中考数学十大题型专练解析

备战中考数学十大题型专练卷

题型01操作类试题

一、单选题

1.如图，在氏AABC中，ZB=90,以点A为圆心，适当长

为半径画弧，分别交A&AC于点2%再分别以点。、石为圆

心，大于;为半径画弧，两弧交于点p，作射线A尸交边BC

于点5G=1,AC=4,则MCG的面积是（）

【答案】C

【分析】利用基本作图得到4G平分N3AC,利用角平

分线的性质得到G点到AC的距离为1,然后根据三角形面

积公式计算aACG的面积.

【详解】解：由作法得AG平分的c,

•・G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1,

所以AACG的面积《4x1=2.

故选：C.

【点睛］本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图

（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知

线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直

线的垂线）.也考查了交平分线的性质.

2.如图，在口钻8中，将AADC沿AC折叠后，点。恰

好落在0c的延长线上的点E处.若々=60。，AB=3,则AWE的

周长为（）

【答案】c

【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可

得到3c=2,AB=6,AD=6,再根据A4DE是等边三角形，即可得

到AADE的周长为6x3=18.

【详解】由折叠可得，ZACD=ZACE=90°,

/.ZBAC=90°,

又•/ZB=60°,

/.ZACB=30°,

/.BC-2AB=6,

「.AZ）=6,

由折叠可得，NE=ND=NB=60°,

ZDAE=60°,

・•・AADE是等边三角形，

：.^ADE的周长为6x3=18,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性

质以及等边三角形的判定.解题时注意折叠是一种对称变

换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置

变化，对应边和对应角相等.

3.如图，将绕点C顺时针旋转得到ADEC,使点A的

对应点。恰好落在边AB上，点3的对应点为E,连接BE.下

列结论一定正确的是（）

A.AC=ADB.ABLEBC.BC=DED.ZA=AEBC

【答案】D

【分析】利用旋转的性质得AC=CD,BC=EC,ZACD=

/BCE,所以选项A、。不一定正确

再根据等腰三角形的性质即可得出4=所以选项

。正确；再根据NMC

=ZEBC+/ABC二ZA+ZABC=180°-NA判断选项8不

一定正确即可.

【详解】解：绕点。顺时针旋转得到AZ5EC,

：.AC=CD,BC=EC,/ACD:/BCE,

・180°—NACD180。一/BCE

・・NA=NCDA=-----------------；ZEBC-ZBEC----------,

二•选项4、。不一定正确

JNA二/EBC

・•・选项。正确.

ZEBC=ZEBC+ZABC=ZA+ZABC=180°-ZACB不一

定等于90。，

，选项B不一定正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的

距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

旋转前、后的图形全等.也考查了等腰三角形的性质.

4.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点、O,

AC=4,BD=\6,将“LB。沿点A到点C的方向平移，得到VAEC,

当点4与点。重合时，点A与点&之间的距离为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】由菱形性质得到AO,50长度，然后在R/VACW

利用勾股定理解出转，即可

【详解】由菱形的性质得AO=OC=C（y=2,BO=OD=R（y=8

NAOB=NAO'3'=90"

.VAt组为直角三角形

22

AB'=y/AO'+B'O'=762+82=10

故选。

【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理以及菱形的

性质，本题关键在于利用菱形性质求出直角三角形的两条边

5.4张长为纵宽为仇。＞勿的长方形纸片，按如图的方

式拼成一个边长为（。+力的正方形，图中空白部分的面积为

5,阴影部分的面积为邑.若H=2S2,则。、匕满足（）

ba

ab

A.2a=5bB.2a=3bC.a=3bD.a=2b

【答案】D

【分析】先用服人的代数式分别表示百=4+2〃，

2

S2=2ab-b,再根据E=2S2,得/+2〃=2(2"-〃)，整理，得

(a-2力2=0,所以。=2》.

【详解】解：S]=耳b(a+b)x2+—cihx2+(a—Z?)_-a~+2b-,

22222

S2=(a+b)-S,=(a+&)-(a+2b)=2ab-b,

V^=2S2,

a2+2b2=2{2ab-b2),

整理，得3-24=0,

/.a-2b=09

a=2b.

故选：D.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平

方公式是解题的关键.

6.将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④,

再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中尸MGN是

折痕.若正方形"G"与五边形MCNGr的面积相等，则穿的

GF

值是（）

A.如惚B.V2-1C.；D.也

222

【答案】A

【分析】连接“尸，设直线与A。边的交点为尸，根

据剪纸的过程以及折叠的性质得尸尸且正方形EFG"

的面积=（x正方形ABCD的面积，从而用a分别表示出线段

GE和线段MF的长即可求解.

