2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练专题03 立体几何大题基础练（解析版）

2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练【一专三练】专题03立体几何大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2022·河北·校联考模拟预测）在斜三棱柱中，是等腰直角三角形，，平面底面，.(1)证明：；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直判定定理，性质定理解决即可；（2）根据空间向量法计算出二面角的余弦值，再求出二面角的正弦值即可.【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示：∵是等腰直角三角形，∴，且，∵平面底面，平面底面平面，∴平面，∵平面，∴，∵，∴，∴，（符合勾股定理），∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.（2）由（1）知，可以建立分别以为轴的空间直角坐标系，则，又因为斜三棱柱中，，所以，所以，设平面的法向量，则，令，则，∴平面的法向量，设平面的法向量，则，令，则，∴平面的法向量，设二面角的平面角为，则.所以，故二面角的正弦值为.2．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点.(1)证明：平面；(2)求点A到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)利用等体积法求解.【详解】（1）连接交于点，连接，则有为的中点，M为的中点，所以，且平面，平面，所以平面.（2）连接,因为，所以,又因为平面，平面，所以，,所以平面,又因为平面,所以,又，所以是等腰直角三角形，,所以,,设点A到平面的距离为，因为,所以,所以.3．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得.(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明出线面垂直，得到，进而证明出平面；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值，进而求出正弦值.【详解】（1）证明：∵是边上的高，∴，∵，平面，平面，∵平面，,又平面，∴平面；（2）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，垂直ADB平面为z轴，建立空间直角坐标系，，则，，设平面与平面的一个法向量分别为，故，解得：，令，得：，则，，解得：，令，则，故，设二面角平面角为，显然为锐角，，.4．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC中（如图1），∠A=90°，点E，F分别是AB，BD的中点，将△ABC沿AD折叠得到图2所示图形，设是平面EFC和平面ACD的交线．(1)求证：⊥平面BCD；(2)求平面ACD和平面BCD夹角的余弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)0【分析】（1）由中位线证明出，再证明出平面，从而得到⊥平面；（2）在第一问的基础上得到面面垂直，得到夹角余弦值.【详解】（1）因为E，F分别是AB，BD的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为是平面和平面的交线．平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为，所以平面；（2）由（1）知：平面，因为平面，所以平面⊥平面，故平面ACD和平面BCD夹角的余弦值为.5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）三棱柱中，，，线段的中点为，且.(1)求与所成角的余弦值；(2)若线段的中点为，求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量法求异面直线所成角即可，（2）由（1）建立的空间直角坐标系利用法向量求二面角的余弦值即可.【详解】（1）在线段上取一点，使，在三棱柱中，，在中，因为，是的中点，所以，所以，因为平面，所以平面.在中，由余弦定理得：，所以，所以，以为原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，设，因为所以，设直线与所成的角为，所以.（2）因为线段的中点为，所以设平面的一个法向量，因为，所以，令，则，所以.由（1）平面，平面，所以平面平面，又平面平面又，平面，平面，所以平面，所以为平面的一个法向量，而在轴上，所以取平面的一个法向量，设二面角的平面角为，由图可知：为锐角，所以.所以二面角的余弦值为.6．（2023·福建莆田·统考二模）如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，．(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积为0得到，，从而证明出线面垂直；（2）求出两平面的法向量，求出平面夹角的余弦值.【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以，又因为，，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为为正方形，所以，故以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，因为，，所以，，因为平面，，所以平面，（2）由（1）可知：平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，解得：，令，则，所以，设平面与平面夹角为，故，故平面与平面夹角的余弦值为.7．（2023·辽宁·校联考一模）如图，四棱锥中，底面是菱形，底面，，M为的中点，且平面平面.(1)证明：；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）过做，由面面垂直性质定理可得平面，即，由底面，可得，再根据线面垂直判定定理可得平面，进而得；（2）由（1）结论建立合适的空间直角坐标系，假设，根据长度角度关系，找出各个点的坐标，分别求得平面和平面的法向量，根据法向量夹角的余弦值的绝对值即为二面角大小的余弦值的绝对值，进而求出其正弦值即可.【详解】（1）解：因为底面，所以，在平面内过做，垂足为，如图所示：因为平面平面，交线为，且有，平面，所以平面，因为平面，从而，因为，平面，平面，所以平面，于是；（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，在平面中，过做平行于的直线为轴，记，建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面是菱形，且M为的中点，所以，由（1）知，所以，所以，又有，故可得，，，，于是，，，设为平面的法向量，则，即，取，可得；设为平面的法向量，则，即，取，可得，因为，所以二面角的正弦值为.8．