中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第5章课后习题详解

高等数学一第5章课后习题详解

课后习题全解

习题5-1

★★1.利用定积分的定义计算由抛物线y=f+l,直线x=a,x=6(6>a)及横轴所围成的图形的

面积

知识点：定积分的定义及几何意义

思路：根据求定积分的三步骤做

解:将[a,b]分成〃等分,取白(i=1,2…，〃)为第，个小区间[a+口S—a),a+2S—a)]的右端

nn

一Ab—a匕,b-a

点,则A=Ax’=----,4=a+z----,

nn

显然，4-00〃一»8,于是根据定积分的几何意义,该图形面积

..v^r/-b-a..,b-a

A=[ydx=lim之y©)〃limy[(«+i——)2-+l]——

"T8篁

i=0nn

..b-ae「2ib—ac-3—。)一.21

=hm----\[a+l+-----2ai+-~

is〃普nn~

b-a/2八b-a.R,(b-a)2-A

=lim----+r1)+---------2a\i+-~~

ennz=ln~/=,

..,、r，,2a(6-a)〃(〃+l)(b-d)21.....

hm{(3/-a)[a~+1H-----------------1---------n(n+1)(2〃+1)]}

…n-2n6

=3—a)limlY+\+a(b_a)(1+1)+也-")-(1+i)(l+2)]

〃f0°n6nn

、r2112(b—a)2[b，—a'

=(/7b-a)[a+l+a-ba+—-——]=——-——+(。-a).

★★2.利用定积分的定义计算下列积分：

知识点：定积分的定义

思路：根据求定积分的三步骤做

a

(1)xdx(a<b).

Ja

解:易见函数/(x)=xwC[a,b],从而可积，将分成〃等分，则4=八勺=^-

于是；I-00〃一»oo,；取£«=1,2・・・，〃)为第，个小区间的右端点，则

b—a

&=a+i------J=0,1,2,-

n

所以「xdx=limV/(§)A%j=limV(tz+z---)---

J"3Mnn

=(b-a)\im{—[na+-——(0+1+2+・・•+〃-1)]}

,T8nn

,、[.b-ab-a

=(zb-a)hm[ra+—；----------]=(zb/-a)hm[ar+-------(Z11——)]

"->82〃-82n

=(b-a)(a+=^-(b2-a2).

22

(2)fInxdx

解:用分点％=e"(i=0,l，…，a)划分区间[l,e]：

=x.-x._j=en-en,i=1,2,•••,/!,取§是区间右端点,

ii•

则刍=x=en,/(《)=ln(^)=lne"=-,

tn

作和，并取极限得：[lnxdx=lim£/eL=lim£—(e〃-e〃)

n：i_n:_1U1上

-1(l—e)、「1/1、

=e-hrm/—e〃=e-lrim-------=e-(Zl1—e)hm—(----)

〃T8仁〃〃T8〃八-、28n]-

11(l-e”)1一。〃

x0

记g(x)=^----,则当x->0时，g(x)是°型的，由洛必达法则，

Y1

有lim-----=lim——-=-1

x->o1—，x->o—/

从而，当n—>+8时，有lim------=-1,故

n,-

l-en

jInxdx=e+(1-^)=1.

★3.利用定积分的几何意义，说明下列等式：

(1)[2xdx=1.

Jo

知识点：定积分的几何意义

思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积

解:等式左边为直线y=2x与x轴和1=1三条直线所围成的面积，该面积等于;12=1=等式右边.

(2)sinxdx=0

J-”

解：等式左边为正弦曲线y=sinx与x轴在x=%&x=一万之间所围成的面积，其左右两边面积互

为相反数.

则sinxdx=(-A)+A=0=等式右边

j-产

★★4.用定积分的几何意义求，J(x-a)S-x)dx(b>0)的值.

知识点：定积分的几何意义

思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积

解:因为J(xa)(bx)-J(2)-(x2厂是以？)b-a

-为圆心，-----为半径的上半圆,

2

一―12几，b-a、27t(b-a)2

其面积为：S=一万厂=—(-----厂=----------

2228

由定积分的几何意义知：『-a)(b-x)dx=兀"8"，一.

