《数字信号处理教学》傅里叶变换

数字信号处理

(DigitalSignalProcessing)

国家电工电子实验示范中心数字信号处理课程组编辑ppt3.1FT,FS;3.2DTFT；3.3抽样定理；3.4DFS；3.5DFT；3.6DFT的性质；3.7DFT的使用；3.8关于正弦信号的抽样傅立叶变换是信号分析与处理的基本工具第3章离散傅里叶变换CUST编辑ppt1.傅立叶级数3.1连续信号的傅立叶变换FSCUST编辑ppt傅立叶系数是第次谐波的系数，所以在频率坐标轴上是离散的，间隔是。CUST编辑ppt2.傅立叶变换：FTFS：若是非周期信号，可以认为：CUST编辑ppt由有频谱密度CUST编辑pptCUST编辑ppt1.对应连续非周期对应连续周期；2.连续离散3.密度强度FTFS请深刻理解FS和FT的定义，及它们的区别与联系！CUST编辑pptFT存在的必要条件：说法1：说法2：因为CUST编辑ppt因为所以，如果是绝对可积的，那么它一定是平方可积的，但是反之不一定成立。例如，是平方可积的，但不是绝对可积的。所以，取更稳妥（即更严格）。CUST编辑ppt周期信号：可以实现傅里叶级数的分解，属于功率信号；非周期信号：可以实现傅里叶变换，属于能量信号；？那么，周期信号可否实现傅里叶变换在经典数学的意义上是不可实现的，但在引入了奇异函数后可以实现。CUST编辑ppt周期信号FSCUST编辑ppt例：令求其傅立叶变换。因为：所以，严格意义上的傅立叶变换不存在，可将其展开为傅立叶级数：现利用函数将作傅立叶变换：CUST编辑pptFSFT线谱CUST编辑pptDiscreteTimeFourierTransform,DTFT3.2离散时间信号的傅里叶变换DTFT和Z变换的关系！（一）定义CUST编辑ppt1.

是离散的，所以变换需要求和；2.是的连续函数；3.是的周期函数，周期为；4.存在的条件是空间（二）特点CUST编辑ppt可以看作是将在频域展开为傅立叶级数，傅立叶系数即是；5.DTFT7.由可以得到的幅度谱、相位谱及能量谱，从而实现离散信号的频频分析；6.是在单位圆上取值时的变换：CUST编辑ppt8.反变换CUST编辑ppt四种傅立叶变换:时域频域1.连续非周期连续非周期()FT2.连续周期

离散非周期()FS3.离散非周期连续周期（）DTFT4.离散周期离散周期DFS

？切实理解四种FT之间的对应关系CUST编辑ppt四种傅立叶变换CUST编辑ppt（三）性质1.线性2.移位3.奇偶、虚实性质CUST编辑ppt如果是实信号，即如果是实偶信号，即则是的实函数！CUST编辑ppt4.如果则：5.如果则：时域卷积定理频域卷积定理！CUST编辑ppt6.时域相关定理互相关：自相关：自相关函数的DTFT始终是的实函数！DTFTCUST编辑ppt7.Parseval’s定理

注意：Parseval’s定理有着不同的表示形式；：上述关系只对能量信号成立；：能量谱CUST编辑ppt8.Wiener—Khinchin定理对功率信号，其自相关函数定义为：定义：功率谱CUST编辑ppt说明：1.在内的积分等于信号的功率，所以称为功率谱，同理，为能量谱；2.始终是的实函数；3.相关函数和功率谱是随机信号分析与处理的主要工具，它们都需要靠“估计”得到，这就形成了丰富的“估值理论”。CUST编辑ppt4.思考：由功率谱是否可以得到原信号？CUST编辑ppt例1：（四）应用CUST编辑ppt越大，主瓣越窄函数过零点CUST编辑ppt例2.信号截短：令：则：是周期的线谱，与卷积后，频谱将发生失真，影响其分辨率(Resolution)注意：所有有限长的信号都应看作一 无限长的信号和一矩形窗相乘 的结果。关键是对频域的影响。CUST编辑ppt两个线谱和函数的卷积：CUST编辑ppt窗函数频谱：峰值左、右第一个过零点之间的距离称为主瓣，