【详解】连接设直线与AO边的交点为P,如

图:

⑤

由折叠可知点尸、H、F、M四点共线，且尸"=〃尸，

设正方形ABCD的边长为2m

则正方形ABCD的面积为4a2,

•・•若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等

・•・由折叠可知正方形EFGH的面积正方形ABC。

的面积=1a'，

J正方形EFG"的边长，

：.HF=^GF=^a,

。2而「

：.MF=PH=2a-<a5_而,

---------=------a

25

・FM5-而2石石-g

••—=-----Q+---a=-------.

GF552

故选A.

【点睛】本题考查了剪纸问题、正方形的性质以及折叠

的性质，根据剪纸的过程得到图形中边的关系是解决问题关

键.

7.如图，矩形"CD与菱形EFG”的对角线均交于点。，

且EG//3C,将矩形折叠，使点C与点。重合,折痕MN过点G.若

AB=&,EF=2,N"=120",则。N的长为（）

D'

A.…B.号C.坐

D.25/3—

【答案】A

【分析】延长EG交火•于P点，连接GC、FH；由四边形

EFGH是菱形,NEHG=120。，得GH=EF=2,ZOHG=60°,EG1FH,

OG=G”-sin60"=2x曰=百，根据根据折叠性质，再证四边形

OGCM为菱形，得PG是梯形MCDN的中位线，根据中位线性质

求解.

【详解】延长EG交QC于P点，连接GC、FH；如图所示:

则CP=OP=；CD/，AGCP为直角三角形，

•・•四边形EFG”是菱形，NEHG=120°,

:.GH=EF=2,NQHG=60°,EGLFH,

/.OG=G//sin60，=2x—=73,

2

由折叠的性质得：CG=0G=6OM=CM,ZMOG=/MCG,

PG=y/CG2-CP2=—,

*/OG//CM,

.*.ZMOG+ZOMC=180°,

/.ZMCG+ZOMC=180°,

/.OM//CG,

・・.四边形OGCM为平行四边形,

*.•OM=CM,

・•・四边形"CM为菱形，

/.CM=OG=6,

根据题意得：PG是梯形MCDN的中位线,

/.DN+CM=2PG=瓜,

DN-娓—垂）；

故选：A.

【点睛】考核知识点：矩形折叠，菱形判定和性质，三

角函数.理解折叠的性质是关键.

8.如图，直线）是矩形ABCD的对称轴，点P在8边上,

将ABCP沿筋折叠，点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处，

BC=4氐则线段AB的长是（）

MDPLC

B

A.8B.8正C.86D.10

【答案】A

【分析】根据正方形的性质及折叠的特点得到

ZABQ=ZBQF,NA5Q=30。，再根据含30。的直角三角形的性质

即可求解.

【详解】解：•・•四边形的8是矩形，

/.ZC=90,

由题意得：BF=3BC,EF//AB,

：.ZABQ=NBQF,

由折叠的性质得：NBQP=NC=90,,BQ=BC,

ZAQ6=90°,BF=^BQ,

ZBQF=30°,

，NA5Q=30°,

在町AABQ中，AB=2AQ,BQ=百AQ=4百，

，AQ=4,AB=S；

故选：A.

【点睛1此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟

知直角三角形的性质与特点.

9.如图，将A4BC沿8C边上的中线平移到A4EC的位

置.已知AABC的面积为16,阴影部分三角形的面积9.若A4=l,

则4。等于（）

B

3

A.2B.3C.4D.1

【答案】B

【分析】由SzVlBC=16、S”名F=9且AD为BC边

|Q1

S

的中线知S劭DE=5SA/VEF=3，SwD=2MBC=8,根据△D4'£s△

DAB知（整[=沁，据此求解可得.

[A。）S^BD

【详解】•••S.c=16、S.EF=9,且A。为BC边的中线，

191

…S"DE=2^M'EF=2，SMBD=/^&ABC=8,

•••将AABC沿3c边上的中线AD平移得到^A'B'C',

:.AE//AB,

..AZM'E〜AZMB,

2

40丫SAA'DE

则,即（4。丫=9=9

~\D）S\ABD<A'D+1）816

解得40=3或AD=—5（舍）,

故选：B.

【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握

平移变换的性质与三角形中线的

性质、相似三角形的判定与性质等知识点.