1。+2P+…+

试将和式的极限lim-------------(p>0)表示成定积分.

***5.l，+,

W-MOn

知识点：定积分的定义

思路：根据定积分的定义推导过程可知,求和的极限公式可表示为定积分

解:lim"+2,：•••+〃°.=Hm匕(与+(知+…+(与］=lim1力昌。

”T8nl“fannnn…00n~{n

ri

设/(x)=xP,则用定义求解Jo/(x)dx为：

①、等分［0,1］为〃个小区间：—i=l,2,…〃，AXy=—

nnn

②、求和：取区间［---,一］上的右端点为刍，即刍=一，作和：/(f)Ax,.=—x—

nnni=li=lnn

'1〃i］1ni

③、求极限：呵E/©)M=limZ㈠°x-=lim-^(-)P

4To片f0片〃孔〃f°°〃片n

3

p+

nz8n,=|nJo

★★★6.有一河，宽为200米，从一岸到正对岸每隔20米测量一次水深，测得数据如下:

Xm宽020406080100120140160180200

ym深25911191721151163

试用梯形公式求此河横截面面积的近似值.

知识点：定积分的几何意义

思路：由定积分定义知：求定积分(曲边梯形面积)的第二步：

用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，即=「’f(x)dx,

若用小梯形面积近似代替小曲边梯形面积则为：-［/(X.)+/(x)］Ax,.X「'f(x)d。

2Jvi

解:积分区间［a,b］=［0,200］，并对该区间作io等分,则区间分点看(i=1,2,…，〃)及其对应的函数值

y恰如表中所示，第i段的梯形横截面面积：-(x,+x)x^^-

2n

:.此河横截面面积A«-~~—［―(y+%())+必+>2+…+%】=2330m

n20

习题5-2

★1.证明定积分性质:

⑴kf\x)dx=k［/(x)dx.(火是常数)

JaJa

知识点：定积分性质

思路：利用定义推导定积分的性质

证明：设/(x)在［a,0上可积，对任意的分法与取法，记

2=max{AxJ(i=1,2,…，几)

=>k

b广)

⑵1•dx=\dx=h-a

ada

知识点：定积分的定义

证明：因为/(x)=l,于是对任意的分法，有

g刊*1

Ax,=lim(Z?-a)=b-a.

1IO

★2.估计下列各积分的值:

(1)J；。?+l)dx

知识点：定积分性质

思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围

解：因为/及丁+1在区间［1,4］上单调递增，故2«/+1W17,XE［1,4］,

而区间长度〃一。=4—1=3,所以2x3=6＜］(x~+l)dx＜17x3=51.

即6K1，+1)公＜51

⑵101cx

知识点：定积分性质

思路；确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围

解：记/(x)=e,，先求出/(x)在［0』］上的最值，

由于/''(x)=e/2x=2xe'2>0,xe[0,l],所以/(x)在[0,1]上单调增加,

因此min/(x)=/(O)=e°=1,max/(x)=/(I)=el=e,B|J1<f(x)<e,

.ve[Oj]A€(O,1]

再由定积分的性质，得：1=「14x4「edx=e

JoJoJo

(3)|,xarctanxdx

忑

知识点：定积分性质

思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围

解：记/（工）=xarctan我,

因为f\x)=arctanx+----->0,XG（为瓜所以/（X）在单调增加

1+x

/(；)二arctan@=不

=>m=min/(x)=

V3V33673

M-min/(x)=/(V3)=V3arctanV3

「2X,

（4）----,dx

1+x2

知识点：定积分性质

思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围

rI—X2

解：令/（x）=1—7,因为当1<X<2时，/Xx）=-~十•<（）,

1+X（1+%-）

221_1

所以函数/（X）在区间［1,2］上单调减少，因此=R^T=M，/（X）max=

T+F-2

区间长度》一。=2-1=1,

所以dx<—.

fa2

⑸xexdx

Jo

知识点：定积分性质

解：令/(%)=xe\因为当一2<xv0时，(九)=(1+x)e\驻点为x=-1,

2

f(—2)=—2e-2j(_i)=_eTJ(0)=0,所以/(x)min=--J(x)max=0,

e

r-24

所以0«xexdx<^r.