（2022·河北邯郸·统考二模）如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC为等腰直角三角形，且，△ABP是正三角形．(1)若，求证：平面ABP⊥平面ABC；(2)若直线PC与平面ABC所成角为，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明过程见解析；(2).【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式,结合线面角、面面角的定义进行求解即可.(1)设的中点为，连接，因为，所以，因为△ABP是正三角形，所以，因此，而平面，所以平面，而平面，所以，因为△ABC为等腰直角三角形，且，所以，而平面ABP，所以平面ABP，而平面ABC，所以平面ABP⊥平面ABC；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则有，因为△ABP是正三角形，所以该三角形的高为，于是有，设平面ABC的法向量为，，因为直线PC与平面ABC所成角为，所以，而，解得：，，即，设平面的法向量为，，，所以有，.9．（2023·江苏·统考一模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，E是的中点.(1)求证：平面；(2)点P在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据线面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算表示线面夹角即可求解.【详解】（1）因为四边形为菱形，所以，又因为，，平面，，所以平面.（2）取的中点O，连接，四边形为菱形，且，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，又因为，，所以平面.取中点D，连结，以O为原点，，，为空间基底建立直角坐标系.则，，，，所以，.设平面的一个法向量为，所以，令，则，，所以.设，可得点，.由题意解得或（舍），即.10．（2022·山东·潍坊一中校考模拟预测）在如图所示的多面体AFDCBE中，平面BCE，，，，，．(1)在线段BC上是否存在一点G，使得平面AFC？如果存在，请指出G点位置并证明；如果不存在，请说明理由；(2)当三棱锥的体积为8时，求二面角的余弦值．【答案】(1)存在，点为中点，证明见解析(2)【分析】（1）先找到G点位置，由面面平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，由体积求解边长，用空间向量求解二面角.【详解】（1）存在，点为中点，理由如下：取线段AB的中点H，连接EH、HG、EG．∵，，∴四边形AHEF是平行四边形，∴．又∵平面AFC，平面AFC，∴平面AFC．∵H、G分别为AB、BC的中点，∴HG是的中位线，∴．∵平面AFC，平面AFC，∴平面AFC．∵，HG、平面EHG，∴平面平面AFC．∵平面EHG，∴平面AFC．（2）设，由，可得．以E为坐标原点，EC、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题可知，，，，，，．设平面AFC的法向量为，则，令，得，，所以平面AFC的一个法向量为．设平面AFD的法向量为，则，令，得，所以平面AFD的一个法向量为．，由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为．11．（2022·山东日照·校联考二模）如图，等腰梯形ABCD中，，，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且.(1)证明：平面平面ADC；(2)若M为PD上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）在梯形中，取的中点，证明四边形为平行四边形，再根据圆的性质得出，利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，由得出，利用向量法即可得出二面角的余弦值.【详解】（1）在梯形ABCD中取AD中点N，连接CN，则由BC平行且等于AN知ABCN为平行四边形，所以，由知C点在以AD为直径的圆上，所以.又，，平面平面又平面平面平面.（2）取AC中点O，连接PO，由，可知，再由面面ACD，AC为两面交线，所以面ACD，以O为原点，OA为x轴，过O且与OA垂直的直线为y轴，OP为z轴建立直角坐标系，令，则，，，，由，得，所以，设平面ACM的法向量为，则由得，取得，，所以，而平面PAC的法向量，所以.又因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为.12．（2022·湖北武汉·武汉二中校考模拟预测）如图（1），平面四边形中，，，，将沿边折起如图（2），使，点，分别为，中点．(1)判断直线与平面的位置关系，并说明理由；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)平面，理由见解析(2)【分析】（1）由勾股定理逆定理得到，进而证明出平面，得到，结合可证出平面，再由平行关系得到结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角.（1）平面，理由如下：在中，，，由勾股定理得：，因为，，可得，所以，又由，且，平面，所以平面，又因为平面，所以，又由，且，平面，所以平面，又因为，分别为，中点，可得，所以平面．（2）以为原点，CD所在直线为x轴，射线为轴建立如图直角坐标系，则，，，，可得，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，故二面角的正弦值为.13．（2022·湖北·校联考模拟预测）如图，四棱台中，上底面是边长为1的菱形，下底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD且(1)求证：平面平面；(2)若直线AB与平面所成角的正弦为，求棱台的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意利用线面垂直的定义与判定可证平面；（2）利用空间向量，根据线面夹角可得，利用台体体积公式计算求解．【详解】（1）∵菱形ABCD对角线相互垂直，∴∵平面ABCD，平面ABCD，∴∵，平面，平面∴平面∵平面∴平面平面（2）设，则且∴且，∴平面ABCD以O为原点，OA、OB、所在的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图，则，设，则，，，设平面的一个法向量则可得，取，得由题整理得，则∴，∴14．（2022·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，.(1)证明:；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，平面，进而即得；（2）利用坐标法，根据二面角的向量求法即得.