热学(秦允豪编)习题解答第四章 热力学第一定律

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普通物理学教程《热学》（秦允豪编）

习题解答

第四章热力学第一定律

4.2.1解：

W

V2V1

PdV

TC

P

RTvb

（1）PvbRT

vf

vfb

Wdvlnvbvivb

i

BB

PRT1PvRT1

vv（2）

RT

W

vf

vi

1vfB1RT1dvRTlnBRTvvivivf

4.2.2应用（4.3）式

W

V2

V1

PdV

且PV

PiVik

vf

PPiViV

W

VfVi

dVPiVi

PiViV

11

V

1

vi

故有：

1

11

PiViVf

1

Vi

1

（应用了

PiViPfVf

1

PV

f

f

PiVi

）

4.4.2（1）

P

RTvb

av

2

dv

WPdv

RTvb

v

a

2

dv

V2b11

aRTlnVbVV112

（2）

ucT

av

2

dQdu

CVd

dTdtVV当VC时，

Q

∴CVC

T2

T1

CdTCT

4.4.3水蒸气的凝结热即为定压状况下单位质量物质相变时吸收（或释放）的热量，在等压下此值即为比焓变化，即：

lVH

m

h2545.0100.592444.4kJ

（系统放热）

4.4.4铜升温过程，是等压过程

HQP

T2

T1

CPdT

2

T2

T1

1

abTdTaTbT

2

2

T1

T2

aT2T1

4

b2

T

22

T1

12

5.921200

2.31012003002.47107Jmol

1

2

300

2

4.4.5

QPhNH3

12

hN2

3

31

hH2291548669846846190.5Jmol222

1molO

1

4.4.6在定压状况下，1molH

5

2

和2

1

2

化合生成1mol水时吸收的热量为

QH2.85810Jmol

（系统放热Q'Q）

每产生一个水分子有两个电子自阴极到阳极，生成1mol水有2NA电子到阳极。总电量为

q21.6010

19

6.0210

23

C（q2NAe）

23

两极间电压为，Aq

AQ'

