梁的应力精讲

梁的应力精讲第1页/共78页§6.1纯弯曲时梁的正应力§6.2横力弯曲时梁的正应力及其强度条件梁的合理截面§6.4非对称截面梁的平面弯曲开口薄壁截面的弯曲中心§6.3梁的切应力及其强度条件§6.5梁的极限弯矩目录第2页/共78页§6.1纯弯曲时梁的正应力请看一个实例CD段：弯矩为常量，剪力为零。这种弯曲称为纯弯曲。AC、DB两段：这种弯曲称为横力弯曲。同时存在弯矩和剪力。因此纯弯曲情况下，横截面上只有正应力第3页/共78页第4页/共78页（1）变形后，横截面仍保持为平面。但横截面间发生转动。（2）同一层（同一高度）的纤维变形相同，即曲率相同。第5页/共78页一、实验观察（1）变形后，横截面仍保持为平面。但横截面间发生转动。（2）同一层（同一高度）的纤维变形相同，即曲率相同。二、两个假设（1）平面假设：梁的横截面在梁发生弯曲变形后仍保持为平面，只是相邻横截面绕垂直于纵向对称面的轴转了一个小角度，并均和弯曲后的轴线保持正交。（2）纵向纤维互不挤压假设，即单向拉压。第6页/共78页三、理论分析1、变形几何关系中性层：梁中间纤维即不伸长也不缩短的那层。中性轴：中性层与横截面的交线。ρ：中性层的曲率半径。依然从以下三方面来分析：第7页/共78页第8页/共78页变形后：变形前：求距中性层为y处的纤维的变形：即：由实验观察，横截面变形后仍保持为平面，且仍与轴线垂直，γ=0第9页/共78页2、物理关系由假设（2），知各纵向纤维为单向拉压，所以在弹性范围内有：y说明：到这一步，我们可推知正应力s随y的变化规律，但还不能确定其值。第10页/共78页该空间力系由平行于x轴的平行力系组成已经自动满足。另外由分离体的平衡所以由（1）式：说明中性轴过形心3、静力学关系由（2）式：由于y轴是对称轴，此式自然满足。第11页/共78页由（3）式：由静力学关系得到由变形几何关系得到由物理关系得到综上分析，可以得到梁纯弯曲时横截面上的弯曲正应力计算公式：为中性层的曲率第12页/共78页几点说明（2）公式适用于比例极限范围内。即（3）当梁的l≥5h时，上述公式可以推广到横力弯曲。（1）σ是拉应力还是压应力由梁的变形情况直接判定。（4）由公式推导可知，公式不仅适用于矩形截面，而且适用于其它一些截面，如：T字形梁，工字形梁，圆截面梁，等等。同时我们可以给出各种梁的正应力分布情况。（5）一些工程实例：大桥做成拱状。赵州桥，最早的石拱桥。水泥预制板，中间做空，下面加筋（钢筋或竹筋）梁式起重机大梁，箱形截面或工字形截面。第13页/共78页§6.2横力弯曲时的正应力横力弯曲时，在弯矩最大的横截面上离中性轴最远处（即上下边缘处）产生最大正应力当l≥5h时，由于切应力对横截面上各点的弯曲正应力影响很小，所以对于横力弯曲仍可以沿用纯弯曲正应力公式：Wz称为弯曲截面系数，单位是m3或mm3。第14页/共78页第15页/共78页对于宽为b高为h的矩形截面：对于直径为d的圆形截面：形心若梁的横截面对中性轴不对称，例如T形截面。则对同一横截面上的最大拉应力和最大压应力之值不相等。则直接将y1和y2的绝对值代入第16页/共78页第17页/共78页限定最大弯曲正应力不得超过许用应力，于是强度条件为：设σt表示拉应力，σc表示压应力，则：塑性材料，

