选修一《双曲线及其标准方程》复习与同步训练（含答案解析）

《3.2.1双曲线及其标准方程》考点复习

【思维导图】

平面内与两个定点A,Q的距离的差的绝对值等于常数

(小于1鸟鸟1且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.

“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支

定义

若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线

常敬等于|行£「，其余条件不变，则动点轨迹是以A，片为端点的两条射线(包括端点)

常教大于|丹片|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在

性质

双

曲

线

(T)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2'也DU通径.

(2)与双曲线工-《

1(^>0<6>0)有共同渐近线的方程响示为7W=。0)

//ra1tr

(3)双曲战的焦点到其新近线的距商为b

(4)若。是双曲线右支上一点，&.6分别为双曲线的左、右焦点，

秒杀技巧

焦点一角形死尸当NF//产以，根据定义及余弦定理，

2b2b1gb2

国推导出|PE||P£|=

1-cosatan^

■利用焦点三角形两底角”/来表示：，「串器j

【常见考点】

考点一双曲线的定义

【例11(1)到两定点耳(一3,0),6(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹为()

A.椭圆B.两条射线C.双曲线D.线段

22

(2)已知双曲线C：匕一工=1的上、下焦点分别为A,居，点P在双曲线C上，若

25144

阀|=14,则归用=()

A.38B.24C.38或10D.24或4

【一隅三反】

1.已知”(一3,0),。(3,0),|「网一|印|=6,则动点尸的轨迹是()

A.一条射线B.双曲线右支C.双曲线D.双曲线左支

2已知平面中的两点耳(-2,0),6(2,0),则满足｛加||阿用一眼周=1｝的点M的轨迹是

()

A.椭圆B.双曲线C.一条线段D.两条射线

22

3.双曲线3一4=1的左右焦点分别为6,匕点在尸双曲线上，若|9|=5,则归曰=

()

A.1B.9C.1或9D.7

考点二双曲线定义的运用

【例2】(1)已知双曲线二一匕=1，直线1过其左焦点耳，交双曲线左支于A、B两点,

m7

且|AB|=4,F?为双曲线的右焦点，AA3K的周长为20,则m的值为()

A.8B.9C,16D.20

2

(2)设耳、鸟分别是双曲线=1的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且

31P用=4|「骂则△尸可居的面积等于

A.573B.2MC.46D.3而

【一隅三反】

1.已知《，鸟是双曲线f一V=机(m>0)的两个焦点，点P为该双曲线上一点，若

尸耳_1尸鸟，且|P耳|+|P&=26,则用=()

A.1B.y[2C.73D.3

22

2.已知双曲线c：点-髭=1的左右焦点分别为6,6，尸为c的右支上一点，且

则的面积等于

\PF2\=\F}F2\,

A.24B.36C.48D.96

22

3.已知点/>是双曲线二一二=i上一点，6,8分别为双曲线的左、右焦点，若△耳「工

84

的外接圆半径为4,且玛为锐角，则|以讣归目|=()

A.15B.16C.18D.20

22

【例2-2】方程广万—出=1,(%eR)表示双曲线的充分不必要条件是()

A.攵>2或%<一2B.k>1C.k>3D.左>1或Z<—1

【一隅三反】

22

1.若m为实数，则“1<加<2”是“曲线C：三+^^=1表示双曲线”的()

mm—2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

2.若左wR,则％＞一3是方程'+二一=1表示双曲线的（）

k—3攵+3

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

fV2

3.若曲线上+一一=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数制的取值范围为（）

m1-m

A.m<\B.m<0C.--<m<0D.-<m<1

22

考点三双曲线标准方程

【例3】在下列条件下求双曲线标准方程

（1）经过两点（3,0）,（-6,-3）；

（2）a=2下,经过点（2,—5）,焦点在轴上.

（3）过点（3,-亚）,离心率e=当

（4）中心在原点，焦点&在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P（4,-V10）.

