）⑸工⑶)⑹工（-"5）工（。

⑴因为—（闻$耳（例*鸟（例根据卷积的性质可知/（网带限于。”,因此

解：

T=

（姐+电）.

最大抽样间隔为

（2）因为工⑴+力。）"1（网+尸2（洌，易知"（汝）带限于max（gs）,因此最大抽样间隔

71

T

max（明，生）

为

因为力”）*/2（，）“尸（汝）=瓦00）工（，&）,易知"（M带限于min（如,利），因此最大抽样间隔为

(3)

71

T=

（4）因为力学"/网根据卷积的性质可知人网带限因此最大抽样间

T=—

隔为2g

£(3f)-F(Jo)=".a

,根据尺度变换的性质可知'（'a）带限于33，因此最大抽样间隔为

(5)因为J

(6)因为［(冽由尺度变换及卷积的性质可知，爪网带

限于2母，因此最大抽样间隔为2口；

第四章

4.4求下列信号的拉氏变换，并注明收敛域。

eZ7(T)⑶6(f)-⑴⑸6飞(+2)

⑴

fe~^+]]'dt=----,Re[s]<-1

F(5)=「e~lU(-t}e~s,dt=

解：⑴$54-1

F(s)=£[3(t)-e-2'U(t)']e-s,dt=l--^,Re[.v]>-2

⑶

e2(s+2]

F(s)=[eT+2ua+2”7力=/

:e"力,Re[s]>-1

⑸5+1

4.5求下列信号的单边拉氏变换。

⑵23⑺-3e-W⑺⑷e-U⑺-e«2)u(”2)

(6)(""⑺

(8)U⑺-2U"l)+U(f-2)

(10)d)(12)。-cosMef'U(f)

32s+17

23⑺-3e-7'U(f)c2-

解：(2)s+75+7

(4)

(iv)u(f)

5+15(5+1)

(6)

U(7)_2U(f_l)+U(f-2)c-(l-2e-'+e-2s)=

(8)

(⑹(I)U(一T

(]-cosa(D一1s+/3

s+B(s+〃)2+a2

(12)

4.10求下一列函数的拉氏逆变换f（t）o

s'+d+i

⑵（s+l）（s+2）

(4)5s2

ss+5

(6)G+2)(S+4)s($2+2s+5)

(8)

s+3

(⑹(s+2)(s+l)

S3+52+1c4s+5

=s-2+---------------

解：⑵首先,(s+l)(s+2)(s+l)(s+2)

4s+5,4s+54s+5

=A+9=1,A==3

然后令(s+D(s+2)4=------

s+1s+2,其中s+2s=-l5+1s=-2

.v3+.V2+113

=5-2+-----1------

—必（5+1）（5+2）5+15+2十日

因此,八,,于是

/⑴=阳f)_26(。+e-'U(f)+3e-”U«)

(4)因为55s,由时移特性即得55

s4A2xs.As.

7T77-----TT=■>------^7A,=-------=-l,A=-------=2

⑹令(S+2)(S+4)S+2S+4,其中S+4、=_2$+2=4

_______s______।___-_1______2__

因此(s+2)(-4)-s+2s+4,从而/(，)=(265一"2，”(，)

s+5_A,A2(S+1),A

-十------------十----3--------

⑻令sl+2s+5)----s卜+炉+22(S+I『+22,其中

s+5s+5_14(s+l)A3

4\+2S+5J,因此sl+2s+5厂J(s+l)2+2#(s+l)2+22,通分后得

s+5(4+1)5-+(4+4+2)5+5

+2s+5)s(-+2s+5)

,比较分子的各项系数，得

s+5_1(s+1)

4=T&=0,故水2+2S+5)X[S+1)2+22,从而

/(r)=(l-e-/cos2t)U(r)

__=^L_+^^+^L_+^

(⑹令(s+2)(s+l)3s+2(“if(s+l『s+1

s+3

所以(s+2)(s+D

从而

/⑴=-e-2'U(f)+(f2-f+l)e-'U(/)

4.16由时域卷积定理求下列信号的卷积。

2，

⑴工(。=坦⑺,f2(t)=e-U(t)

(4)1”)=矶"力:(f)=u(f+3)

(7)工⑺=U(f)—U(f—4),fHnmU(t)

解：⑴设工⑺“片⑶’人⑴“"⑶，则”⑴一$2，与("一$+2,由卷积定理,

/⑴*力⑺"耳(s)居(s)=］百

I人作部分分式展开，有

1=4+—+A

25+2

(s+2),其中

1111

AA2

s+2.s=02s+2(s+2)4

5=0.v=0

A2=41

s=-24

1_1/2]T/4।1/4

(2一匚〜

因mu此，/、s+2)7sss+2,所以

/W)*&(f)=3u⑺-；〃(，)++-汨⑺

(4)设力(，)=U(〃记〃，)=小)*/2(。，>(/)=/()*力”那么〃f)=y(/+3)。下面先求y”

/、(5+1)"，/、1

设工(f)»E(s),力⑴1居(s)则“上F-，片⑻二,由卷积定理,

)")—6($)招(5)=^^-、=6+提卜因为»"(')+"⑺所以

1

ya)=”T)9P"l)+(，T)U(，T)

，从而

〃f)=y(f+3)=g(f+2)2u(f+2)+(f+2)U(f+2)

=(|r+3/+4)t/(/+2)

1―4s__

+‘鸟(s)=鼻，由卷

⑺记〃f)"(f)*/2(f),设工(f)c”(s),人”)一尸2(5),则*(')=

积定理可知

兀ABs+C

/(，)“尸(s)=K(s)尸2(s)=----=-------1----------------

2222)S$2+/

SS+%S5~+万),则

')，4TJ

工(S?+)2)+s(&，+c)(1、2

—FB5~+Cs+7C

71171_兀I万)

A=,2/991

,2SS+7TS(/+"sis+7t~

S~+7T'-'=071,将上式右边通分，有,比较分

B-_■C=0F(5)=^^](l-e"4、)

子的各项系数，得兀,因此Ns"),于是

0t<Q

/(/)=—(l-cos^/)t/(/)--[l-cos^(z-4)]t/(f-4)=<—(1-cos/r/)0<r<4

0t>4

4.20已知某LTI系统的阶跃响应g")=e'U(f),若系统的输入/(')二.""-2),求该系统的零状态响应y，(f)。

解:设g⑴-G(s),则G(s)=+,易知G⑶f(s)

因此系统函数

")=sG(s)=W；又设f(r)cf(s),力⑺-小)，因为

2s+1

=2)=("2)U(f-2)+2U(-2),所以Rs)e~2s

,2

,故

%(f)=[l+e+2[u”2)

4.27已知系统的微分方程为)'(，)+3)'")+2)«)=/1)+3/(。，求在下列两种情况下系统的全响应。

⑴/⑺=u(，),y(O-)=ty(o-)=2

⑵/(，)="%(，),y(0-)=1,y(0-)=2

解：⑴

设/(f)—尸卜)，y(s),则"s,对微分方程两边取拉氏变换，有

s2y(s)_M(r)_y'((r)+3[y(s)—y((r)]+2y(s)=(s+3)F(s),代入初始条件与仆S)

y(s)=,-5+s+3

s~+3s+2s(s~+3s+2)

、人作部分分式展开，得

35

y(s)=R+二--三y(f)=[；+2eT