[σt]=[σc]=[σ]；所以，工程中，一般对塑性材料选用中性轴同截面对称轴重合的截面形状。对脆性材料，则不将对称轴作中性轴，以充分利用材料的性能，使设计更经济合理。脆性材料，[σt]≠[σc]，且[σt]<[σc]弯曲正应力强度条件的应用：1、强度校核2、梁的截面尺寸设计3、求许用载荷第18页/共78页已知：F=10kN，a=1.2m[σ]=10MPa，h/b=2例1试：选择梁的截面尺寸。解：由对称性，可得：作弯矩图，由强度条件得：故：选取截面为：由图可得：第19页/共78页BACD1m1m1m4012018086134C20208613486134已知：Iz＝5.493×107mm4，铸铁[σt]=30MPa，[σc]=90MPa。例2试确定此梁的许用荷载F。解：设F的单位为kN。B截面C截面第20页/共78页40120180y下＝134C2020y上＝86所以最大压应力必定在B截面的下边缘处则最大拉应力一定在C截面的下边缘处由此可得由此可得故应取第21页/共78页已知：l=1.2m[σ]=170MPa，18号工字钢，不计自重。练习求：F的最大许可值。解：作弯矩图，得：故：查附录型钢表3，由：由图可得：第22页/共78页已知：F1=8kN，F2=20kN，a=0.6m，Iz=5.33×106mm4

σb=240MPa，σbc=600MPa，安全系数n=4。例3试：校核梁的强度。解：作弯矩图，很容易求出：a许用应力为：校核强度：截面A下边缘：截面A上边缘：截面C下边缘：故：满足强度要求由图可得危险截面弯矩：第23页/共78页梁的合理截面主要以此作为设计梁的依据从以下两方面来考虑：（1）合理安排梁的受力情况，以降低Mmax的值；（2）采用合理的截面形状，以提高Wz

的值，充分利用材料性能。1、合理布置支座的位置一、合理安排梁的受力情况第24页/共78页x=0.207l的时候，最大弯矩减小了83%a=0.2l的时候，最大弯矩减小了20%第25页/共78页第26页/共78页2、合理布置载荷的位置按下方图的方式最大弯矩减小了50%第27页/共78页1、由应力分布考虑经济系数：单位横截面积所产生的抗弯性能：说明（1）矩形梁竖放，而不横放。（2）截面面积尽可能地远离中性轴，不用矩形，而选用工字形、槽形、箱形或用加强板。2、由材料的性质看脆性材料：中性轴靠近受拉边。塑性材料：中性轴是对称轴。3、由结构的要求梁：矩形（多用空心矩形即箱形）、工字形、槽形轴：圆形（多用空心圆）二、选择合理的截面形状第28页/共78页第29页/共78页第30页/共78页三、等强度梁使任一截面的最大正应力都相等或近似相等，或尽可能地充分利用材料。横截面尺寸沿着梁轴线变化的梁称为变截面梁。当梁的各横截面上最大正应力都等于材料的许用应力时，称为等强度梁。第31页/共78页第32页/共78页第33页/共78页§6.3梁的切应力及其强度条件AC、DB两段：这种弯曲称为横力弯曲。同时存在弯矩和剪力。第四章是假设横截面上切应力均匀分布1855年，有人提出了矩形截面梁的切应力计算公式。先对切应力在横截面上的分布规律作出部分假设；然后再由微段的平衡条件来求切应力。截面的形状不同，切应力分布规律假设也不相同。一、梁的切应力第34页/共78页第35页/共78页第36页/共78页(1)横截面上各点处的切应力的方向于截面侧边(竖边)平行1、矩形截面梁的切应力由于梁的前后两个侧面均为自由面则t1＝0，只有沿着竖向的t，也就是说侧边上各点t与侧边相切。根据对称性，y轴上各点的t方向与该轴重合，也与侧边相切(2)切应力沿截面宽度均匀分布(即只与y的大小有关)说明：因为横截面关于y轴对称，当h>b时，切应力沿横截面宽度变化不至于太大，所以假设(2)合理。第37页/共78页第38页/共78页x第39页/共78页yA第40页/共78页带入并整理得到第41页/共78页计算时Sz和FS都以绝对值代入计算yASz是距中性轴为y的横线以下(或是以上)部分的横截面面积对中性轴的静面矩。FS为横截面上的剪力；Iz为横截面对中性轴的惯性矩；b为横截面的宽度；第42页/共78页第43页/共78页若FS已知,则有:2、工字形梁的切应力