【一隅三反】

1.焦点在x轴上,实轴长为4,虚轴长为40的双曲线的标准方程是（)

9

2222C/九12

A.工上=1B.三-汇=1D.—匕=1

41212448161648

X2r22

2.已知离心率为2的双曲线—1（4＞0力＞0）与椭圆］+2=1有公共焦点，则

a4

双曲线的方程为（)

2222

A.工-上=1B.土-匕=1

412124

一上=1

C.D.---/=1

33

y23

3.已知双曲线［=l（a＞0力＞0）的一条渐近线方程为y=jx,P为该双曲线上一

a~一炉

点，耳，用为其左、右焦点，且公1尸尸2,|P6|-|P闾=18,则该双曲线的方程为（）

22222222

A.±-21=1B.匕-匕=1C.工-匕=1D.又工二1

32181832916169

,22

4.已知厂（一5,0）是双曲线二y=1（“〉00>0）的左焦点，过户作一条渐近线的垂线

a

与右支交于点P,垂足为A，且|PA|=3|A月，则双曲线方程为（）

,222

AT—一y=iB.土-匕=1

205520

22

XT

cD.匕=1

169916

考点四渐近线

2

【例4】已知耳、外分别为双曲线£：［=1的左、右焦点,点〃在E上,

a~下

闺司8M：阳M=2：3：4,则双曲线E的渐近线方程为（)

+立

A.y=±2xB.y=±—xC.y=土百xD.y

2一3

【一隅三反】

22

1.双曲线--二=1的渐近线方程为)

24

B.y=±*

A.y=±y/2xC.V=±-XD.y=±2x

2

2.双曲线3f—y2=3的顶点到渐近线的距离是

X222

3.己知双曲线G:1—y=1（a>0力>0）以椭圆:?+看=1的焦点为顶点，左右顶

a~

点为焦点，则G的渐近线方程为（）

A.VJx±y=（）B.x+\/3y-0C.2xiy/3y=0D.>/3x±2_y-0

r22

5.己知双曲线。：彳一/=1（4>0/>0）的左、右焦点分别为耳（一6,0）、月（6,0）,点

M在双曲线C的右支上，点N（（）,4）.若△VN6周长的最小值为4a+4,则双曲线C

的渐近线方程为.

《3.2.1双曲线及其标准方程》考点复习答案解析

考点一双曲线的定义

【例1】（1）到两定点耳（一3,0）,瑞（3,0）的距离之差的绝对值等于6的点河的轨迹为（）

A.椭圆B.两条射线C.双曲线D,线段

22

（2）已知双曲线~二=1的上、下焦点分别为耳，F,,点P在双曲线C上，若

25144'

愿=14,则归耳|=（）

A.38B.24C.38或10D.24或4

【答案】（1）B（2）B

【解析】（1）•••到两定点以（-3,0）、F2（3,0）的距离之差的绝对值等于6,

而IFF21=6,.•.满足条件的点的轨迹为两条射线.故选B.

（2）由题意可得a=5,b=n,c=13,因为|pg|=14<a+c=18,所以点P在双曲

线C的下支上，

则|尸用一|尸闾=2。=10,故阀|=24.故选:B.

【一隅三反】

1.己知〃（一3,0）4（3,0）,|尸叫一|/训=6,则动点尸的轨迹是（）

A.一条射线B.双曲线右支C.双曲线D,双曲线左支

【答案】A

【解析】因为俨M|—|PN|=6=|MM，故动点p的轨迹是一条射线，其方程为：y^O,x>3,

故选A.

2已知平面中的两点1(-2,0),6(2,0),则满足｛M|也闻一|“周|=1｝的点M的轨迹是

()

A.椭圆B.双曲线C.一条线段D.两条射线

【答案】B

【解析】由题意得：||5|-|岫||=1,且G8=4,因为1V4,因此符合双曲线的定义，

故点M的轨迹是双曲线，故选：B.