主瓣外第一个峰值称为边瓣。我们希望主瓣的宽度

越小越好，边瓣的幅度越小越好。若想分辨出

两个谱峰，数据的长度：是矩形窗主瓣的宽度CUST编辑ppt例3:低通高通相频？？？CUST编辑ppt3.3抽样定理CUST编辑ppt现研究信号抽样的数学模型：请掌握公式的推导！FTDTFT的性质CUST编辑ppt周期延拓，无穷迭加迭加后可能产生的影响CUST编辑ppt或要求：若保证相等则可保留全部信息即：抽样频率至少要等于信号最高频率的两倍。此即抽样定理。Nyquist抽样定理，或Shannon抽样定理CUST编辑ppt如何保证？1.做频谱分析，了解的行为；2.使用抗混迭滤波器，限制的范围。：抽样频率；：折迭频率；如果抽样频率不满足要求，将出现频谱的混迭（Aliasing),将无法恢复原信号。CUST编辑ppt如何由重建出

工程上：使用D/A转换器；在满足抽样定理的情况下，的一个周期即等于，因此，可截取之。?理论上：导出如下：CUST编辑ppt其余为零插值函数插值公式权CUST编辑ppt如何对作频谱分析显然：因为是离散的，故频谱是周期的；因为是周期的，故频谱是离散的；

即：

的频谱应是离散的、且是周期的。但：是功率信号，不能直接作DTFT；3.4离散傅立叶级数（DFS）周期序列?CUST编辑ppt离散、非周期FS:离散化CUST编辑ppt离散、周期周期?CUST编辑ppt即：是周期的，周期是，间隔是是周期的，周期是，间隔是所以，各取一个周期，有：此即DFS!CUST编辑pptDFS中，仍取无穷长，实际上没必要！改为此即DFT!CUST编辑ppt从实际上，当我们在计算机上实现信号的频谱分析时，要求：时域、频域都是离散的；时域、频域都是有限长；FT、FS、DTFT、DFS都不符合要求但利用DFS的时域、频域的周期性，各取一个周期，就形成新的变换对：从原理上，和的各自一个周期即可表示完整的序列；但DFT并不是“第五种”傅立叶变换！为什么要由DFS过渡到DFT？CUST编辑ppt这一对式子，左、右两边都是离散的，有限长，因此可方便地用来实现频谱分析。但使用时，一定要想到，它们均来自DFS,即和都是周期的！3.5离散傅立叶变换（DFT）CUST编辑pptDFT的图形解释CUST编辑pptZ变换、DTFT、DFT的取值范围CUST编辑ppt关系：CUST编辑pptDFT的性质：1.线性

2.正交性正交阵CUST编辑ppt3.循环移位CUST编辑pptCUST编辑ppt为实序列：4.奇、偶、虚、实对称性质复序列纯虚序列？CUST编辑ppt5.Parseval’s定理6.循环卷积线性卷积都是点序列当和DFT联系起来时，注意到都是以为周期的周期序列。移位时移进也有出。CUST编辑ppt

循环卷积定义为：点序列循环卷积定理CUST编辑pptDFT对应周期信号，所以，，及都是周期的！循环矩阵为什么有循环卷积?CUST编辑ppt3.6用DFT计算线性卷积都是非周期如何用DFT来实现？DFT有快速算法存在什么矛盾CUST编辑ppt补零补零DFTDFT相乘IDFTCUST编辑ppt

没有全部进入，如何实现卷积全部进入再卷积，又如何保证实时实现长序列卷积的计算：数字信号处理的优势是“实时实现”，即信号进来后，经处理后马上输出出去。然而：？CUST编辑ppt关键是将分段和卷积将分成段，每段长?CUST编辑pptOverlap—addmethod叠接相加法Overlap—savemethod叠接舍去法自己看书及使用MATLAB文件来掌握另外：较短（FIR：长度在20～50之间，IIR:尽管无限长，但有限长度要小于50），可能很长，也不适宜直接卷积。CUST电子信息工程学院CUST编辑ppt一、分辨率分辨率问题是信号处理中的基本问题，包括频率分辨率和时间分辨率。

频率分辨率：通过频域窗观察到的频率宽度；时间分辨率：通过时域窗观察到的时间宽度；3.7与DFT有关的几个问题窗函数的“宽度”越小越好！窗函数的“宽度”能随信号的变化 自适应当调整！希望CUST编辑ppt频率分辨率又可定义为：将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力。频率分辨率：一是取决于信号的长度，二是取决于频谱分析的算法。时间和频率是描述信号的两个主要物理量，它们通过傅里叶变换相联系。FTDTFTCUST编辑ppt对FT:

设

长度为，则的分辨率？主瓣宽度反比于时间长度CUST编辑ppt对DTFT:

设抽样间隔为，则主瓣宽度反比于时间长度CUST编辑ppt对矩形窗，，其他类型的窗函数，这为数据长度的选择提供了依据。

用计算机分析和处理信号时，信号总是有限长，其长度即是矩形窗的宽度，要想分辨出处的两个频谱，数据长度必须满足：“物理分辨率”：取决于信号的有效长度。CUST编辑ppt对DFT:此为相邻两点的频率间隔，也是最大分辨“细胞”。若要分辨出处的两个谱峰，必须大于。CUST编辑ppt例：试确定将三个谱峰分开所需要的数据的长度。在本例中，最小的CUST编辑ppt由有即要想分辨出这三个谱峰，数据的长度至少要大于1000，从DFT的角度看若令则CUST编辑ppt下图，分别等于256和1024，可见，时无法分辨三个谱峰。CUST编辑ppt使用DFT的步骤：由信号的最高频率确定抽样频率；

根据分辨率的需要，确定数据长度；

根据DFT的结果，再适当调整参数。

要根据分辨率的要求确定模拟信号的长度,

若可以无限长，则DFT和线性卷积是信号处理中两个最重要的基本运算，有快速算法，且二者是“相通”的。CUST编辑ppt不变，若增加,“计算分辨率”如何增加数据的点数？提高抽样率；在数据后面补零。能提高分辨率吗！不能提高分辨率CUST编辑ppt

不能提高分辨率，没有增加数据有效长度！例：令在正频率处应该有三根谱线。数据后补零的影响：为什么要补零？数据过短，补零后可起到一定的插值作用；使数据长度为2的整次幂，有利于FFT。CUST编辑ppt（几根谱线？）补个零（？）补7个零补29个零三个正弦CUST编辑ppt二、DFT对FT的近似问题的提出：是否是的准确抽样？原：频谱：

抽样：频谱：截短：频谱：

只要满足抽样定理；做DFT时数据的长度保证所需的频率分辨率；则是的极好近似。CUST编辑ppt为什么不是的准确抽样关键取决于信号时宽－带宽的不定原理：

信号的时宽信号的带宽信号时宽－带宽积(UncertaintyPrinciple)或：？CUST编辑ppt所以，若信号是有限时宽的，那么在频域必然是无限带宽的，反之亦然。这一现象也可从加窗的角度来理解，即矩形窗的频谱是无限宽的。这一现象，来自傅立叶变换的性质：FTFT做DFT时，总不可避免的取有限长，“有限长”带来了对的近似。CUST电子信息工程学院CUST编辑ppt要求：1.由图3.7.3，搞清（3.7.8)~(3.7.14)式的含义；CUST编辑ppt总结在导出DFT的过程中，有几个“周期延拓”？3.理解例3.7.4和例3.7.5;4.思考：什么情况下，是的准确抽样？?CUST编辑ppt问题的提出：3.8关于正弦信号的抽样抽样定理对正弦信号成立否？CUST编辑ppt问题是：正弦信号的带宽为零！窄带信号抽样定理：若信号的频谱仅在的范围内有值，我们称该信号为窄带信号。若保证，则可由恢复。抽样定理对正弦信号成立否？CUST编辑ppt问题的关键是由于正弦信号是一类特殊的信号，特殊在它是单频率信号，带宽为零，所以要单独考虑。又：？正弦信号抽样的不确定性CUST编辑ppt几点建议：

1.抽样频率应为正弦频率的整数倍；2.抽样点数应包含整周期，数据长度最好是2的整次幂；3.每个周期最好是四个点或更多；4.数据后不要补零。按以上要求，对离散正弦信号做DFT得到的频谱正好是线谱，完全等同于连续正弦信号的线谱。CUST编辑ppt3.9二维傅立叶变换多用于图像处理：CUST编辑ppt先对行作DFT，作次，对其中间结果，再对列作变换，作次。或反之。CUST编辑ppt例：2－DHamming窗及其频谱时域窗频谱CUST编辑ppt3.11Hilbert变换信号处理中重要的理论工具CUST编辑ppt有何用途？CUST编辑ppt令：的解析（Analytic)信号CUST编辑ppt解析信号的频谱只有正频率成分！显然，若对抽样，抽样频率可降低一倍。另外，做时－频分析时，可减轻正、负频率处的交叉干扰。CUST编辑p