10.如图，在△A3。中，。是AC边上的中点，连结

把△8DC沿翻折，得到△8。。，。。与A3交于点区连

结AC,若=AC=2,3。=3贝IJ点。至IJ3C的距离为()

A.延B.题C.不D.岳

27

【答案】B

【分析】连接CC,交BD于点、M,过点。作OHJ_3C

于点”，由翻折知，ABDCQ丛BDC,3。垂直平分CC,证

△ADC为等边三角形，利用解直角三角形求出QM=1,

CM=y/3DM=百，BM=2,在&△BMC中，利用勾股定理求出

8c的长，在△8QC中利用面积法求出O"的长.

解：如图，连接CC,交3。于点M,过点。作

BC于点H,

\*AD=AC=2,。是AC边上的中点，

：.DC=AD=2,

由翻折知，△BDC”ABDC,8。垂直平分CC,

：.DC=DC=2,BC=BC,CM=C'M,

：.AD=AC=DC'=2,

•••△AOC为等边三角形，

JZADC=ZACD=ZC'AC=60°,

,:DC=DC,

:./DCC=/DCC=*x60°=30°,

在放△COM中，ZDCC=30°,DC=2,

：.DM=\,CM=6DM=6,

■.BM=BD-DM=3-1=2,

在RtxBMC中,BC-yjBM2+C'M2=722+(V3)2=不

,11

■：S^DC=-BCDH=-BDCM

:由DH=3乂也

：..BM=BD-DM=?>-i=2,

在Rt^CDM中，BC=^BM2+C'M2=打+e¥=V7

•；%Dc=；BC，.DH=gBDCM

币DH=3x也

：.

DH7

故选B.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾

股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度.

二、填空题

11.如图，已知△ABC,通过测量、计算得△ABC的面积

约为—C帆4（结果保留一位小数）

【答案】L9

【分析】过点。作的延长线于点。，测量出

AB,CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的

面积.

【详解】解：过点。作CCA8的延长线于点。，如图

x2

•••^ec=1^<^=12.2xl.7«1.9（cm）.

故答案为：L9.

【点睛】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积

等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键.

12.如图，把某矩形纸片A3C。沿ERG”折叠（点及

“在AD边上，点尸、G在3C边上），使得点8、点。落在

4。边上同一点尸处，A点的对称点为4点，。点的对称点为

以点，若？FPG90?,AA舒的面积为4,△丽/的面积为1,则

矩形ABCD的面积等于.

【答案】66+10.

【分析】根据相似三角形的判断得到“叱〜△DP",

由三角形的面积公式得到SMEP,再由折叠的性质和勾股定

理即可得到答案.

【详解】9：A'E//PF

ZA'EP=ZD'PH

又•・•/?!=NA=90。，ZD=ZD'=90°

ZA'=ZD'

J丛NEP〜&DPH

又TAB=CZ),AB=A'P,CD=DP

：.A'P=D'P

设

VS^A'EP：S^D'PH-^Z1

：.A'E=2D'P=2x

Vx>0

x=2

：.A'P=D'P=2

：.A'E=2D'P=4

，EP=JAE?+A产=A/42+22=2石

/.PH=-EP=45

2

/.DH=D'H=-A'P=1

AD=AE+EP+PH+DH=4+2y[5+yf5+i=5+3>/5

/.AB=A'P=2

S矩形.CD=ABxAD=2x(3s/5+5)=6>/5+10

【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关

键是掌握矩形的性质、折叠的性质.

13.用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1

所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五

边形ABCDE.图中，ZBAC=度.

【答案】36

【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质

即可解决问题.

【详解】=鱼等亚=108。，是等腰三角形，

..Za4C=ZBG4=36度.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三

角形的性质.解题关键在于知道〃边形的内角和为：180。

(〃-2).

14.如图，有一张矩形纸片AB。，A8=8,AD=6.先将矩

形纸片ABC。折叠，使边AD落在边上，点。落在点E处，折

痕为Ab；再将A4EF沿EV翻折，Ab与BC相交于点G,则AGCF

的周长为.

【答案】4+2友

【分析】根据折叠的性质得到ND”=N8AF=45。，根据矩

形的性质得到FC=EO=2,根据勾股定理求出GF,根据周长

公式计算即可.

【详解】解：由折叠的性质可知，ZDAF=ZBAF=45°,

AE=AD=6,

.*.EB=AB—AE=2,

由题意得，四边形防8为矩形，

FC=ED=2,

,/AB//FC,

ZGFC=ZA=45°,

GC=FC=2,

由勾股定理得，G-=5/土。2+0c2=20，

贝ijAGb的周长=GC+EC+G/=4+2血，

故答案为：4+20

【点睛】考核知识点：矩形的折叠问题.运用矩形性质分

析问题是关键.

