《概率论期末复习资料》概率论（三版）

复习随机事件的主要概念

为了帮组大家理解所学概念，现把第一节的有关结论与事件的关系和运算的对应情况列举如下：符号集合论概率论全集样本空间：必然事件空集不可能事件中的点（或称元素）样本点单点集基本事件的子集A事件A集合A包含在集合B中事件A包含于事件B中集合A与集合B相等事件A与事件B相等集合A与集合B的并事件A与B至少有一个发生集合A与集合B的交事件A与事件B同时发生集合A的余集事件A的对立事件集合A与集合B的差事件A发生而B不发生集合A与B没有公共元素事件A与B互不相容（互斥）§12随机事件的概率

一、概率和频率解释

二、从频率的性质看概率的性质

三、概率的公理化定义

四、概率测度的其他性质

从直观上来看，事件A的概率P(A)

是指事件A发生的可能性?P(A)如何确定，应具有何种性质？?抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？事件的概率概率是事件发生可能性的数量指标。即在多次重复后，某结果出现的比率。概率应有如下特征：(1)是事件本身固有的，可通过大量试验来检验。(2)符合一般常情，可能性大时，概率也大。一般叙述可能性时用百分比。以后为方便更多地用0到1之间的小数。即0≤P(A)≤1且 P(Ω)=1 P(φ)=0历史上概率的三次定义（3）公理化定义（1）统计定义（2）古典定义概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出事件的频率在n次重复试验中,若事件A发生了nA次,则称nA为事件A发生的频数,称为事件A发生的频率,记为：

频率一、概率和频率解释如:

DeweyG.统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率,发现各字母出现的频率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.0006频率的性质(1)0

fn(A)1；(2)fn(Ω)＝1，fn()=0；(3)可加性：若AB＝，则

fn(A∪B)＝fn(A)＋fn(B).实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率.必然事件的频率为1，不可能事件的频率为0。

概率的统计定义：在相同条件下重复进行的n次试验中,事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动,

且随n越大摆动幅度越小,则称p为事件A的概率,记作P(A).对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便使用提示大量重复投掷一枚均匀硬币出现正面和反面的频率会接近一个稳定值1/2可见频率的稳定值与事件发生的可能性大小存在内在必然的联系一方面频率的稳定性说明事件发生的可能性大小确实是一种客观存在另一方面频率的稳定值对事件发生的可能性大小提供了经验解释

定义11(概率的直观定义)

随机事件A发生的可能性大小的度量(数值)称为事件A发生的概率记作P(A)

说明

一个事件A发生的可能性的大小——概率在经验上表现为大量重复试验中事件A发生的频率的稳定值因而频率的稳定值为概率的含义提供了一种经验上的直观但其本身并不是概率的本质不能作为概率的定义

一个事件的概率是由事件本身固有的、由其本质特征所决定的频率的稳定值是概率的外在的必然表现当进行大量重复试验时频率会接近稳定值因而频率可用来作为概率的估计就好比是测定概率的“尺子”随着试验次数的增加测定的精度会越来越高

提示同频率一样记事件A发生的概率为P(A)随着A取遍任意事件

P(A)则可视为定义在全体事件构成的集合即事件域F上的一个函数

二、从频率的性质看概率的性质

概率的性质根据概率的频率解释概率可视为频率的稳定值从而应具有频率的相应性质即(1)P()1(2)对任意事件A有P(A)0(3)对任意可数个两两不相容的事件A1

A2

An

有

我们注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质,在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义三、

概率的公理化定义

1933年，前苏联数学家柯尔莫戈罗夫在综合前人成果的基础上，抓住概率共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率论的发展奠定了理论基础.概率的公理化的定义(3)可列可加性:设

(2)规范性(1)非负性两两互不相容．设是给定的试验E的样本空间，对其中的任意一个事件A，规定一个实数P(A)，若P(A)满足：则则称P(A)为事件A的概率.

(1)不可能事件φ的概率为零,即P(φ)=0.(2)有限可加性：设A1,A2,…An是n个两两互不相容的事件,即AiAj＝,(ij),i,j＝1,2,…,n,则有P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)+…+P(An).

(3)可减性：若事件AB，则P(A－B)=P(A)－P(B)（4）单调不减性若事件AB，则P(A)≥P(B)四、概率测度的其他性质(5)互补性：P(A)＝1－P(A).(6)加法公式：对任意两事件A、B，有

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)

该公式可推广到任意n个事件A1,A2,…,An的情形.