Joe2

★★3.设f(x)及g(x)在［a,b］上,连续,证明：

⑴若在［。,目上，/(x)20,且J/(x)dx=0,则在［凡Z?］上，/(%)=0；

知识点：定积分性质

思路：用反证法，通过定积分的估值不等式得到矛盾结论来证明

证明：设玉)£(。,力)，但/(玉))。。，不妨设/(九0)〉0,

；/(%)在x0处连续，，lim/(x)=/(%())〉0,

由极限的保号性：*%-b,Xo+b)u(a,b),使当xe(X。-b,%+3)时，有/(x)〉0,

Cb+b-rbfb

从而I,f(x)dx>0［/(x)dx>0,与条件1/(x)dx=0矛盾！

J.v0-6JaJa

/(x)=0，xG(a.b),

同理可证：当x=Q或x=b时，/(a)=0,/(/?)=0

所以f(x)三0,xe［a,b］

⑵若在［q,b］上，/(x)20,且/(x)w0,则Jf(x)dx>0；

知识点：定积分性质

思路：反证法和(1)的结论来求证

证明：因为/(光)N0(XE［。,/?］),所以『/(x)dx20,

而/(x)dx是数值，它仅有零或非零两种可能

Ja

rb

若设/(x)dx=0,则由上面己证，在上必有/(x)=0,这与题设/(x)力0矛盾，

Ja

rh

从而f(x)dx>0.

Ja

⑶若在[a,可上，/(x)2g(x),且J/(x)dx=Jg(x)dx,则在[a,b]上，f(x)=g(x).

知识点：定积分性质

思路：由定积分性质和(1)结论求证

证明：设F(x)=/(x)-g(x),xe[a,〃],则由题设可知：F(x)>O,x&[a,b]

fbfbfb

又因为「F(x)dx=[f(x)dx-[g(x)dx=O,

JaJaJa

由⑴得，尸(%)=/(%)—g(x)=O,从而

f(x)=g(x1xE[a,h]

★★4.根据定积分性质比较下列每组积分的大小：

(1)[x~dx,[x3dx

JoJo

知识点：定积分性质

思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小

解：当(0,1)时，X3<X2,即X?-工3>0.=>/(x?->0=>//dx〉/光力不

(2)fexdx,[exdx

JoJo

知识点：定积分性质

思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小

解：因为当xe(0,l)时，x>x1,故因此：>^e'dx

(3)fe'dx,[(x+l)dx

JoJo

知识点：定积分性质

思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小

解：令f(x)=e*—(1+无),则/'(x)=e*-INO,xe[0,l],

且仅当x=0时，/'(0)=0,所以在[0,1]上，/(x)单调增加

r

=>/(x)=e-(l+x)>0=/(0)，即/>(l+x)

又因为在[0,1]上，e，#(l+x),即/(x)不会恒为0.

所以1/(x)dx=£[ev-(1+x')]dx>0,

即£exdx>J。(x+V)dx

nit

(4)[2xdx，12sinxdx

JoJo

知识点：定积分性质

思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小

解：令/(x)=x-sinx,则/'(x)=l-cosxZ0,x£

冗

且仅当x=0时，7'(0)=0,故在0,-上，/(%)单调增加

=>fM=x-sinx>0=/(0),即x2sinx,又在归xwsinx,即/(x)w0,

=>\2xdx>fsinxdx

JoJo

「()

(5)Isinxdx,fsinxdx

~2Jo

知识点：定积分性质

思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小

71r0

解：当天£---,0,sinx<0,从而]nsinxdx<0；

-2」~2

JIf—

又当xw0,一,sinx>0,从而2sinxdx20

2J。

所以J乃sinxdx<j2sinxdx

~2°

r0r0x

(6)]ln(l+x)dx,----dx

知识点：定积分性质

思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小

Y11Y

解：令尸(x)=ln(l+x)——:—,贝|］尸'(%)=-----------------——:~~7>°，xe(°』)・

1+xl+x(1+x)2(1+x)2

所以尸(x)在(0,1)单调增加，且尸(0)=0,故/(x)〉0,xe(0,l),

所以(pQOdxAOnJiF(x)(/x<0=>In1(+x)dx<-^—dx

★★★5.利用积分中值定理证明：

..fXXn_

limI—■—dx—0

〃->ooJ。1_|_v

知识点：定积分性质

思路：利用定积分的中值定理求极限

-11r夕尤"(51

证：由积分中值定理知，存在一点,e0,-,使|——dx=3——，

L2」Jo1+x1+42

因为所以limj”=0nlim=0,

2n->co〃->8］+J

,坂//1

所以lim|/2^-^/x=lim^^-=0.