15.如图，在中，ZBAC=90°,AB=AC=10cm,

点。为△A3。内一点，ZBAD=15°,AD=6cm,连接3D,将

△ABO绕点4逆时针方向旋转，使A3与AC重合，点。的

对应点E,连接。区DE交AC于点尸，则CF的长为

【分析】过点4作AHLOE,垂足为"，由旋转的性质

可得AE=AD=6,ZCAE=ZBAD=15°,ZDAE=ZBAC=90°,

再根据等腰直角三角形的性质可得N”AE=45。，AH二3五,

进而得N/M尸=30。，继而求出A/长即可求得答案.

【详解】过点A作垂足为"，

VZBAC=90°,AB=AC,将zVlB。绕点A逆时针方向旋

转，使A5与AC重合，点。的对应点区

：.AE=AD=6,ZCAE=ZBAD=]5°,ND4E=NE4C=90。,

:.DE=JAD2+AE2=6五,ZHAE=^ZDAE=45°,

；.AH=；DE=36,ZHAF=ZHAE-ZCAE=30°,

AH一3叵j忆

:・AF:cosNHAF=H",

T

CF-AC-AF=io-2V6,

故答案为：10-2#.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性

质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确添加辅助线构建

直角三角形、灵活运用相关知识是解题的关键.

16.如图在正方形ABCD中，BE=1,将BC沿CE翻折，使

点5对应点刚好落在对角线AC上，将AD沿AF翻折，使点。对

应点落在对角线AC上，求历=.

【答案】屈

【分析】作收，转于点“，构造直角三角形，运用勾股

定理求解即可.

【详解】作于点M,

由折叠可知：EX=EB=AX=l,AE=6,AM=DF=YF=1

二•正方形边长48=尸"=&+1,而=及一1

EF=\lEM2+FM2=7(V2-1)2+(V2+1)2=在.

故答案为：逐.

【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理

等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题，学会

利用参数构建方程解决问题，

17.如图，在用AABC中，ZC=90°,以顶点3为圆心，适

当长度为半径画弧，分别交ABIC于点M,N,再分别以点M,N

为圆心，大于;MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线5P

交AC于点。.若NA=3(T,贝1］衿=.

B

【答案】

【分析】利用基本作图得3。平分NABC,再计算出

ZABD=NCBD=30,所以=利用30=2a□得至ljAD=2C。，

q

然后根据三角形面积公式可得到产的值.

0„ABD

【详解】解：由作法得加平分ZABC,

VZC=90,ZA=30。，

/.ZABC=60°,

ZABD=ZCBD=30°,

：.DA=DB,

在Rt^BCD中，BD=2CD,

/.AD=28,

.Sp_1

••二一小

故答案为］

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作

图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已

知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知

直线的垂线）.

18.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔

板由边长为4板的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的

七巧板，现将这副七巧板在正方形EFG”内拼成如图2所示的

“拼搏兔”造型（其中点。、R分别与图2中的点区G重合，点产

在边四上），则“拼搏兔”所在正方形所G”的边长是____.

【答案】4亚

【分析】如图3中，连接CE交MN于。，先利用相似

求出。M、ON的长，再利用勾股定理解决问题即可.

【详解】如图3,连结CE交MN于0.

观察图1、图2可知，EN=MN=4,CM=8,/ENM=NCMN=90。.

.ENON_1

•*~CN~~OM~2，

ON△MN=±,0M=乙MN=0

3333,

在用A£M9中，OE=ylON2+EN2=,同理可求得

“8厢

OG=『

.・.GF=*OE+OG)=6,即“拼搏兔”所在正方形EEGH的

边长是4石.

故答案为：45A

【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和

判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造直角三角形解决问题.

19.如图，过点C(3,4)的直线y=2x+b交x轴于点A,/

ABC=90。，AB=CB,曲线y=§G>o)过点3,将点A沿〉轴正

方向平移。个单位长度恰好落在该曲线上，则。的值为

【答案】4

【分析】分别过点3、点。作y轴和1轴的平行线，两条

平行线相交于点M,与％轴的交点为N.将。(3,4)代入k2%+》

可得。=2,然后求得A点坐标为(1,0),证明△A3N且ABCM,

可得4V=BM=3,CM=BN=l,可求出3(4,1),即可求出仁4,

由A点向上平移后落在";上，即可求得〃的值.