（1）∵点在平面内的射影在上，∴平面，又平面，∴，∵，，平面，∴平面，平面，∴，∵，四边形为平行四边形，∴四边形为菱形，故，又，平面，∴平面，平面，∴；（2）以C为坐标原点，以为x轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，∴，设平面的法向量，则，取，则，又因为平面的法向量为，故，所以二面角的余弦值为.15．（2022·湖北十堰·丹江口市第一中学校考模拟预测）如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成锐角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）作出辅助线，求出，由勾股定理逆定理得到，进而得到线面垂直，得到，从而得到平面，得到，最终证明出平面，得到面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接，因为，所以，因为，所以，由勾股定理得：，因为，故，所以，又，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知两两垂直，以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．，由平面知是平面的一个法向量．设平面的法向量为，由得：，解得：，令，则，故，设平面与平面所成锐角为，即，所以平面与平面所成锐角的余弦值为．16．（2022·湖南岳阳·统考三模）如图，在四棱锥中，底面是菱形，是的中点．(1)证明：平面；(2)若直线平面，，且与平面所成的角正弦值为，求锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线线平行推出线面平行即可证明.（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由与平面所成的角正弦值求出平面ACD的法向量，即可求出锐二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接交于易证为中点，又是的中点所以又面，且不在面内故平面（2）取PC中点为Q，以为坐标原点，为x轴，OC为y轴，OQ为z轴建立空间直角坐标系，设OB=m，则设平面的法向量为由，令，有由与平面所成的角正弦值为平面ACD的法向量为则锐二面角的余弦值为17．（2022·湖南·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上的一动点.(1)求证：当点为线段的中点时，平面；(2)当点位于线段的什么位置时，与平面所成角的正弦值为，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)当或时，与平面所成角的正弦值为，理由见解析【分析】（1）根据，可证平面，再证；（2）设可得，再求平面的一个法向量为，代入线面夹角整理求解．（1）连接，，∵点为线段的中点，四边形为矩形，∴，，三点共线，则点为的中点.∵点，分别为和的中点，∴.在直三棱柱中，，∴平面，又平面，∴.又，∴四边形为正方形，∴.∵，∴平面.∵，∴平面.（2）以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，设，∴，即，∴.设平面的一个法向量为，，.由，得，令，得，又.设与平面所成角为，由题意得，求得或.故当或时，与平面所成角的正弦值为.18．（2022·湖南长沙·长郡中学模拟预测）如图，已知直三棱柱，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，.(1)若，试证；(2)在（1）的条件下，当时，试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值为【答案】(1)证明见解析(2)为的三等分点靠近或与重合【分析】（1）先证平面，得，结合已知条件得出，根据及勾股定理的逆定理，得出，进而得出平面，即证；（2）建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量和直线的方向向量，再由向量的夹角公式可求出线面角，即可求解该问题.【详解】（1）证明：在中，因为为中点且，所以，因为平面平面交线为，所以平面，平面，所以，因为，分别为，的中点，所以，所以，在直角和直角中，因为，，所以，所以，所以，所以，，又平面，平面，所以平面，平面，所以.（2）平面，由（1）得，，三线两两垂直，以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系如图，则，，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，即，令得，，设，，则，所以，，设直线与平面所成的角为，则，化简得：解得：或，即：为的三等分点靠近或与重合时，线段与平面所成角的正弦值为.19．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，已知，是的中点.(1)求证：平面平面；(2)若，求平面与平面夹角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两平面夹角的余弦值，进而得到正弦值.【详解】（1）因为，是的中点，所以，因为，是的中点，所以，因为，，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）设，因为，所以，又，所以，所以.如图，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面的法向量为，则即令，可得，，所以平面的一个法向量为.易知平面，所以平面的一个法向量为，所以，因为，所以平面与平面夹角的正弦值为.20．（2022·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点，.(1)证明：；(2)求当面与面所成的二面角的正弦值最小时，三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据直三棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、性质建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积坐标表示公式进行运算证明即可；（2）利用空间向量夹角公式，结合三棱锥的体积公式进行求解即可.(1)因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，底面，所以，因为，所以，又，平面，所以平面.所以两两垂直.以B为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.所以.由题设.（1）因为，所以，所以；(2)设平面的法向量为，因为，所以，即.令，则.因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则.当时，取最小值为，此时取最大值为，所以，此时，三棱锥的体积.21．