线线角线面角的向量求法

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线线角、线面角的向量求法

A．直线与直线所成的角向量求法

知识点设直线l，m的夹角为?(0???)，方向向量分别为u、v，则cos??2夹角的补角．

?|a?b||a||b|．

注意：当向量的夹角为锐角或直角时，异面直线所成的角等于此时的向量夹角；当向量的夹角为钝角时，异面直线所成的角则是向量

例1（P118页第10题）如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．

（1）求证：EF?CF；

（2）求EF与CG所成角的余弦值．

解：如下图，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D?xyz．则C(0,1,0)，由于E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点，

1111所以E(0,0,)，F(,,0)，G(1,1,)．

2222D1A1B1

C1

EG

DC

FAB

z1212（1）依题意EF?(,,?)，CF?(,?,0)，

1122112D1A1B1C1????由于EF?CF????????????0?0，所以EF?CF，即EF?CF．

222?2??2?1111E11?1?1?1??0?????EF?CG122?2?2?15，?（2）依题意CG?(1,0,)，由于cos?EF,CG??15|EF||CG|21111???1?0?4444GDAxFCBy所以EF与CG所成角的余弦值为15．15例2在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若AB?2BB1，求异面直线AB1与C1B所成角的大小．

解法一（向量法）：由于AB1?AB?BB1，C1B?C1B1?B1B，又AB?B1B，C1B1?BB1，?AB,C1B1??60?，|AB|?|B1C1|，所以

AB?1C1B?1?C1B?ABB1B?1B|?B|2AcBos60??|21B|B?|21B|B?|21B|B?所以0AB1?C1B，即AB1与C1B所成角为90?．．

z解法二（坐标法）：取AB的中点O为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系O?xyz，111以AB为长度单位，则由AB?2BB1，可知A(0,?1,2)，B(0,1,2)，B1(0,1,0)，C1(3,0,0)．2ABCA1C1x所以AB1?(0,2,?2)，C1B?(?3,1,2)，所以AB1?C1B?2?2?0．即AB1与C1B所成的角为90?．

自主体验

1．教材P111A组第1题

结果：（1）60?．（2）45?．

OB1y

1

选修2-1空间向量与立体几何

2．（119B组第1题）如图，平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，且?A1AB??A1AD?120?．求：

（1）AC1的长；（2）直线BD1与AC夹角的余弦值．

解：（1）由于AC1?AA1?AB?AD，

所以|AC1|2?(AA1?AB?AD)2?AA1?AB?AD?2AA1?AB?2AB?AD?2AD?AA1．由已知得：AA1?b2，AB?AD?a2，?AA1,AB???AA1,AD??120?，?AB,AD??90?，

所以AA1?AB?bacos120???ab，AA1?AD?bacos120???ab，AB?AD?0，所以|AC1|2?2a2?b2?2ab，即|AC1|?2a2?b2?2ab．（2）依题意得，AC?AB?AD，BD1?AA1?AD?AB，所以

AC?BD1?(AB?AD)?(AA1?AD?AB)?AB?AA1?AB?AD?AB?AB?AA1?AD?AB?AD??ab．

22222D1C1

A1B1D22CB

2A1212由于AC?2a，|BD1|2?(AA1?AD?AB)2?AA1?AD?AB?2AA1?AD?2AD?AB?2AB?AA1?2a2?b2，|BD1|?2a2?b2，所以

cos?BD1,AC??BD1?ACb?b?，所以BD1与AC夹角得余弦值为．222|BD1||AC|4a?2b22a?b2223．（教材112第8题）边长为2a的正方形ABCD的中心为O，过点O作

平面ABCD的垂线，在其上取点V，使OV?h．连接VA，VB，VC，VD，点E是VC的中点，且满足BE?VC．

求直线BE与DE所成角的余弦值．

解：取正方形中心为原点，分别以OA，OB，OV的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O?xyz．

由于正方形ABCD的边长为2a，垂线段VO?h，所以B(0,2a,0)，C(?2a,0,0)，V(0,0,h)，

D(0,?2a,0)，E(?V

E

DC

OB

zA2h2h2ha,?2a,)，DE?(?a,2a,)．a,0,)，得VC?(?2a,0,?h)，BE?(?2222222ha)?(?h)??0，解得h?2a．22VED由于BE?VC，即BE?VC?0，所以(?2a)?(?所以BE?(?2222a,?2a,a)，DE?(?a,2a,a)，因此2222C

OBy121a?2a2?a22??1．所以直线BE与DE所成角的余弦值为1．所以cos?BE,DE??2333a?3axAB．线面角的向量求法

知识点设直线l与平面?的夹角为?(0???)，直线的方向向量为v，平面?的法向量为n，

2则sin??|a?u|．

|a||u|?例1（2023年海南）如图，已知点P在正方体ABCD?A1B1C1D1的对角线BD1上，?PDA?60?．（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小．

2

A1D1

B1

C1

P

DC

选修2-1空间向量与立体几何

解：如下图，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D?xyz．

则DA?(1,0,0)，CC1?(0,0,1)，连接BD，B1D1．在平面BB1D1D中，延长DP交B1D1于H．设DH?(m,m,1)(m?0)，由已知?DH,DA??60?，由DA?DH?|DA||DH|cos?DH,DA?，可得2m?2m2?1．解得m?222，所以DH?(,,1)．222zD1A122?0??0?1?122?（1）由于cos?DH,CC1??2，所以?DH,CC1??45?，即DP与21?2HB1C1CC1所成的角为45?．

PD（2）平面AAD的一个法向量是DC?(0,1,0)．11D22?0??1?1?0122?，所以?DH,CC1??60?，可得DP与由于cos?DH,DC??21?2CyBAx平面AAD所成的角为60?．11Dz1SA?平面ABCD，SA?AB?BC?1，AD?．求直线SA与平面SCD

S2所成的角的正弦值．

解：以A为原点，建立如下图的空间直角坐标系A?xyz，由题设得A(0,0,0)，B(0,1,0)，

1C(1,1,0)，D(,0,0)，S(0,0,1)．

21212

例2如图，在底面是直角梯形的四棱锥S?ABCD中，?ABC?90?，yBA12C

D12x所以DC?(,1,0)，SD?(,0,?1)，SA?(0,0,?1)．设平面SCD的一个法向量为n?(x,y,1)，则n?D所C?x?y?0，n?SD?x?1?0．

SA?n|?1|6．所以直线SA与平面SCD所??6|SA||n|6以x?2，y??1，即n?(2,?1,1)．设SA与平面SCD所成的角为?．则sin??|cos?SA,n??成的角的正弦值为sin??6．6

自主体验（2023福建）在平面四边形ABCD中，AB?BD?CD?1，AB?BD，CD?BD．将△ABD沿BD折起，使得平面ABD?平面BCD，如图．

A（1）求证：AB?CD；

M（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

解：（1）由于平面ABD?平面BCD，平面ABD平面BCD?BD，AB?平面ABD，所以AB?平面BCD．又CD?平面BCD，所以AB?CD．

（2）过点B在平面BCD内作BE?BD，如图．由（1）知AB?平面BCD，

BE?平面BCD，BD?平面BCD，所以AB?BE，AB?BD．

BD

Cz以B为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．

依题意得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M(0,,)，则BC?(1,1,0)，BM?(0,,)，

11221122AMyD3

EBxC选修2-1空间向量与立体几何

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