【详解】分别过点以点。作丁轴和，轴的平行线，两条

平行线相交于点M,与％轴的交点为N,则NM=N4V8=90。,

把。(3,4)代入y=2x+》,得4=6+。，解得：b=-2,

所以产2%-2,

令y=0,则0=2%-2,解得：x=l,

所以A(l,0),

NA3O90。，

JZCBM+ZABN=90°,

•・•ZANB=90°,

：,/BAN+/ABN=9。。,

NCBM=/BAN,

又•：/M=/ANB=9U。,AB=BC,

・•・AABN/△BCM,

:・AN=BM,BN=CM,

C(3,4),J设AN=m,CM=n,

m+n=4

则有解得

m+1-n

...023+1=4,BN=\,

••・8(4,1),

•・•曲线尸沁。)过点&

•・•将点A沿)轴正方向平移“个单位长度恰好落在该曲

线上，此时点A移动后对应点的坐标为(1,a),

«=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉

及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，点的平移等知

识，正确添加辅助线，利用数形结合思想灵活运用相关知识

是解题的关键.

20.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，AABC

的顶点A在格点上，6是小正方形边的中点，，ABC=50。，

/BAC=3O。，经过点A,8的圆的圆心在边上.

(I)线段A3的长等于；

(II)请用无刻序的直尺，在如图所示的网格中，画出

一个点尸，使其满足/PAC=/PBC=NPCB,并简要说明点。的

位置是如何找到的(不要求证明).

【答案】(I)孚；(II)如图，取圆与网格线的

交点、E，F,连接M与AC相交，得圆心。；AB与网格线相交

于点。，连接。。并延长，交。。于点。，连接并延长，与

点、B，。的连线8。相交于点尸，连接AP,则点尸满足

APAC=ZPBC=/PCB.

【分析】（I）根据勾股定理即可求出A3的长

（II）先确定圆心，根据NE4尸=90。取格点E、尸并连接

可得£/为直径，与AC相交即可确定圆心的位置，先在80

上取点尸，设点尸满足条件，再根据点。为48的中点，根据

垂径定理得出再结合已知条件NABC=50。，/BAC=30。

得出ZPAC=/PBC=ZPCB=20。，设PC和。。的延长线相交于点

Q,根据ASA可得AOPQwOPA,可得。4=。。，从而确定点Q

在圆上，所以连接。。并延长，交。。于点0,连接以并延长,

与点B。的连线3。相交于点乙连接AP即可找到点尸

故答案为：乎

（H）取圆与网格线的交点E，F,连接所，与AC相交于

点。，

ZEAF=90°,尸为直径，

•・•圆心在边AC上.•.点。即为圆心

丁A3与网格线的交点。是A3中点，连接0D则0D1AB,

连接。8,•.•/BAC=3O0,OA=Q8

NOA8=NOA4=30。，ZD0A=ZD0B=6Qn,

在8。上取点P,并设点P满足条件，•••/ABC=50。

APAC=ZPBC=ZPCB=20s,

/.ZAPO=ZCPO=40°,

设PC和DO的延长线相交于点Q,^\ZDOA=ZDOB=

ZPOC=ZQOC=60^

：.ZAOP=ZQOP=120°,

OP=OP,：.AOPQ=AOPA.・.OA=OQ,

•••点。在圆上，・•・连接。。并延长，交O。于点。，连接

并延长，与点区。的连线80相交于点P,连接AP,则点P即

为所求

【点睛】本题主要考查了应用与设计作图、勾股定理、

垂径定理、三角形的全等的性质与判定、等腰三角形的性质

等知识，是一道综合性较强的题目，解题时首先要理解题意,

弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和

基本作图的方法作图.

三、解答题

21.按要求解答下列各题:

（1）如图①，求作一点尸，使点P到4BC的两边的距离

相等，且在AASC的边AC上.（用直尺和圆规作图，保留作图

痕迹，不写作法和证明）；

（2）如图②，艮。表示两个港口，港口C在港口8的正

东方向上.海上有一小岛A在港口3的北偏东60。方向上，且

在港口。的北偏西45。方向上.测得但0海里，求小岛A与港

口。之间的距离.（结果可保留根号）

【答案】（1）见解析；（2）200.

【分析】（1）作出NA8C的平分线（以点B为圆心，以任

意长为半径画弧，与A3、BC各交一点,然后分别以这两个

交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧在

三角形内部交于一点，过点B及这个点作射线）交AC于点P

即可；

⑵过点A作于点。，由题意得ZA5C=30。，

ZACD=45。，在自AADB中，求出A。的长，继而在应AADC中,

求出AC长即可.

【详解】（D如图所示：

作出的平分线48c

标出点P.

⑵过点A作4），3c于点

由题意得ZABC=30,ZACD=45。,

在Rt^ADB中,

•.•AB=40,

AD=AB»sin30=209

在自△4）。中,

ZACD=,

,/sinAC

〜=磊=2。0海里）,

答：小岛与港口之间的距离是20夜海里.

【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，解直角

三角形的应用，正确掌握作角平分线的方法是解⑴的关键，

添加辅助线构建直角三角形是解（2）的关键.