22

3.双曲线?一4=1的左右焦点分别为耳，K，点在p双曲线上，若俨周=5,则归周=

()

A.1B.9C.1或9D.7

【答案】B

22

【解析】双曲线———=1的a=2,b=25/3,c=,4+12=4，

412

点在P双曲线的右支上，可得仍用2。+。=6,

点在P双曲线的左支上，可得伊42。一。=2,

由仍用=5可得p在双曲线的左支上，可得归闾一归周=方=4,即有|P周=5+4=9.

故选：B.

考点二双曲线定义的运用

V2V2

【例2】(1)已知双曲线土—2L=1,直线1过其左焦点6,交双曲线左支于A、B两点,

m7

且|AB|=4,F2为双曲线的右焦点，入48工的周长为20,则m的值为()

A.8B.9C.16D.20

2

(2)设6、鸟分别是双曲线——1_=1的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且

3归G|=4归6|,则△/有居的面积等于

A.573B.2A/10C.4A/5D.3屈

【答案】(1)B(2)D

【解析】(1)由已知,|AB|+|AF2|+|BF2|=20,又|AB|=4,MlAF2|+|BF2|=16.

据双曲线定义,2a=|AFz|-|AFj=|BFj-所以4a=|AFz|+|BF/-(|AFj+|BF/)

=16-4=12,

即a=3,所以m=a2=9,故选B.

⑵设IP41=4x,|PF21=3x,则由双曲线的定义可得|尸耳|-1产汁|=4x-3x=x=2a=2,

故|尸耳|=8,|「鸟|=6,又忻闾=4,

36+64—167J15

故cos〃PK==、,故sinN6P8=半，

2X0X6O8

所以凡的面积为_Lx6x8x正=3岳.故选：D.

28

求双曲线中焦点三角形面积的方法

(1)方法一：

①根据双曲线的定义求出||必|-|必||=2a;

②利用余弦定理表示出I阳I,I咫I,IA周之间满足的关系式；

③通过配方，利用整体的思想求出I依H期I的值；

④利用公式&赭&=权|依图IsinZE出求得面积.

(2)方法二：利用公式=/用&*以(v为尸点的纵坐标)求得面积.

i____________________________________i

【一隅三反】

1.已知耳，工是双曲线X?—V>0)的两个焦点，点尸为该双曲线上一点，若

且归制+|P用=26,则"?=()

PF}IPF2,

A.1B.72c.V3D.3

【答案】A

22

【解析】双曲线V-y2=m(m>0)化为标准方程可得二一匕=1即

mm

=y[m,b=Vm,c=」2m

由双曲线定义可知俨耳|一归用|=2五,所以归耳|2_2归耳卜归周+旧图2=4加，

又因为|「制+|尸用=26,所以|P耳『+2\PF]-\PF2\+\PF2f=12,

由以上两式可得|P6f+1尸用2=2加+6,由尸大，得|p用2+।pE「=3=8m,

所以8机=2〃7+6,解得利=1,故选:A.

22

2.己知双曲线C：^-一上=1的左右焦点分别为《，居，尸为C的右支上一点，且

916

\PF2\=\FiF2\,则APg的面积等于

A.24B.36C.48D.96

【答案】C

【解析】：双曲线C：卷-靠=1中a=3,b=4,c=5耳（一5,0）,6（5,0）

：归国=|6图•••归制=2"+户闾=6+10=16

22

作PK边上的高AF2,则A6=8/.AF2=710-8=6

“66的面积为3尸6卜|4用=（乂16乂6=48故选C

22

3.已知点尸是双曲线二—二=1上一点，耳，居分别为双曲线的左、右焦点，若△耳尸工

84

的外接圆半径为4,且NKP鸟为锐角，则|刊讣|叫|=（）

A.15B.16C.18D.20

【答案】B

【解析】依题意，a—2^2,b=2、c=J8+4=2>/3.