（2022·广东·统考模拟预测）如图，已知，，，平面⊥平面，，，F为的中点．(1)证明：平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，证明线线平行，进而证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【详解】（1）证明：取AC中点G，连接FG，BG．因为F为AD的中点，所以∥，．又由题意知，所以，则四边形BEFG平行四边形，所以．因为平面BCDE⊥平面ABC，平面平面ABC＝BC，面BCDE，∠DCB＝90°，所以DC⊥平面ABC．又平面ABC，所以DC⊥BG．又AB＝BC，G为AC的中点，所以AC⊥BG．因为面ACD，面ACD，所以BG⊥平面ACD．前面已证∥，所以EF⊥平面ACD．（2）由（1）知BE⊥平面ABC．因为AB⊥BC．BE//CD．所以AB，BC，BE两两垂直．以点B原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则，，，，．设平面ABD法向量为，则，所以，取z＝1，则．设平面ACE的法向量为，则，所以，令，则．所以，即平面ACE与平面ABD所成锐二面角的余弦值为．22．（2022·江苏·统考二模）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，是边长为2的等边三角形，，.(1)求证：平面平面；(2)求平面和平面所成锐二面角的大小.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、勾股定理、面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）取中点为，连接，，则在等边三角形中，，又因为，，､面，所以面，因为面，所以，又，，所以，，，所以，即，又，､面，所以面，又因为面，所以面面；（2）以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，由（1）知面的法向量为，设面的法向量为，则，，所以面和面的二面角的余弦值为，所以面和面的二面角为.23．（2022·江苏南通·校联考模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是4长为的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为PA的中点，PA＝PD＝．(1)求证：PC∥平面BMD；(2)求二面角M－BD－P的大小．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】连接AC交BD于N，连接由三角形中位线知MN∥PC即得证；取AD的中点O，连接OP，说明OP、OD、ON两两相互垂直，则分别以OD、ON、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求出二面角的大小.【详解】（1）连接AC交BD于N，连接在正方形ABCD中，，∴N是AC的中点.又M是AP的中点，∴MN是的中位线，，∵面BMD，面BMD，∴∥平面BMD，（2）取AD的中点O，连接OP，在中，，O是AD的中点，∴，又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，∴平面在正方形ABCD中，O，N分别是AD、BD的中点，∴，∴OP，OD，ON两两相互垂直，分别以OD，ON，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，∴，，设平面MBD的一个法向量，则，即取，得，∴是平面MBD的一个法向量：同理，是平面PBD的一个法向量，∴，设二面角的大小为，由图可知，，，且为锐角，∴，故二面角的大小是24．（2022·江苏徐州·统考模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点，．(1)证明：平面；(2)点E在棱上，若，二面角的大小为，求实数的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意可得，结合面面垂直的性质定理可证平面；（2）利用空间向量，根据可得再结合二面角代入计算．(1)在中，因为，O为的中点，所以．又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．(2)在中，因为，，O为的中点，所以．以O为坐标原点，为y轴，为z轴，过O且垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则，，，，所以．设平面的一个法向量为，因为．则取．平面的一个法向量为，由二面角的大小为，．解得．25．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，为侧棱上的点．(1)当为的中点时，求证：平面；(2)若平面与平面所成的锐二面角为，求的长度．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，连接，，为的中点，再根据条件证明四边形为平行四边形即可求解；（2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，再利用二面角的空间向量法求解即可.【详解】（1）取中点，连接，，为的中点，所以，且，又因为为的中点，，且，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）如图建立空间直角坐标系，所以，，设，，，设平面的一个法向量，所以，所以，所以，平面的一个法向量为，所以，整理得，所以，所以，即．26．（2022·江苏常州·华罗庚中学校联考三模）如图，ABCD是边长为6的正方形，已知，且并与对角线DB交于G,H，现以ME,NF为折痕将正方形折起，且BC,AD重合，记D,C重合后为P，记A,B重合后为Q．(1)求证：平面平面HGQ；(2)求平面GPN与平面GQH所成二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，证明，，得到线面垂直，进而证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.（1）取中点，连接，则，．再取中点，连接，，易得，，于是，四边形为平行四边形，得，从而，，那么平面，又平面，故平面平面．（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，则，，，，，，设平面的法向量，，，由，得：，取，得，所以平面的法向量．同理可得：平面的法向量，则，所以平面与平面所成二面角的正弦值为．27．（2022·海南省直辖县级单位·校联考一模）如图,在三棱台中,已知平面平面,,,(1)求证:直线平面;(2)求平面与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)由平面平面,若证直线平面,只需即可,在等腰梯形中,根据边和角的关系即可得到;(2)由(1)的结论可证明,根据线面垂直判定定理,和面面垂直判定定理即可证明平面平面,即可以为原点建立合适空间直角坐标系,找出点的坐标,分别求出平面与平面的法向量,求出法向量夹角的余弦值的绝对值即面面角的余弦值,根据同角的三角函数的关系,即可得出正弦值.