22.图①，图②均为4X4的正方形网格，每个小正方形

的顶点称为格点.在图①中已画出线段钻，在图②中已画出

线段CZ）,其中4氏。、。均为格点，按下列要求画图：

⑴在图①中，以AB为对角线画一个菱形小8尸，且瓦尸为

格点；

⑵在图②中，以8为对角线画一个对边不相等的四边形

CGDH,且G,〃为格点，ZCGD=NCHD=90°.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯

一）.

（2）利用数形结合的思想解决问题即可.

【详解】解：（1）如图，菱形AEB/即为所求.

（2）如图，四边形CGOH即为所求.

【点睛1本题考查作图-应用与设计，菱形的判定和性质,

直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题，属于中考常考题型.

23.如图，在7x6的方格中，AABC的顶点均在格点上，

试按要求画出线段£尸（E,尸均为格点），各画出一条即可.

图1：EF平分BC图2:EF1AC图3：EF垂直平分AB

【答案】见解析.

【分析】图1，根据格点的特征，利用全等三角形画出

图形即可；图2：根据格点的特征，利用全等三角形及两锐

角互余的三角形为直角三角形画出图形即可；图3：根据格

点的特征，结合线段垂直平分线的判定定理画出图形即可.

【详解】如图所示：

【点睛】本题考查了格点三角形中的作图，正确利用格

点的特征是解决问题的关键.

24.按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.

（1）如图1,A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）

和圆规作出圆内接正方形;

（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线

相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于

一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请

运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：

①如图2,在必8。。中，E为。。的中点，作6C的中

点F;

②图3,在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正

方形的顶点上，作aABC的高AH

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.

【分析】（1）作直径AC,分别以A、。为圆心，以大于

AC的一半长为半径画弧，在AC的两侧分别交于点M、N,

作直线MN交圆于点8,D,四边形ABC。即为所求；

（2）①连接AC、8。交于点。，则。为8。的中点，连接

BE交CO于点、G,连接QG并延长交3C于点孔则尸即为

所求；

②如图，利用网格特点连接则可得直线

连接CN,则可得直线CN_LAB,两线交于点区连接AE并

延长交于点”，则AH即为所求.

【详解】(1)如图所示，四边形A3。。即为所求;

(2)①如图所示，点尸即为所求;

②如图所示，4H即为所求.

【点睛】本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练

掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方法是解题的

关键.

25.如图，将平行四边形纸片的8沿一条直线折叠，使

点A与点。重合，点。落在点G处，折痕为EF.求证：

(1)/ECB=NFCG；

(2)A£BC=AFGC.

D

G

【答案】(1)见解析；(2)见解析.

【分析】(1)依据平行四边形的性质，即可得至=

由折叠可得，ZA=NECG,即可得到NECB=ZFCG；

(2)依据平行四边形的性质，即可得出ZD=ZB,AD=BC,

由折叠可得，ND=NG,AD^CG,即可得至Ij/B=NG,BC=CG,

进而得出AEBCMAFGC.

【详解】(1”•四边形ABC。是平行四边形，

：.A=/BCD,

由折叠可得，ZA^ZECG,

:.NBCD=NECG,

:./BCD-NECF=ZECG-NECF,

:"ECB=/FCG；

(2)•••四边形A3。是平行四边形,

:.力=ZB,AD=BC,

由折叠可得，/D=/G,AD=CG,

:./B=/G,BC=CG,

又•；NECB=NFCG,

^EBC^FGC(ASA).

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，

全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质以及折叠的

性质是解题的关键.

26.图①、图②、图③均是6x6的正方形网格，每个小

正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1,点

4B、C、D、E、产均在格点上.在图①、图②、图③中，只用

无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶

点均在格点上，不要求写出画法.

（1）在图①中以线段A3为边画一个A48M,使其面积为

6.

（2）在图②中以线段8为边画一个A8N,使其面积为

6.

（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFG”，使其

面积为9,且NEFG=90。.

图①图②图③

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符

合题意的图形；

（2）直接利用三角形面积求法得出答案；

（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案.

【详解】解：(1)如图①所示，3即为所求;

(2)如图②所示，△«)四即为所求；

(3)如图③所示，四边形"G”即为所求；

【点睛】考核知识点：作三角形和四边形.利用三角形面

积公式求解是关键.

27.如图，矩形ABCD中，点E在边C。上，将ABCE沿BE折

叠，点。落在边上的点尸处，过点F作EG/CZ)交所于点G,

连接CG.

(1)求证：四边形CEFG是菱形；

(2)若A5=6,AO=10,求四边形C砂G的面积.

