第3章 微分中值定理与导数的应用 第三节

本文格式为Word版，下载可任意编辑——第3章微分中值定理与导数的应用第三节

大学高数(同济版)

第三节

泰勒(泰勒(Taylor)公式)[f(x)=f(x0)+α]

1.设1.设f(x)在x0处续则连,有

f(x)≈f(x0)

x2.设f(x)在0处可,则导,2.设导有f(x)≈f(x0)+f′(x0)(xx0)[f(x)=f(x0)+f′(x0)(xx0)+o(xx0)]

x很小时,ex≈1+x,ln(1+x)≈x例如,例如,当很小时,

大学高数(同济版)

不足:,确切度不高;,误差不能估计.不足1,确切度不高;2,误差不能估计.问题:寻觅多项式问题寻觅多项式P(x),使得f(x)≈P(x)

差误R(x)=f(x)P(x)可计估函设数f(x)在有x0的区(a,b)内有到含开间具直

(n+1)阶数P(x)为项函导,多式数P(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)nn

差Rn(x)=f(x)P(x)误n

大学高数(同济版)

P和Rn的确定n分析:分析近似程度越来越好

1.若若

x0相

yy=f(x)

Pn(x0)=f(x0)2.若有一致的切线若有一致的切线

′Pn(x0)=f′(x0)3.若若一致

′Pn′(x0)=f′′(x0)

o

x0

x

大学高数(同济版)

P(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)++an(xx0)n2

n

假设

P

(k)n

(x0)=f1

(k)

(x0)k=0,1,2,,n0

a0=f(x0),

1a=f′(x),

2!a2=f′′(x0)

,n!an=f(n)(x0)1(k)(k=0,1,2,,n)得ak=f(x0)k!N阶接触代P(x)中入n得f′′(x0)P(x)=f(x0)+f′(x0)(xx0)+(xx0)2+n2!f(n)(x0)(xx0)n+n!

大学高数(同济版)

问题:附近的偏差如何估计?问题:Pn(x)与f(x)在x0附近的偏差如何估计?

泰勒(Taylor)中值定理泰勒(Taylor)中值定理假使函数f(x)在含有x0(Taylor)阶的导数,的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则内时,当x在(a,b)内时,有

f′′(x0)f(x)=f(x0)+f′(x0)(xx0)+(xx0)22!f(n)(x0)(xx0)n+Rn(x)++n!

f(ξ)n+1(xx0),其中Rn(x)=(n+1)!(n+1)

ξ在x0和x之间.

拉格朗日型余项

大学高数(同济版)

证明:证明:由设,Rn(x)在a,b)内具直(n+1)阶(设,假有到导,且数(′(x0)=Rn(x0)==Rnn)(x0)=0′′Rn(x0)=Rn

n1对两函数Rn(x)及(xx0)+在以x0及x为端点的区间上应用柯西中值定理,应用柯西中值定理的区间上应用柯西中值定理,得

Rn(x)Rn(x)Rn(x0)n+1=n+1(xx0)(xx0)0′Rn(ξ1)=(n+1)(ξ1x0)n(ξ1在x0与x之间)

大学高数(同济版)

′Rn(x)Rn(ξ1)=n+1(xx0)(n+1)(ξ1x0)n

(ξ1在x0与x之间)n

′再对两函数Rn(x)及(n+1)(xx0)在以x0及为端点的区间上应用柯西中值定理,为端点的区间上应用柯西中值定理,得应用柯西中值定理

ξ1

′′′Rn(ξ1)Rn(ξ1)Rn(x0)n=(n+1)(ξ1x0)(n+1)(ξ1x0)n0′′Rn(ξ2)(ξ2在x0与ξ1之间)=n1n(n+1)(ξ2x0)如此下去,次后,如此下去,经过(n+1)次后,得(Rn(x)Rnn+1)(ξ)=n+1(n+1)!(xx0)

xξ之间)(ξ在0

与n之间因而也在x0与x之间),

大学高数(同济版)

f(x)=P(x)+Rn(x)n∵P(n+1)n

(Rn(x)Rnn+1)(ξ)=n+1(n+1)!(xx0)