00JO1+x〃T8］+2

★★★6.设函数/(x)在［0』］上连续，在(0,1)内可导，且3］：//(xMx=/(0)

J/3

证明：在(0,1)内至少存在一点g,使/G)=o.

知识点：定积分性质

思路：先利用积分中值定理，得到满足罗尔定理条件，再求证

证：由积分中值定理知，在%,1上存在一点c,使

3j；J(x)d羌3/(c)(l—1)=/(c)=/(0；

故/(x)在区间［0,c］上满足罗尔定理条件，因此至少存在一点自€(0,。)<=(0,1),使

re)=o

习题5-3

★I.设y=J。sintdt,求y'(0),

知识点：积分上限函数求导公式

思路：先利用积分上限函数导数公式求出导数,再把特殊点代入计算

解：因为y'(x)=sinx,所以y'(0)=0,

*2.计算下列各导数：

(1)—「J1+11；

知识点：积分上限函数求导公式

解:—J'yli+t^dt=71+(^2)3^^=2xVl+x6.

知识点：积分上限函数求导公式

解色。力__£rP3dt_厂dt_]d(%3)_]d(x?

'71+7dxJoJi+「J。Jl+〃Jl+(/)4dxJl+,)4dx

3/2x

i+x'

cos(乃产)力；

知识点：积分上限函数求导公式

dpcosxcdpcosxrfsinXc

解：一\COS(乃广)力=一[\COS(7Tt2)dt-ICOS(4广)力]

dxJsinxdxJ°」°

=cos(4cos2x)(cosx\-cos(万sin2x)(sinx\

=-sinxcos(乃一Trsin2x)-cosxcos(^sin2x)=cos(^sin2x)(sinx-cosx).

/、dx”八、

★★3.设g(x)=j-~求g⑴。

Jll1I3’

知识点：积分上限函数求导公式

思路：先利用积分上限函数导数公式和商的求导公式求出各阶导数,再把特殊点代入计算

2x“/、2(1+X6)-6X52X2-10x6

解：g'a)=kg.=(i+x)—二^77F

“/,、2-10.

所以g"(l)=--------=-2.

(l+l)2

求立

★★4.设函数y=y(x)由方程£e'dt+£costdt=0确定,

dx

知识点：积分上限函数求导公式

思路：方程两边同时对x求导求得

解：方程两边同时对X求导，得

八dycosx

+cosx=0=>—=.......—

dxey

,yx

由题设，有/°+sinz°=0,即ey=1-sin^,

dy_cosx

所以

dxsinx-1

★★5.设x=fsinudu，y=[cosudu，求生

J。’Jodx

知识点：积分上限函数求导公式

思路：利用积分上限函数和参数方程求导公式求得

~dyy,cost

解:因为七'=sinf,y；=cost，所以—二—二——=cotz.

dxx；sint

★★★6.求下列极限：

「COSJ力

(1)lim-----------；

XTOx

知识点：积分上限函数求导公式：罗必达法则

解:因为limfcosrdt=[cosrdt=0,

10JoJo

2

ICOStdtcosx2

利用洛必达法则：lim—----------=lim--------=cos0=1.

x->0xx->0|

farctantdt

⑵lim^-----7------

iox-

知识点：积分上限函数求导公式；罗必达法则

1

farctantdt(J。arctanfdf)'2

arctanxri_i_r

解：lim---------=limlim--------二limJ十4

x->0xx->02xio22

fy/l+rdt

⑶lim^——-——

*f°x2

知识点：积分上限函数求导公式；罗必达法则

「'J1+一力(「抗77力丫

limVi772£=1

解：lim虫——；----=lim

2C2

x->0uys02x

★★★7.设/(x)在OWfW+oo上连续

ff(.t)ro

⑴若「产力=/(1+%),求/⑵

JO

知识点：牛顿―莱布尼茨公式

思路：利用牛顿―莱布尼茨公式求出函数表达式,再把特殊点代入求值

解:因为J""产力=家((X)=)3(x),

J。303

所以;r(x)=(1+x)n/>)=#3犬(I+x),

故/(2)=$322(1+2)=廊.