【答案】(1)详见解析；(2)y

【分析1(1)根据题意可得ABCEJFE,因此可得FG=EC,

又FG||CE,则可得四边形CEFG是平行四边形，再根据庭=此,

可得四边形CMG是菱形.

(2)设所=%,则CE=x,DE=6-x,再根据勾股定理可得

%的值，进而计算出四边形CEFG的面积.

【详解】(1)证明：由题意可得，

：.^BCE=ABFE,

；.NBEC=NBEF,FE=CE,

FG\\CE,

/.ZFGE=ZCEB,

NFGE=NFEG,

/.FG=FE,

FG=EC,

・•・四边形CEEG是平行四边形，

又<CE=FE,

.二四边形CMG是菱形；

(2)•.•矩形ABCD中，AB=6,AD=IO,BC=BF

；,NBAF=90°,AD=BC=BF^\0,

：.AF=8,

DF=2,

^EF=x,则CE=x,£>E=6-x,

ZF£>E=90°,

/.22+(6--x2,

解得，、=¥，

10

••・CrEr=-《■,

••・四边形的面积是：CE-DF=^x2=^-.

【点睛】本题主要考查菱形的判定，关键在于首先证明

其是平行四边形，再证明两条临边相等即可.

28.综合与实践

动手操作：

第一步：如图1,正方形纸片ABCD沿对角线AC所在

直线折叠，展开铺平.在沿过点。的直线折叠，使点3,点。

都落在对角线AC上.此时，点8与点。重合，记为点N,且

点E,点N,点少三点在同一直线上，折痕分别为。区CF.

如图2.

第二步：再沿4。所在的直线折叠，AACE与^AC尸重

合，得到图3

第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点尸重合,

如图4,展开铺平，连接£/，FG,GM,ME,如图5,图中

的虚线为折痕.

问题解决：

(1)在图5中，NBEC的度数是________,黑的值

DtL

是;

(2)在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由;

（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示

的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个

菱形：•

【答案】（1）67.5。；&；（2）四边形尸是矩形，理由

见解析；（3）菱形FGCH或菱形EMC"（一个即可）.

【分析】⑴由正方形的性质可得NB=90。，ZACB=Z

BAC=45°,根据折叠的性质可得NBCE=22.5。，继而可求得

/BECW.5。,在放"EN中，由登可得

AE

AE=OEN,即可求得嘤=得=逝；

DLL,乜N

（2）四边形EMG尸是矩形，理由如下：由折叠的性质可得

Z1=Z2=Z3=Z4=22.5°,CM=CG,ZBEC=ZNEC=ZNFC=

ZDFC=67.5°,MC=ME,GC=GF,Z5=Z1=22.5°,Z6=Z

4=22.5。，继而可得NME/三NGFE=90。，再根据等腰直角三

角形的性质可得NCMG=45。，由三角形外角的性质得N

BME=Z1+Z5=45°,根据平角的定义求得NEMG=90。，根据

有三个角是直角的四边形是矩形即可得到四边形EMGF是

矩形；

（3）如图所示，四边形EMCH是菱形，理由如下：先

证明四边形EMC”是平行四边形，再根据有一组邻边相等的

平行四边形是菱形即可证明平行四边形EMC”是菱形.（同理

四边形尸GCH也是菱形）.

【详解】（1）:四边形A3CZ）是正方形，

ZB=90°,NACB=g/BCD=45。,ZBAC=^Z

BAD=45°,

•・•折叠，

：./BCE=gNBCE=225。,BE=EN,NENC=/B=90°,

ZBEC=90°-22.5°=67.5°,/ANE=9。。,

在中，差:,

sin/EAN=AE

•.•E-N-=--V-2-«

AE2

:,AEfEN,

・••丝=空=也，

BEEN

故答案为：67.5°,V2；

(2)四边形EMG尸是矩形，理由如下：

四边形ABCD是正方形，I.ZB=ZBCD=ZD=90°,

由折叠可知：Z1=Z2=Z3=Z4=22.5°,CM=CG,

ZBEC=/NEC=/NFC二/DFC=675°,

由折叠可知：MH、G”分别垂直平分EC,FC,

:・MC=ME,GC=GF,

AZ5=Z1=22.5°,Z6=Z4=22.5°,

/MEF=/GFE=90。,

VZMCG=90°,CM=CG,

・•・NCMG=45。，

又丁ZBME=Z1+Z5=45°,

ZEMG=180°-ZCMG-ZBME=90°,

・•・四边形EMGb是矩形；

(3)如图所示，四边形EMC”是菱形，理由如下:

由(2)NBME=45°=ZBCA,

：.EM//AC,

•・•折叠,

:.CM=CH,EM=CM,

:.EM;CH,

：.EMUCH,

.•・四边形EMCH是平行四边形，

又CM=EM,

・•・平行四边形EMC”是菱形.