此部分相当于三个矩形所构成，可近似运用矩形截面梁的切应力公式，但仅有腹板可以直接用。利用和矩形截面相似的推导过程，可以得到翼缘的切应力分布及其计算公式dzydzy第44页/共78页作图示截面的切应力流图切应力的指向犹如两股水流从上翼缘开始，流经腹板，在下翼缘再分成两股。通常把切应力的这一特点称为切应力流。第45页/共78页二、弯曲切应力强度校核1、弯曲最大切应力其中，是中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静面矩。2、强度校核中性轴上的受力状态是纯剪切，故有细长梁的强度控制因素主要是正应力，满足正应力强度的横截面一般都能满足切应力强度。所以一般先进行正应力强度相关计算，然后再是切应力强度问题。第46页/共78页例4由三根木条胶合而成的悬臂梁如图所示，若胶合面上的许用切应力为[t胶]＝0.34MPa，木材许用正应力为[s]＝10MPa，许用切应力为[t]＝1MPa。试求许用载荷F。1mBAF505050100解：（1）首先求出（2）计算截面的几何性质（3）确定许用载荷正应力强度条件：第47页/共78页木板最大切应力条件：胶合缝的切应力强度条件：因为胶合缝是关于中性轴对称的，所以可以只计算一条胶合缝的切应力值。505050100zSz静面矩

第48页/共78页例5梁由钢板焊接而成，许用正应力[s]＝120MPa，许用切应力为[t]＝60MPa，其中横截面对z轴的惯性矩Iz＝39.7×106mm4。试校核其强度。并作C截面右侧切应力分布图。0.5m2mBAC解：（1）求支座反力并画内力图208040140202020yzC82118第49页/共78页14082118202020yzC截面的最大正应力发生在截面的下边缘处(2)强度校核正应力满足强度要求；最大切应力发生在C截面的中性轴处可以计算z线以下或是以上部分对z轴的静矩。切应力亦满足强度要求。该梁安全。第50页/共78页（3）切应力分布图14082118202020yzac取a线以右的那一块矩形取c线以下，左边那一块矩形第51页/共78页例6

该梁是由四块木板胶合而成。许用正应力[s]=10MPa，顺纹许用切应力[t]=1.1MPa；胶合缝许用切应力[t胶]=0.35MPa。试求该梁的许用荷载q的值。Iz＝1.474×108mm4

。解:(1)首先可以计算出

（其中q的单位：kN/m）(2)按正应力强度计算q的值

所以

第52页/共78页(3)再按切应力强度进行校核中性轴以下半个截面面积对中性轴的静面矩为：横截面在中性轴处宽度b＝2×45＝90mm底板的面积对中性轴的静面矩为：底板在胶合缝处的宽度b＝2×45＝90mm，故胶合缝的切应力为：故该梁的许用荷载集度q＝6.14kN/m。第53页/共78页§6.4非对称截面梁的平面弯曲开口薄壁截面的弯曲中心一、非对称截面梁的平面弯曲

现在讨论没有对称轴，而外力偶作用在形心主惯性平面（横截面的形心主轴与梁的轴线所构成的平面）内（或作用在与形心主惯性平面平行的平面内）的弯曲问题。及

即z1轴仍然为形心轴第54页/共78页将微面积的坐标用形心主坐标表示，得因为而Iy为正值，故这说明，即使是非对称截面梁，只要外力偶作用在与形心主惯性平面xy相平行的平面内，中性轴也和形心主轴z轴重合。所以有即第55页/共78页二、开口薄壁截面的弯曲中心对于薄壁截面梁，若横向力作用在纵向对称面内，梁将发生平面弯曲。若横向力没作用在对称平面内，则力必须通过截面上某一特定的点，该点称为弯曲中心，且平行于形心主轴时，梁才能发生平面弯曲。否则，梁在发生弯曲的同时，还将发生扭转。第56页/共78页第57页/共78页第58页/共78页所以弯