【详解】（1）证明:在等腰梯形中,过作于点,画图如下:所以,且,,所以,即,即,因为平面平面,平面平面,平面,,所以平面;（2）由(1)知平面,所以,又因为,,平面,平面,所以平面,因为平面,所以平面平面,以为原点,以方向分别为轴,过点在平面内,做垂直于的线为轴,建立如图所示空间直角坐标系:则,,,,由,可得,所以,,,,设平面与平面的一个法向量分别为,,所以,即,取,可得,由,可得,取,可得,设平面与平面所成角为,所以,故.故平面与平面所成角的正弦值为.28．（2023·广东惠州·统考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．(1)证明：平面平面PBC；(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】(1)利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量数量积等于零证明；(2)利用坐标运算求点到平面的距离，或者用等体积法的思想求解.【详解】（1）方法一：因为底面ABCD，平面ABCD，所以．因为ABCD为正方形，所以，又因为，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．因为平面PAB，所以．因为，E为线段PB的中点，所以，又因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又因为平面AEF，所以平面平面PBC．方法二：因为底面ABCD，平面PAB，所以平面底面ABCD又平面底面，，平面ABCD，所以平面PAB．因为平面PAB，所以．因为，E为线段PB的中点，所以．因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，又因为平面AEF，所以平面平面PBC因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则，设，则，所以，，，，设为平面AEF的法向量，则所以取，则，，则，设为平面PBC的法向量，则所以取，则，，则因为，所以,所以平面平面PBC.（2）（基于（1）解法一、二）因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则，易知是平面PAB的法向量设，则，所以，，所以即，得，所以，设为平面AEF的法向量，则所以平面AEF的法向量，又因为所以点P到平面AEF的距离为，所以点P到平面AEF的距离为．由（1）可知，是直线AF与平面PAB所成的角，所以解得，故F是BC的中点．所以，，的面积为因为，的面积为设点P到平面AEF的距离为h，则有解得所以点P到平面AEF的距离为．（基于（1）解法三）易知是平面PAB的法向量所以，即，解得所以，又因为所以点P到平面AEF的距离为，所以点P到平面AEF的距离为．29．（2023·安徽蚌埠·统考二模）如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点．(1)若平面，求的长度；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接交于点O，连接，由线面平行证线线平行，证得即可求值；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决线面角问题.【详解】（1）正方体，连接交于点O，连接，如图所示，∴平面，平面平面，平面，∴，又，∴为平行四边形，则.（2）以点C为坐标原点，，，方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，取，解得，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．30．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形是直角梯形，，，．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）先证明出，由勾股逆定理得到⊥，证明出⊥平面，从而⊥，证明出⊥平面及面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.【详解】（1）因为四边形是边长为4的正方形，所以⊥，⊥，因为四边形是直角梯形，，所以⊥，⊥，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，因为，所以，由勾股定理得，，因为，所以，由勾股定理逆定理得⊥，因为⊥，，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以平面平面；（2）由（1）知，两两垂直，故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，设平面的法向量为，则，解得，令，则，故，设直线与平面所成角的大小为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练【一专三练】专题02三角函数与解三角形大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在中，内角对应的边分别为，已知．（1）求；（2）若，，求的值．2．（2023·江苏·统考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)若，求的值；(2)若，，求的面积.3．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在中，角所对的边分别为．，角的角平分线交于点，且，．(1)求角的大小；(2)求线段的长．4．（2023·安徽安庆·统考二模）在中，角，，所对的边分别为，，，.(1)若角，求角的大小；(2)若，，求.5．（2023·安徽合肥·校考一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且（c﹣a）（c+a）+abcosC＝S.（1）求角A的大小；（2）若4cosB•cosC＝1，且a＝2，求S的值.6．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知锐角三角形ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求B；(2)若，求c的取值范围.7．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知平面四边形ABCD中，，，．(1)求；(2)若，，求四边形ABCD的面积．8．（2023·安徽滁州·校考一模）在中，（1）求的值；（2）若，，求的值.9．（2023·山东菏泽·统考一模）如图,在平面四边形中,,.(1)试用表示的长;(2)求的最大值.10．（2023·江苏·统考一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)若，求的值；