(同理四边形FGC”是菱形，如图所示

【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形

的判定，菱形的判定，解直角三角形等，正确把握相关知识

是解题的关键.

29.（1）如图1,菱形AEGH的顶点E、”在菱形ABCD的

边上，且㈤9=60。，请直接写出“DGUEB的结果（不必写计

算过程）

（2）将图1中的菱形绕点A旋转一定角度，如图2,

求HD:GC:EB；

（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3,且

AD-.AB^AH-.AE^1.2,此时GC:EB的结果与（2）小题的结

果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不

必写计算过程）；若无变化，请说明理由.

【答案】（1）(2)1:73:1(3)有变化，1:^:2

【分析】（1）连接AG,由菱形AEG〃的顶点E、”在菱形

ABCD的边上，且々4）=60。，易得A,G,C共线，延长"G交BC

于点例，延长EG交。。于点N,连接MN,交GC于点。，则GMCN

也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结

论；

(2)连接AG,AC,由AADC和AAHG都是等腰三角形，

易证与ADAH〜AOG与利用相似三角形的性质及

菱形的性质可得结论；

(3)连接AG,AC,易证AADC〜MHG和AAD”〜利

用相似三角形的性质可得结论.

【详解】(1)连接AG,

•.,菱形AEGH的顶点£、H在菱形A5CD的边上，且

ZBAD=60°,

.•.NG4E=NC4B=30。，AE^AH,AB=AD,

.-.A,G,C共线，AB-AE=AD-AH,

：.HD=EB,

延长”G交BC于点M,延长EG交力C于点N,连接MN,

交GC于点。，则GMCN也为菱形，

:.GC±MN,ZNGO=ZAGE=30°,

空=33。。=如，

GN2

GC=2OG,

GN1

,飞一忑'

•.•HGN。为平行四边形,

:.HD=GN,

：.HD:GC:EB=]：>/3A.

(2)如图，连接AG,AC,

AAOC和都是等腰三角形，

:.AD:AC=AH:AG=l：y/3,ZDAC=ZHAG=30°,

：.ZDAH^ZCAG,

:.MyAH~\CAG,

：.HD:GC=AD:AC=\:^/3,

ZDAB=NHAE=60°,

ADAH=ZBAE,

在ADAH和ABAE中，

AD=AB

<NDAH=NBAE

AH=AE

\DAHs^BAE(SAS)

：.HD=EB,

:.HD:GC:EB=T:布:1.

(3)有变化.

如图，连接AG,AC,

VAD:AB=AH:AE=\:2,ZADC^ZAHG=9^,

：.^ADC~AAHG,

AO:AC=AH:AG=1:石，

•：4DAC=4HAG,

:.ZDAH^ZCAG,

:.\DAH~\CAG,

:.HD:GC=AD:AC^\：45,

■.•ZDAB=ZHAE=90°,

ZDAH=ZBAE,

DA:ABHA:AE^1:2,

:.^ADH~MBE,

:.DH:BE=AD:AB=I:2,

:.HD:GC:EB=1:有：2

【点睛】本题是菱形与相似三角形，全等三角形，三角

函数等知识点的综合运用，难度较大.

30.如图，等边AABC中，43=6,点。在8C上，80=4,

点E为边AC上一动点（不与点。重合），ACDE关于QE的

轴对称图形为AFOE.

(1)当点尸在AC上时，求证：DF//AB；

(2)设AACD的面积为Si,的面积为S2,记5=515,

S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，

请说明理由；

(3)当B,F,E三点共线时。求AE的长。

【答案】(1)见解析;(2)s存在最大值，s最大值为6-3百；

(3)AE=1-岳.

【分析】(1)由折叠的性质和等边三角形的性质可得/

DFC=ZA,可证DF〃A6；

(2)过点。作。MLAB交A3于点由题意可得点

尸在以。为圆心，OR为半径的圆上，由△ACD的面积为5i

的值是定值，则当点尸在上时，最小时，S最大；

(3)过点。作。GLEF于点G,过点£作EH_LCD于

点〃，由勾股定理可求3G的长，通过证明△BGOsABHE,

可求的长，即可求AE的长.

【详解】解：(1);△ABC是等边三角形，

.・.ZA=ZB=ZC=60°,

由折叠可知：DF=DC,且点尸在AC上，

.•・/DFC=/C=60。,

：.ZDFC=ZA,

：.DF/