★★★8.当x为何值时，函数/(x)=「b孑山有极值？

知识点：函数的单调性求极值

思路；求出函数的驻点,并判断函数在该点左右区间的单调性,利用单调性判断极值点

解：因为/'(%)=沅7,令/'(x)=0,,得驻点x=0.

而当x<0时，/'。)<0；当犬>0时，/'(x)>0.

所以当x=0时,函数/(x)=「te-'2dt取得极小值也是最小值.

Jo

八：2xdt

★★★9.设X>0,问X取何值时I--------------坡大

知识点：函数的单调性.，积分上限函数求导公式

思路：求出函数的驻点，并判断函数在该点左右区间的单调性

33

3/、c2xdt，/、212A/1+X-Vl+8x

解：设g(x)=J,——而g(x)=一/1一一==

J，Jl+rVl+8x3VTl+x37(1+8/)(1+X3).

3

由g'(x)=0.解得驻点为小=力

♦.•当x〉0时，-^(1+8X3)(1+X3)>0,要使2jl+》3-Vl+8x3>0,

1+x311+x313

只要2+9>，1+89n-------r>—n-------r>—=X<A

l+8x32l+8x34\

1时，g'(x)>0；当x>j|3

.•.当0<x<时，g'(x)<0

4

心时,函数•2xdt

因此，当x,取到最大值.

V4xJl+r

**10.计算下列各定积分:

f2.1

⑴f,(x-+—)dx-.

X

知识点：牛顿―莱布尼茨公式

思路：利用牛顿―莱布尼茨公式先求出原函数,再代入积分上下限

1、//

+*)dx=(5-

⑵£y/x(l+\[x)dx

知识点：牛顿―莱布尼茨公式

12』f9,211

解：J：4(l+4)dx=J；(x2+x)dx=(-x2+y)=-(27-8)+-(81-16)=45-.

4326

华adx

⑶J。a2+x2,

知识点：牛顿―莱布尼茨公式

y/3a

俨adX1X

解:—arctan——arctanV3--arctan0=—

22

J。a+xaaoaa3a

知识点：牛顿―莱布尼茨公式

dx.|l/271,71、71

{2—=arcsinx…=---(---)=—.

解:5663

471-X

n

⑸

知识点：牛顿―莱布尼茨公式

2

解:J。5%。=jj(sec8-l)d8=(tan3-g)："=]_?

3________

(6)「Vl+cos2xdx；

知识点：牛顿―莱布尼茨公式

思路：利用牛顿―莱布尼茨公式求出原函数,再代入积分上下限求得

333

解:J；Vl+cos2xdx=J2cos?xdx=|cosx\dx

n34

R2|3万/4

=J，亚cosxdx-y/2cosxdx=5/2sinx|-V2sinx|2V2-1.

hk/2

■2io

“、—sinxQ<x<7i，/、/-A

★★11.设/(%)=12„，求。(冗)=/«)力在(-8,+00)内的表达式.

0x<0或x>71Jo

知识点：牛顿―莱布尼茨公式

思路：0(x)=「/Q)dr随x而变，并注意到被积函数/(x)在不同区间的表达式不同,所以必要时对

J0

［：/«)力进行分段积分。

解:当xvO时，0(x)=fOdt=0,

JO

r.r1ix1-cosx.2%

当0«xW乃时，°(x)=J。—sintdt=--cost=-------=sin"—,

022

11.”八

当时，0(x)=J。^siindf+JOdt=1.

°xx<0

所以="sin2Q<x<7i

JX>7t

★★★12.设/(x)连续，若/(x)满足=/(x)+xe”,求f(x)

知识点：积分上限函数求导公式

思路：换元法求得积分上限函数,再对积分上限函数求导

解:令“=xf,则

£f(xt)dt=£'/(«)--

JOJ()xX)。

因此/(x)满足J。=xf(x)+x2e\

两边关于x求导，可得：/(x)=/(%)+矿(x)+2xex+x2ex.

