信号与系统教案第4章183XX电子科技大学

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信号与线性系统分析第4章XX电子科技大学

信号与系统电子教案4.14.24.34.44.54.64.74.8

第四章连续系统的频域分析

信号分解为正交函数傅里叶级数周期信号的频谱非周期信号的频谱——傅里叶变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换LTI系统的频域分析取样定理

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信号与系统电子教案

第四章连续系统的频域分析

时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而yf(t)=h(t)*f(t)。本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。

4.1

信号分解为正交函数

一、矢量正交与正交分解矢量Vx=(1,2,3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定义：其内积为0。即3TVxVyivyi0i1

第4-2页

■

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4.1

信号分解为正交函数

由两两正交的矢量组成的矢量集合称为正交矢量集如三维空间中，以矢量=(2,0,0)、vy=(0,2,0)、vz=(0,0,2)所组成的集合就是一个正交矢量集。例如对于一个三维空间的矢量A=(2,5,8),可以用一个三维正交矢量集{,vy,vz}分量的线性组合表示。即A=+2.5vy+4vz矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。第4-3页■

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4.1

信号分解为正交函数

二、信号正交与正交函数集1.定义：定义在(t1,t2)区间的两个函数1(t)和2(t),若满足

t2

t1

1(t)2*(t)dt0(两函数的内积为0)

则称1(t)和2(t)在区间(t1,t2)内正交。2.正交函数集：若n个函数1(t),2(t),…,n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1,t2)内满足

第4-4页

t2t1

ij0,i(t)j(t)dtKi0,ij*

则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集。■

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信号与系统电子教案3.完备正交函数集：

4.1

信号分解为正交函数

假使在正交函数集{1(t),2(t),…,n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0)满足

t2t1

(t)i(t)dt0

(i=1,2,…,n)

则称此函数集为完备正交函数集。例如：三角函数集{1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,…}和虚指数函数集{ejnΩt,n=0,1,2,…}是两组典型的在区间(t0,t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正

交函数集。

第4-5页

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4.1

信号分解为正交函数

三、信号的正交分解设有n个函数1(t),2(t),…,n(t)在区间(t1,t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为f(t)≈C11+C22+…+Cnn

如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1,t2)内为最小。寻常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为12t2t1第4-6页

t2t1

[f(t)Cjj(t)]2dtj1

n

■

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信号与系统电子教案为使上式最小2CiCi

4.1

信号分解为正交函数

t2t1

[f(t)Cjj(t)]2dt0j1

n

展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0,写为t2[2Cif(t)i(t)Ci2i2(t)]dt0Cit12f(t)i(t)dt2Cii2(t)dt0即t1t1t2t2

所以系数

Ci

t2t1

f(t)i(t)dtt2t1

i2(t)dt■

1Ki

t2t1

f(t)i(t)dt

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4.1

信号分解为正交函数

代入，得最小均方误差(推导过程见教材)nt212[f2(t)dtC2Kj]0jt1t2t1j1

在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞时(为完备正交函数集),均方误差为零。此时有

t2t1

f2(t)dtC2Kjjj1

上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，说明：在区间(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和f(t)Cjj(t)j1

第4-8页

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4.2

傅里叶级数

4.2

傅里叶级数

一、傅里叶级数的三角形式设周期信号f(t),其周期为T,角频率=2/T,当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数——称为f(t)的傅里叶级数a0f(t)ancos(nt)bnsin(nt)2n1n1

系数an,bn称为傅里叶系数T2T2

22anf(t)cos(nt)dtbnf(t)sin(nt)dtTT可见，an是n的偶函数，bn是n的奇函数。第4-9页■

T2T2

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4.2

傅里叶级数

将上式同频率项合并，可写为A0f(t)Ancos(ntn)2n1

式中，A0=a0

Anab2n

2n

bnnarctanan

可见An是n的偶函数，n

是n的奇函数。an=Ancosn,bn=–Ansinn,n=1,2,…上式说明，周期信号可分解为直流和大量余弦分量。其中，A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号一致；A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。第4-10页■

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4.2

傅里叶级数

二、波形的对称性与谐波特性1.f(t)为偶函数——对称纵坐标2anTT2T2

f(t)cos(nt)dt

2bnT

T2T2

f(t)sin(nt)dt

bn=0,展开为余弦级数。

2.f(t)为奇函数——对称于原点an=0,展开为正弦级数。实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即f(t)=fod(t)+fev(t)由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以第4-11页■

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信号与系统电子教案f(t)f(t)fod(t)2

4.2

傅里叶级数

f(t)f(t)fev(t)2f(t)0

3.f(t)为奇谐函数——f(t)=–f(tT/2)此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=0

T/2

T

t

三、傅里叶级数的指数形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用cosx=(ejx+e–jx)/2第4-12页■

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信号与系统电子教案A0f(t)Ancos(ntn)2n1

4.2

傅里叶级数

A0Anj(ntn)j(ntn)[ee]2n12A011AnejejntAnejejnt22n12n1上式中第三项的n用–n代换，A–n=An,–n=–n,则上式写为A11nn

0

2

2n1

Anejnejnt

2n1

Anejnejnt

令A0=A0ej0ej0t,0=0

所以第4-13页■

1jnjntf(t)Anee2nXX电子科技大学电路与系统教研中心

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4.2

傅里叶级数

令复数1AejnFenFnnn2称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。111jnFnAne(AncosnjAnsinn)(anjbn)222

1T

T2T2

1f(t)cos(nt)dtjTn

T2T2

1f(t)sin(nt)dtf(t)ejntdtTT

T2T2

f(t)

F

n

e

jnt

n=0,1,2,…说明：任意周期信号f(t)可分解为大量不同频率的虚指数信号之和。F0=A0/2为直流分量。第4-14页■

12jntFnTf(t)edtT2

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心

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4.2

傅里叶级数

四、周期信号的功率——Parseval等式周期信号一般是功率信号，其平均功率为A02121T2f(t)dt()An|Fn|2T02n12n

直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。n≥0时，|Fn|=An/2。

第4-15页

■

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4.3

周期信号的频谱

4.3

周期信号的频谱及特点

一、信号频谱的概念从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。由于n≥0,所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn。第4-16页■

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4.3

周期信号的频谱

例：周期信号f(t)=试求该周期信号的基波周期T,基波角频率Ω,画出它的单边频谱图，并求f(t)的平均功率。解首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即121f(t)1costcost2362443

1211costsint234364

显然1是该信号的直流分量。1cost234

的周期T1=8

12cos433

的周期T2=6

所以f(t)的周期T=24,基波角频率Ω=2π/T=π/12221111根据帕斯瓦尔等式，其功率为P=1372224第4-17页■

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