在三角形中，K|=2。=48，由正弦定理得•.忻,=2X4,

sinAFXPF2

即,48=8,sinN/Pg=走,由于鸟为锐角，所以/片尸鸟=工.

sinN耳尸其23

根据双曲线的定义得|啊HP闾I=24=4夜.

在三角形△耳尸居中，由余弦定理得|£用2=1尸用2+上用2—2.忙用.|以讣COSq,

即48=归了『+仍闻2Tp耳|伊闾,

即（附|-|P7<+|阳忖周=48,

即32+|n讣归闾=48,所以|刊讣|「闾=16.

故选：B

22

【例2-2】方程」-----匚=1,（%eR）表示双曲线的充分不必要条件是（）

k2攵+2

A.攵>2或攵<-2B.k>1C.k>3D.攵>1或%<-1

【答案】C

【解析】方程』——匚=1表示双曲线，可得依-2）依+2）>0,解得4>2或Z<—2;

k-2k+2

22

记集合A=伙|左<-2或％〉2｝；所以方程—----匚=1表示双曲线的充分不必要条件为集

k-2k+2

合A的真子集，

由于伙|女>3｝。4,故选：C.

【一隅三反】

22

1.若m为实数，则"1<〃?<2”是“曲线C：三+工=1表示双曲线”的（）

mm-2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若方程上+上=1表示双曲线，

mm-2

则机（加-2）<0,得0</找<2,

由1<〃?<2可以得到0<〃?<2,故充分性成立；

由0〈根＜2推不出l＜m＜2,故必要性不成立;

V-2V2

则“1＜加＜2”是“方程土+^^=1表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A.

mm—2

22

2.若ZeR,则％＞—3是方程x上一+v」一=1表示双曲线的（）

k—3Z+3

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

尤2V2

【解析】因为方程一匚+3—=1表示双曲线，

k-3k+3

所以（左一3）（左+3）＜0,解得-3＜3,

因为（-3,3）（-3,小），

22

所以左＞一3是方程「一+工=1表示双曲线的必要不充分条件,

k-3k+3

故选：B

22

3.若曲线工+上=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数机的取值范围为（）

m\-m

A.m<\B.77?<0C.—<〃？<0D.-<m<l

22

【答案】B

x2222

【解析】把曲线二十:=1转化为上一一—=1,

m\-m\-m-m

因为曲线表示焦点在y轴上的双曲线,

\-m>0m<1

所以L"。‘叫解得,"6

故选：B.

考点三双曲线标准方程

【例3】在下列条件下求双曲线标准方程

（1）经过两点（3,0）,（-6,-3）；

(2)。=26，经过点(2,-5),焦点在y轴上.

⑶过点(3,-V2).离心率e=更；

2

(4)中心在原点，焦点F”F,在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4,-VIO).

22222yl2

【答案】(1)-二=1;(2)=1(3)“-〒=1；(4)-二=1.

932016T66

4

22

【解析】(1)由于双曲线过点(3,0),故a=3且焦点在x轴上，设方程为代

36ay22

入(-6,-3)得二一二=1,解得〃=3,故双曲线的方程为L—v21=1.

9h293

y2X2_

(2)由于双曲线焦点在y轴上，故设双曲线方程为/厂曾.将点(2,-5)代入双

(2石)

(-5『22

曲线方程得面/一记=，解得〃=16,故双曲线的方程为工-二=1.

2016

x2

(3)若双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为I(a>0,b>0).

一炉

92

因为双曲线过点(3,一拉)，则一—二=1.①

ab

由①②得a?=l,b2=-,故所求双曲线的标准方程为“一了一.

4

4

22

若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为当一0=1(a>0,b>0).

a'b~

17

同理可得b?=——，不符合题意.

2

„2_21=1

综上可知，所求双曲线的标准方程为一T一.