因此fr(x)=-(2+x)ex,说明/(x)是一(24-x)ex的原函数.

♦，./(x)=—J(2+=—(x+l)e'+CC为任意常数.

★★★13.设/(x)=「、(1+f)dt(x>0),求/(x)+/d)

J。tX

知识点：积分上限函数

思路：用换元法改变积分限，使/(X)和/(工)积分限相同

X

解:由于/(-)=『.1+f)力’曾_J：1"1小/而

XtW

rAln(l+w)r<Inw,

=-------dfu+---du,

uu

x

cInu.1八、21八、2

而|----du=—(Inw)——(Inx)

u2j2

„£,、1尸1《1+£)」r<ln(l+w),1△Li、2

因m此：f(x)+f(—x)—I------dt—I-------duH—(ZI1n——(Inx).

xtu22

★★★14.设/(x)在上连续，在(a,b)内可导，且尸(x)W0

IfX/\

F(x)=——J(f(t)dt,证明:在(。力)内有尸'(x)<0

知识点：积分上限函数的导数，积分中值定理,拉格朗日中值定理

证明：F'M

(x—a)2

(a<^<x)

(x—a)2

/(x)-/(&),(〃)(x-q)

C"<x)

(x-a)(x-a)

•：a<^<x,r(x)<0=>/(7)<0,.*.F(x)<0

习题5-4

**1.用定积分换元法计算下列各积分

(兀71

(1)乃sin(x+—)dx

33

JI

知识点：定积分换元法(凑微分：dx=d(x+-))

解:

f»dx

⑵J-2-(l-l-+-5-x-)r

知识点：定积分换元法(凑微分：dx=[d(ll+5x))

解［'dx=-('a1_

(11+J(ll+5x)=-—(11+5x)9

.L(11+5x)35J.2

=-—(16-2-1)=—.

10512

⑶|sincos3(pd(p

知识点：定积分换元法(凑微分：s\n(pd(p=-dco^(p)

乃I而2

解:Jsin^cos3(pd(p=-£2cos3(pdcos(p=--cos4(p

04

n

(4)jjcos2udu

~6

知识点：定积分换元法

思路：先用三角公式降低被积函数的累次，再逐项积分。

解：fjcos2udu=[J——Udu=—[(w+—sin2w)]

J“J-990

6乙乙乙R6

」(生+0」马=2—回

232268

1,

知识点：定积分换元法（凑微分：xdx=-dx'}

2

思路：先将被积函数（假分式）化成真分式，再逐项积分。

解：「二八八

Jox2+lJ。x2+lJ。2Jox2+l

255

-^ln(x2+1)

---In26.

2o2o22

•52x~+3x—5」

(6)i-----------dx

0x+3

知识点：定积分换元法

思路：先将被积函数（假分式）化成真分式，再逐项积分

广52r+3x—5dx=J：[2x(x4-3)3尤+94,f5/0r4、，

解」---------------1------------]dx=(2X-3H----)dx

x+3x+3x+3x+3%x+3

[x2-3x+41n(x+3)]|^=10+41n|=10+121n2-41n3.

•】xdx

⑺

(x2+l)2

1、

知识点：定积分换元法（凑微分：xdx=-d（/+l））

2

pixdx_1r1d(x2+1)_1

J->(x2+l)2-2J-1(x2+l)2——2(X2+1)

知识点：定积分换元法(凑微分：-yJx=-</(-))

XX

⑼力

知识点：定积分换元法(凑微分：tdt=)

知识点：定积分换元法

解:方法一：令x=#>asint,则dx=下>acostdt,不妨设a>0,

就

xdx•arcsin^l3a?sjnfCOS

3asintdt

出力—/V3(7>/l-sin21

I-jarcsinJ2/3i—

一J34cost\=(<3

10

方法二:凑微分：xdx——d(3a~~x~)

2

1j(3a2-%2)

xdx--x2yl3a2-x2(V3-l)«

220

43a-x27^720

dx

(ID[.

xVl+LInx

知识点：定积分换元法(凑微分：-Jx=J(l+lnx))

x

2

dx

解:；=2(V3-1).

jxVl+LInx1Jl+lnx

21Tsinxcos2xdx

知识点：定积分换元法(凑微分：sinxdx=-t/(cosx))

思路：用三角公式化被积函数为可求积分的函数

Rsinxcos2xdx=sinx(2cos12x-\)dx=一1(2cos2x-l)dcosx

2m

-(cosx——cos3x)=0.