(x)=0,

∴R

(n+1)n

(x)=f

(n+1)

(x)

则由上式得

f(n+1)(ξ)n+1Rn(x)=(xx0)(ξ在x0与x之间)(n+1)!f(k)(x0)f(x)=∑(xx0)k+Rn(x)k=0k!称为f(x)按(xx0)的幂展开的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式.阶泰勒公式.n

大学高数(同济版)

说明:说明:泰勒公式变成拉格朗日拉格朗日中值公式1.当n=0时,泰勒公式变成拉格朗日中值公式

f(x)=f(x0)+f′(ξ)(xx0)(ξ在x0与x之间)

(n+1)2.若在有界,2.若在x0附近f+(x)有界,即存在常数M0,

使f(n+1)(x)≤M,则

Mn+1f(n+1)(ξ)n+1xx0,Rn(x)=(xx0)≤(n+1)!(n+1)!

Rn(x)=0,于是limnx→x0(xx)0n高阶的无穷小,即当x→x0时Rn(x)是比(xx0)高阶的无穷小,

n称为皮亚诺余项皮亚诺余项.记Rn(x)=o[(xx0)]—称为皮亚诺余项.

大学高数(同济版)

3.特别,取x0=0,此时泰勒公式称为麦克劳林公式.此时泰勒公式称为麦克劳林公式麦克劳林公式之间,于是余项余项为ξ在0与x之间,可写为ξ=θx(0θ1),于是余项为

f(n+1)(θx)n+1Rn(x)=x(0θ1)(n+1)!

麦克劳林(麦克劳林(Maclaurin)公式)

拉格朗日型余项

(n)′′(0)2ff(0)nf(x)=f(0)+f′(0)x+x++x2!n!n皮亚诺型余项+o(x)

f′′(0)2f(n)(0)nf(x)=f(0)+f′(0)x+x++x2!n!f(n+1)(θx)n+1x(0θ1)+(n+1)!

大学高数(同济版)

例1推导f(x)=ex的n阶麦克劳林公式.解

∵f

(k)

(x)=e,∴fx

(k)

(0)=1,k=0,1,2,,n

x2xneθxex=1+x++++xn+1(0θ1).2!n!(n+1)!2nxxx近似公式e≈1+x+++,2!n!een+1n+1误差Rn(x)=xx.(n+1)!(n+1)!11,例如取x=1,e≈1+1+++,2!n!3e.其误差Rn(n+1)!(n+1)!θxx

大学高数(同济版)

例2推导f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式.kππ(k)(k)解(sinx)=sin(x+k),f(0)=sin(),2f(2m)(0)=0,f(2m+1)(0)=(1)m,

2

13151n2n+1sinx=xx+x+(1)x+R3!5!(2n+1)!其中

sinξR=x2n+3,(2n+3)!

12n+3R≤x,(2n+3)!

131517x.例如,例如,sinx=xx+x+R,R≤3!5!7!

大学高数(同济版)

y=xy=sinx

大学高数(同济版)

y=xy=sinx

x3y=x3!

大学高数(同济版)

y=xy=sinxx3x5y=x+3!5!

x3y=x3!

大学高数(同济版)

xxxy=x+3!5!7!

3

5

7

y=xy=sinxx3y=x3!

xxy=x+3!5!

3

5

大学高数(同济版)

x3x5x7x9x11y=x++3!5!7!9!11!

y=sinx

大学高数(同济版)

常用函数的麦克劳林公式x2xnex=1+x++++o(xn)2!n!x3x5x2n+1sinx=x++(1)n+o(x2n+2)3!5!(2n+1)!2462nxxxnxcosx=1+++(1)+o(x2n)2!4!6!(2n)!x2x3xn+1ln(1+x)=x++(1)n+o(xn+1)23n+1

1=1+x+x2++xn+o(xn)1xα(α1)2α(α1)(αn+1)nα(1+x)=1+αx+x++x+o(

xn)2!n!

大学高数(同济版)