4

⑷由2a=21）得@=1）,所以V21所以可设双曲线方程为x2—y2=

入（AWO）.因为双曲线过点P（4,-V10）.所以16-10=X,即入=6.

22

所以双曲线方程为六一y=6.所以双曲线的标准方程为三一匕=1.

66

I——------------------------------------------------------

：用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为:

【一隅三反】

1.焦点在工轴上,实轴长为4,虚轴长为的双曲线的标准方程是（）

AX2y22222丫2A,2

x"y

n.-------------=1B.£-匕=1rC.=1AD.---匕=1

41212448161648

【答案】A

【解析】因为双曲线的实轴长是2。，虚轴长是2。所以2a=4,2b=46所以a=2力=2百

22

所以双曲线的标准方程是二一匕=1故选：A

412

X2y222

2.己知离心率为2的双曲线）1（。＞0,。＞0）与椭圆彳+?=1有公共焦点，则

a-

双曲线的方程为（）

A"2]22

n.-------------=1B.土-21=1

412124

22

C.f-匕=1D.---丁=1

33

【答案】C

2222

【解析】•••双曲线斗一2r=1（a>0/>0）与椭圆亍+3=1有公共焦点由椭圆

22

—+—=1可得0?=8—4=4.•.c=2•双曲线离心率e=£=2,

84a

・。=1,b2=c2—a2=4—1=3

二双曲线的方程为：/_汇=1故选：c

3

r2v23

3.己知双曲线与一方=1（.>0步>0）的一条渐近线方程为y=：x，P为该双曲线上一

点，G，K为其左、右焦点，且PK_LPB，|尸耳|・归闾=18,则该双曲线的方程为（）

22222222

A.-匕=1B.-乙=1C.--一匕=1D.—-^-=1

32181832916169

【答案】D

,_____3b3

【解析】设c=^/7寿，则由渐近线方程为y==x，

4a4

J||P凰TP周|=2a,

又||P用2+附『=闺闻2,，

所以W用阀*周=44，

2

\\PFf+\PF2f=4c.

两式相减，得2|尸耳卜|尸周=4/，

而归耳卜|尸闾=18,所以户=9,

所以。=3,所以c=5,。=4,

故双曲线的方程为二-二=1.

169

故选：D

22

4.己知F（一5,0）是双曲线鼻—==1（。>0,。>0）的左焦点，过F作一条渐近线的垂线

与右支交于点P,垂足为A，且|PA|=3|A月，则双曲线方程为（)

9292

A.匚JB.

205520

C-“2V

"=1D.---------------=1

916

【答案】D

【解析】设双曲线右焦点为耳，连接2片,

b

左焦点F（-c,0）到渐近线y=—"X的距离为b,

\Ja2+b2

故|网=36，|P尸|=4。

b

在AEAO中，cosNAFO=g由双曲线定义得|尸制=4匕一2«,

在AP"耳中，由余弦定理得（46—2a）2=（46『+（2c）2—2X（4Z?）X（2C）X2,

整理得16b2-\6ab=4（c2-a2）=4Z?2,即3。=4a，

又/+/=25,解得/=9，/=]6,

22

双曲线方程为工-2-=1.

916

故选:D.

考点四渐近线

22

【例4】已知6、居分别为双曲线—的左、右焦点，点M在E上，

a"

阳闾gM：国网=2：3：4,则双曲线E的渐近线方程为（）

A.y=±2xB.y=±gxC.y=土百尤D.y=±#

【答案】C

22

【解析】由题意，£、工分别为双曲线E：三一2=1的左、右焦点，点M在E上,

且满足闺闻取0]:国闾=2:3:4,可得忻闾=2C,16M=3C,闺M|=4C,

由双曲线的定义可知2a=优M-忻M=4C-3C=C,即c=2z，

又由h一/=扃,所以双曲线的渐近线方程为y=±Jlr•故选：C.