3一%/2

产I-----------

(13)Vcosx-cos3xdx

知识点：定积分换元法

思路：用三角公式化被积函数为可求积分的函数

RVeoSA：-cos3xdx=2f^Vcosxsin2xdx=2Vcosxsinxdx

2-4

=-2—(cosx)2=—,

3()3

(14)(yllx-x2dx

知识点：定积分换元法(变量代换去根号)

x-l=sinz

解：jyj2x-x2dx=£d(x-1)J°/cost\dsin/=J：costdt

1o11

=­Jf“(1+coOf)力=—(r+—sin2z)

2222

(15)/S-x^dx

知识点：定积分换元法(变量代换去根号)

解产亚-x2dx=V2f，Vl-sin2td(V2sinz)=2f2cos2tdt=[2(1+cos2t)dt

//21.

+—sin2t

lo2

dx

(16)

Jx2Vl+x2

知识点：定积分换元法

方法一：用三角代换去根号

•Gdxx=1n"柠sec2udiisinu

1x2Vl+x2^7tan2sect/sin2«J艮巫.

Mn〃./43

方法二：倒代换

产dxfyudu

]X271+X2=rVl+M2

[-I2-%

(17)(1+x-)dx

JO

知识点：定积分换元法

思路：用三角代换去根号

-I-%x=tan/2工2一%2产卬4V2

解：£(l+x2)dx=£4(1+tan2z)sec2tdt=£4cosrrfz=sinr|^=——.

?xdx

(18)Lj5-4x

知识点：定积分换元法

思路：用变量代换去根号

11

g(•!xdx(.15—

MU.1r3_2.,1z_---

解：-1-=-———du=—J1(5-M-WM=—(5M36

JTy/5-4xJ34M288

,idx

4yjl—X—1

知识点：定积分换元法

思路：用变量代换去根号

ridxo-2uduc(4w-l+ld”

Mf2

解：3I----------=1-----=2---------

7Jl-x-l2M-1M-l

IJ

=2jj(1+-——-)du=2(〃=l-21n2.

知识点：定积分换元法

思路：用变量代换去根号

rOr+14x+4=t-2—4+1「2r1.24

解：L耳h*=11—；—2f力=2((厂-39=2(丁-3，)]=-§

知识点：定积分换元法

方法一：凑微分：e-xdx^-d(e-')

=ln(l+V2)-ln(l+Vl+e2)+1.

方法二:作代换：e'1,则x=—In=-1力

t

知识点：分部积分法

思路：利用分部积分去多项式函数

解：£xe~xdx=-£xde~x=-(xe~x)[+£e~xdx

=­el~^~x\=1——.

Io

⑵]x\nxdx

知识点：分部积分法

思路：利用分部积分去对数函数(Inx)

解：jxlnxdx=gjlnxd(x2)=；[x2-jxdx]

=：[/一9]]=：(/+1).

22114

(3)f'xarctanxtZx

Jo

知识点：分部积分法

思路：利用分部积分去反三角函数

2

解：arctanxdx=gJ；arctanxd(/)=；[(xarctanx)[-J；]二?dx]

17Tr>l+x2-1.,711]171

—rI————dx]=----[rx-arctanx]

24J。1+VJ82o-72

rlarclanxnJf^/4)

(或者先变量代换再分部积分：arctanxdx=J()rtanrrftanr=­，d(tanf)~)

12卬4「力4711ixi711卬4兀1

=—[rftarrf-tan*"2tdt]=-----(sec^2t-l)dt=-----tanrl=-----)

2I。Jo82Jo42l()42

(4)£sin(lnx)dx

知识点：分部积分法

思路：通过反复使用分部积分，建立等式求解

解：/sin(lnx)dx=[xsin(ln%)][-(cos