1.22921.6010

19

6.0210

5

2.85810

82.84%

4.4.7设1mol固体状态方程为：vv0aTbP，内能表示为：uCTaPT，

a,b,C,v0均为常数。

求：（1）molh（2）molC

P

,CV

解：（1）由摩尔焓定义huPvCTaPTPv0aTbP

hCTPv0bPHhhCP'C'CPP

TTTPPP（2）a）

2

∴

CP

T

CT

Pv0bP

2

PC

u

CV

TVb）

P

1b

vv0

aT

uCT

ab

vv0

aTT

abv0

2ab

2

CV

au

C

bTV

aT

vv0aT

C

a

2

ab

vT

（或）

C

ab

aTbPC

b

TaP

4.4.8因缓慢加热，可认为气体吸热膨胀是一个等压过程，质量为m的气体吸热

dQmCPdT（1）

PV

m

由

Q

RT

，

R

CP

m

T2

PV

RT

（2）PV

R

5

PV

∴

dTT

T1

CPln

T

2

T1

3

2910

3

1.011018.31

4.5.1（1）导热板固定，A中气体为等容加热；B中气体为定压膨胀，且为准静态的，搁板导热，TATBT

QCPTBCVTACPCVT

Q334.4

T6.71K

75CPCV6R68.31RR2255

QACVTRT8.316.71139.4J

22

QBQQA334.4139.4195J

0.9910ln

293273

24.710J

3

（2）隔板活动，A气体等压膨胀；隔板绝热，B中气体温度不变。QB0TB0QAQCPT

Q2Q2334.4

T11.50K

CP7R78.31

gh1

PP0dpdz1CTP0RT4.5.2利用，证明：

g

证明：（1）由绝热过程方程T

P

1

C

P1

TT0P0（1）

（2）将（1）代入dP表达中

dPP

RT0P

gP01

dZP

1

dPP

g

RT0

P

P01dz

→→

P

1

P0

P

dP

g

RT0

P0

1

h

dz

11P111

→

P0

g

RT0

1

P0

h

→

1

P1

1

P11ghg1

P0P0h1P0RT0

RT0→（2）

（3）注意到

CP

1

1

R

，即：1

CP

R（3）

P

P

（3）代入（2）0

1

gh

CPT0

gh1

PP01CTP0

CT

hP01

g

DIS：将（2）式整理，代（3）进可得

V

a0

P膨胀，证明

2

1

PP0

4.5.3理想气体按

V

a0

CCV

a0

2

TV。

证明：（1）将（2）

P整理得：PV

a0多方指数n2

2

QuACVT

1n1

P2V2P1V1CVTP2V2P1V1

CVT

M

M

RTCRVT

C

QT

（3）

CV

M

RCV

PVT

CV

PVTV

2

CV

a0

2

TV

NOT：

CV

M

CV

CV为热容量，CV为摩尔热容量。

C

RT

PVM

P

（4.67）

RT

u

1

CVTu0

1RT

u0

4.5.4注意到

1

（1）

1C

2

u0

u

∴

h

1

CPTH0

Const

1

RT

1R

（2）

1

TH0

1

H0

h

∴

Const1

1

C

2

P2

TP4.5.5（1）右则初态P0V0T0、终态P2V2T2，由绝热过程方程00

T2

（1）

Au右

1

P2CVT2T0CVT01P0

11

32727

T0CV1CVT01CVT0RT0

882R

CV2R

1（1.5）

1

2273

T2T0T0

38（2）由（1）式：

（3）左侧初态亦为P0T0V0，终态为P1V1T1∵活塞可移动，

P1P2

278P0

V2

RT2

P2

P0V0T0149

T2P2

P0V0T0

，由PVRT3T0

42V0

279

P08

V12V0V2V0

278

T1

P1V1P0V0

P0

149

V0

T0

T0

214

∴

P0V0

T0

12

（4）由第（1）所求，左侧对右侧作功

Qu右ACVT1T0

12

A

CVT0

CVT0

4.5.6过程很迅速，可认为是绝热的。

V1V2C，T1

T2

1

1919211

CVT1T0CVT0CVT0RT0

4242

由TV

1

1

，

5

V

1

43

r

3

T1

r2r1T

231r13103102

31.411546.4696m

DIS：该题估算的结果与r的取值相关性太大。（1）上面的运算取1.4,r2696m。

7

CPCV

52R1.4R

但当

，对应双原子，常温状况，显然与题意不合。

9

2

5

（2）若为双原子，取高温

r1r210

2

RR

97

1.286

2

1931

7

3232m

则：

（3）由此，按绝热膨胀模型对“火球〞半径的估算无实在意义。

4.5.7该题描述测方法是1929年Riichhardt设计的，简易描述为如图。令平衡位置y0，y向下为正。

（1）y0处，活塞受合力为零。

P0AmgPA0