【一隅三反】

22

1.双曲线土-二=1的渐近线方程为（）

24

A.y=+y/2xB.y=土也XC.y=+-xD.y=±2尤

22

【答案】A

2222

【解析】双曲线工一二=1的渐近线方程满足工一二=0,整理可得了=±&%.故选:

2424

A.

2.双曲线3/—J?=3的顶点到渐近线的距离是.

【答案】且

2

2

【解析】双曲线的标准方程为必―1_=1,故双曲线顶点为（±1,0）,渐近线方程为

y=土Jir.点（1,0）到直线Gx-y=0的距离为日.故填兴

x222

3.已知双曲线c:J1（。＞0,。＞0）以椭圆:?+《=1的焦点为顶点，左右顶

点为焦点，则G的渐近线方程为（）

A.土y=（）B.x+\/3y-0C.2xiyfiy=0D.\/3x+2y~0

【答案】A

【解析】由题意知G的焦点坐标为（?20）,顶点为（±1,0）,故渐近线方程为y/3x±y=0.

故选:A.

22

5.已知双曲线。:三一为=1（。＞0/＞0）的左、右焦点分别为6（—6,0）、6（6,0）,点

Af在双曲线。的右支上，点N（0,4）.若△MN6周长的最小值为4旧+4,则双曲线C

的渐近线方程为.

【答案】y=+2A/2JC

【解析】△MA/的周长为

|仰|+|岫|+|岫|=|肱7|+%+|摩|+|距；]

N|N耳|+2a+|N用=2。+4拒=4而+4,

故a=2,而c=6,故bujd-a2=4"所以双曲线C的渐近线方程为旷=±20%.

故答案为：y=±20x

《3.2.1双曲线及其标准方程》同步练习

【题组一双曲线的定义】

1.平面内，一个动点P,两个定点耳，尸2,若归用一归马|为大于零的常数，则动点P的

轨迹为（）

A.双曲线B.射线C.线段D.双曲线的一支或射线

22

2.设P是双曲线^--2=1上的动点，则P到该双曲线两个焦点的距离之差为（）

43

A.4B.2&C.2>/5D.277

3.已知点件（0,-13）,F2（0,13）,动点P到Fi与Fz的距离之差的绝对值为26,则动点P

的轨迹方程为（）

A.y—0B.y=0（|x|213）C.x=0（|y]213）D.以上都不对

4.一动圆与两圆x、y2=l和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）

A.圆B.椭圆

C.双曲线的一支D.抛物线

22

5.若双曲线氏^二=1的左、右焦点分别为片,凡，点P在双曲线E上，且|助|=3,

91611

则归引等于（）

A.11B.9C.6D.5

6.双曲线/-叵=』的左右焦点为件,&,过点R的直线1与右支交于点P,Q,若|PF』=|PQ|,

罩

则|PFz|的值为（）

A.4B.6C.8D.10

【题组二双曲线定义的运用】

22

rv

1.已知双曲线二-乙=1上有一点M到右焦点耳的距离为18,则点M到左焦点F2的距离

259

是（）

A.8B.28C.12D.8或28

r22

2.已知方程-------—=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取

m+n3m-n

值范围是

A.(-1,3)B.(-1,73)C.(0,3)D.(0,6)

3.“一3＜加＜5”是“方程一口---匚=1表示双曲线”的（）

5-mm+3

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.方程—+上―=1表示双曲线，则k的取值范围是（)

1+Al-k

A.-1<Z<1B.k>QC.^>0D.左>1或攵<一1

5.方程」—+1—=1表示双曲线的一个充分不必要条件是()

m-2777+3

A.-3<m<0B.-3<m<2

C.-3<m<4D.-l<m<3

2y2

6.已知曲线c的方程为一—=l（ZeR）,则下列结论正确的是（)

k2-26-k

A.当k=8时，曲线C为椭圆，其焦距为4+V15

B.当攵=2时，曲线C为双曲线