（7）减法公式：A、B是两个事件，则P(A－B)=P(A)－P(AB)2，3是6，7特例

例110观察某地区未来5天的天气情况记Ai为事件“有i天不下雨”(i012345)已知P(Ai)iP(A0)(i12345)求下列各事件的概率

(1)5天均下雨(2)至少一天不下雨(3)至多三天不下雨

显然A0

A1

A5是两两不相容事件且

A0∪A1∪A2∪A3∪A4∪A5

从而1P()P(A0∪A1∪A2∪A3∪A4∪A5)

P(A0)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)

P(A0)P(A0)2P(A0)3P(A0)4P(A0)5P(A0)

16P(A0)

解

于是可求得

例110观察某地区未来5天的天气情况记Ai为事件“有i天不下雨”(i012345)已知P(Ai)iP(A0)(i12345)求下列各事件的概率

(1)5天均下雨(2)至少一天不下雨(3)至多三天不下雨

已求得

解

记(1)(2)(3)中三个事件分别为A

B

C则0得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，

例1AB=φ，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8，求B的逆事件的概率。所以，P（）=1-0.2=0.8解:由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)思考在以上条件下，P（A-B）=？例2:王敏捷参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求小王(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率(2)至少有一类问题能答出的概率(3)两类问题都答不出的概率解事件A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”(1)(2)(3)P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6，求P(A-B).2.P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(Ω-AB)

1P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.1,所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.32P(Ω-AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]=1-0.7+0.3=0.6课堂练习解：§13古典概型与几何概型

一、

古典概型二、

几何概型

古典概型的几类基本问题

乘法过程：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法复习：排列与组合的基本概念

加法过程：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。

有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列,nnnn共有nk种排列方式.

无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.nn-1n-2n-k+1

组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k个，取法共有抽球问题设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。引例解:设A-----取到一红一白答:取到一红一白的概率为3/5一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。说明一、

古典概型

这两个条件在数学上可表述为

(1)样本空间有限记{1

2

n}

(2)每一个基本事件的概率相同即

P{1}P{2}

P{n}

要计算事件发生的可能性，对随机试验有一定要求。(1)每次试验只有有限个可能的试验结果。(2)每次试验中，各基本事件发生的可能性相同。这种试验称为古典概型试验。(1)样本空间有限记{1

2

n}

(2)每一个基本事件的概率相同即

P{1}P{2}

P{n}

古典概型古典概型是指满足下面两个假设条件的概率模型

古典概型的概率计算公式设是古典概型样本空间则对任意事件A有分球入盒问题将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：某班级有n个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？?分组问题30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组一般地，把n个球随机地分成m组(n>m),要求第i组恰有ni个球（i=1,…m)，共有分法：随机取数问题从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率(2)求取到的数能被8整除的概率(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率解:n=200,nA3=[200/24]=8nA1=[200/6]=33,nA2=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25

古典概型的优点

古典概率可直接按公式计算，而不必进行大量的重复试验。1.掷一枚硬币，出现正面的概率解：设硬币是均匀的只有正、反面两个基本事件。若A表示出现正面。解：一般地每位数字有10种选择。基本事件总数是106。事件A表示找到张某，则A只有一个基本事件。2.随意拨一个六位电话号码，正好找到朋友张某的概率。课堂练习3.袋中装有5个白球，3个黑球。从中任取两个球，计算取出的两个球都是白球的概率。解：组成试验的基本事件总数事件A表示取到两个白球，基本事件数故另解：若认为取出的两个球有先后次序，则基本事件总数为注意，若认为是取出一个，放回去后再取一个。则基本事件总数是8×8，A的事件数为5×5(1)七个数字全不同的事件A1(2)不含1与0的事件A2(3)两个偶数五个奇数的事件A3解：基本事件总数为107=0.06048=0.20972=0.1644.从0到9十个数字种任取一个，取后放回，再取。先后共取七个数字。求下述事件的概率。关于概率的一些解释(2)概率不会自动“平衡”硬币连现10个正面，下一次是什么？打牌手风很顺，该继续还是停止？连生几个女孩，想生男孩，该继续生吗？(1)古典概率要求很严格.特别是基本事件等可能，这一点很难做到。随机事件在一次试验中是否发生不确定，如硬币真的是均匀的吗？但在大量重复试验中，它的发生却具有统计规律性。(3)对概率的错误估计a、你认为自己买彩票会中奖吗？b、你害怕爱滋病吗？对可怕后果的担忧使人过高估计概率。c、一对夫妇要去买点东西，把婴儿单独留在家中？还是带在汽车上和自己一起去？因为不可控制而错估概率。d、你认为自己买彩票会赚钱吗？过度自信使人低估了风险。说明二、

几何概型

几何概型在一个面积为S()的区域中等可能地任意投点这里“等可能”的确切含义是点落入中任意区域A的可能性大小与区域A的面积S(A)成正比而与其位置和形状无关将“点落入区域A”这一事件仍记为A则有

P(A)tS(A)

其中t为常数于是由

P()tS()1上式定义的概率通常称为平面区域上的几何概率

二、

几何概型

几何概型在一个面积为S()的区域中等可能地任意投点将“点落入区域A”这一事件仍记为A则有

P(A)tS(A)

其中t为常数于是由

P()tS()1

例116某人午觉醒来发觉表停了他打开收音机想听电台报时设电台每正点时报时一次求他(她)等待时间短于10min的概率

以分钟为单位记上一次报时时刻为0则下一次报时时刻为60于是这个人