PAP0Amg（1）

活塞偏离y0处，受合力不为零，当活塞运动至y0之下时，气体被压缩（可认为绝热的），气体压力变为P1A，且P1P

VyAV，故VdV，P可记为dP

有：P1PdP，活塞受合力

FP0AmgP1APAPdPAAdP

负号表合力方向与y反向，指向平衡位置y0。

气缸内气体变化过程可视为绝热过程，满足PV微分得：PV

1

C。

dVVdP0PdVVdP0

dP

2

P

V

因dVAy，上式化为：因此得：

FAdP

dV

APV

y

PAV

y

（2）

（2）式满足Fky，（准弹性力）活塞作简谐振动。（2）活塞活动的微分方程为：mdydt

22

Fky

2

mV

km

2

T

2

2

mk

PA

（3）

2

APT（3）将（3）式改写为：

4mV

2

2

4mV0

P0A

2

22

4.5.8（1）如图，水银总长度为h，y0处两边水银等高，为平衡位置。总质量为m，截面为A。水银密度

mAh

左管水银柱下y，则高差为2y，V2yA压强差为Pg2y指向y0处的回复力

FPAgA2y

mAh

2

gA2y

2mgh

yky

F是准弹性力，水银柱将作谐振动水银柱运动的微分方程为

mdydt

2

Fky

1

km，

T1

2

2

mk

2

h2g

DIS：考虑水银柱与地球系统的机械能守恒，得运动方程亦可求解。

中图为振动初态，全部水银静止，质量为mmax上升

ymax

，具

a

有

x的

mm

gymax

势能。

右为振动任意状态，全部水银以v

1

运动，具有2

动能，m为全部水银质量，m部分上升y，具有mgy的势能。由机械能守恒：

mgy

12mv

2

mv

2

mmaxgymax

v

dy

y

SmgSmhSmmaxymaxdt

1

2ymaxSgymaxConstySgyhSy2以上五式得：gy

2

12

hy

2

Const

hy0y2gyy

2g

（2）水银柱振荡时，右端被封闭气柱经历绝热过程，设水银柱平衡时，右端气柱长L，左

h

y

2g

y0

T1

2

2

h

端水银上升任意位置y时，右端气柱长度为Ly，由绝热过程：PyLySP0LS

其中P0

gh0

L

PyP01P0

Ly对微小振动yL可改写为

hyyy

PyP011P011P0P00gy

LLLL1

mgymv2mmaxgymaxAP

2由功能关系：

式中AP是由于右端空气压强AP

Py

与左端空气压强P0对水银柱作功之和，且

max

P

y

y

P0Sdy

或

dAPPyP0Sdy

将上述功能关系改写为：对t求导，将dAP代入：

ySgy

12

hSy

2

ymaxSgyAP

Shy2Sgyyy

dAPdt

PyP0Syh0L

P

把

y

P0

结果代入：

PyP02gyhy

y

gy

或

上式为右端封闭后，绝热条件下，水银柱作微小振动的运动方程，故水银柱作谐振动，

2h

hT21202

gh0g2g2ghLL

h2

T1h02g1Th2L2h0g

2gL（3）由T1和T2得：

h01

gy02g

hL

2LT1

h0T2

2

1

4.5.9（1）氮为双原子气体即：

CnCV

Rn1

2R

CV

5

52

R

，经历了多方过程Cn2R

Rn1

3

2

n

R2R

R

2

R

n1n3

故该过程满足的方程为PVCPVC

3

P

P0（2）由过程方程：P30V0

P4V0

64PV0

64

APdVC

dVV

3

1

2P3

110V0

16V2

0V2

0

1

215

PV158.31160032273.151064J（负号表对外作功）

u

M

CVT

52

RP2V2P1V1

5P024VP

6400V0

5P0V02

P

515P515160V0320V032RT0515328.31273.155320J

（内能减少）

Q

M

CnT

M

2RT2T12P2V2P1V1

2P0V0PV

15151600RT8088.31273.154256J

（系统放热）

DIS：uQA425610645320J故不必每一个量都求解。

Pn

1

V2

4.5.10（1）PVn

C

P2V1

lnP1nPln0.1020.05

1.191lnV2..2ln42.31

（2u

M

M5

CVT

2

RT2T1

52

P2V2P1V1

5

4.1103

0.510

5

2.3103

5

2

1.010

52

2.0510

2

2.310

2

62.5J（内能降低）

Q

M

T

CR5R

（3）

Cn其中：

nCV

n1

2

R

1.21

52

R

M5RT5

2T1P2V2P1V162.5J22

（4）uQA

AuQ62.562.5125J

4.5.11一定量理想气体，经历PabV（a、b为常数）的过程方程，求C。解：（1）PabVdPbdV（1）对一mol气体：PVRTPdVVdPRdT（2）

）

Vd由（2）式代入（1）：PVbdRdT

RTd

PbVdVRdT

或

PdV

RPdTPVb

dV

PVb

RPdT

2Pa（3）

RPdT2PabVbV

（2）由热力学第一定律微分表达式dudQdA

对一mol气体：CVdTCndTPdV（dQCndT为多方过程）将（3）式代入：

故：

CndTCVdTPdVCV

RP

2Pa（4）

RP2Pa

dT

CnCV

（3）由（4）式：CnCVfP该过程热容量不是常数。

4.5.12理想气体mol热容为

CmC0

a

T，求准静态过程方程。

解：由热力学第一定律微分表达式dudQdA

PdVCmdTCVdTPdVCVCmdT（1）由PVRT

dVV

P

RTV

CmC0

a

T代入（1）

CVC0

T

a

TdTCVC0dTadT

2

TT（2）

aT

RC0

RC0

aT

R

（2）两边积分

lnV

R

RlnVCVC0lnT

CV

C0

lnT

aT

aTT

CV

C0

ln

R

VT

CV

aTT

V

CV

e

即：e

V

Const

4.6.1（1）如图一，等温线T1与绝热线交于aPa,Va。PP

V由PVCPdVVdP0VT

PP0VVSV由PVCP

将上述两式代入a的参数，依题意：

dP

dV

Pa

aa

Pa

0.714

10.714

1.4

∴

CV

R

1

R0.4

52

R

（2）将PT图转化为PV图（二）该循环过程的功AA12A23A34

A120

A232P1V1V2RT12RT1RT1

V2P1

A34RT1ln2RT1lnRT1ln2

V1P1

ART1RT1ln2RT11ln20（该循环为正，循环

对外，系统作净功）（3）Q1Q31Q12

Q31RT1ln

V2V1

RT1ln2

52RT1

Q12CV2T1T1

21ln252ln2

AQ1

RT11ln2RT1ln2

2

52

RT1

5

3

4.6.2（1）AR3.1411010（2）

32

314J（0系统对外作功）32

210310

5

3

uCVTCTA3PCVCPaVa

5

3

210110

53

41010600J

（3）QABCuACAABC

AABC

12

RSAC311573110

2

3

210

5

557J

QABC6005571157J

（4）循环过程为PV图上的园，过程方程为：

PV122PV00

22

其中P05Nm

V

2

,V010

3

m（为标度），若改变P、

2

3

轴标度，循环过程为椭园，其过程为：

P2P02

2

PV

吸热和放热的转折点是绝热曲线与循环曲线的切点，如图。

dP

dP

dVdV循环绝热交（切）点处斜率应满足：

V

2V0

2

1

dydy

dx循dx绝22

y2x21循环曲线

yxConst绝热曲线VP

xy

V0P0则：令：

5

x2

yx

CPCV

2

32

RR

53

由此得：y2

转折点在循环曲线上，故其坐标x,y应满足的二元二次方程组为：

3xx25yy2022

x2y21

该方程组的两个解，即为两转折点M、N的坐标。

P

P0V

20

V

2

PV

2

P0V

20

Const

4.6.3ca过程方程

可改写为

9P0

Tb

故ca过程为多方过程，其多方指数n2。（1）QabCVTbTa且P0∴

Qab

32

R9T0T012RT0

TaTb9Ta

2

QbcCPTcTb且PV

T0

23

RTP

PC

2

C

P0

Tc

23

9P0

Tc27T0

Qbc

52

R27T09T045RT0

QacCnTaTcCnCV

R

3R

R

11

R

n123611

QcaRT027T047.7RT0

6

1（2）

Q2Q1

1

Qca

QabQbc

1

47.7RT012RT045RT0

1

47.757

16.3%

4.6.4解：（1）由图可知，两个循环绝热线一致，则：

Q2Q2

'

Q2

Q2RT2ln

'

V3V4

1234

AQ1A'

'1

AAQ2

A'

'2

11

T2T1T2T1

3

QA'Q12'3'4'

QQ2，由上两式得：注意到2

'

'

T1T1T2

'

A'A

'

T23732731

273473

42.3%

1.610800

273473K

'1（2）

T2T1

4.7.1解：设锅炉、地下水、暖水系统温度分别为T1、T2、T3，如图为热机Ⅰ和制冷机

Ⅱ组合而成的动力暖气装置示意图。

T1273210483KT227315288K

T327360333K

热机的效率

AQ1

1

T3

T3

Q1A1TT11

T2

Q2

T2T3T2

A

AT3T2制冷机的制冷系数

则暖气系统所得的热量为：

QQ3Q4Q1AAQ2Q1Q2

Q2

T3Q1Q1AQ11T3T2T3T2T1

TT2

13Q11

T3T2T1

TT2288333

13H1H11T3T2T1333288483

288150

H1H11.9863H45483

QT2

2

AT1T24.7.2（1）（其中AP）

（2）如下图，夏天空调制冷时为逆向卡诺循环，无论连续工作还是休止工作，其作功

T2

T2

装置提供的平均功率统记为P，显然连续工作时PP0极大，休