2022-2023学年江西省宜春市万载中学九年级（下）第一次月考数学试卷(含解析)

2022-2023学年江西省宜春市万载中学九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．﹣的相反数是（）A． B．﹣ C． D．﹣2．下列计算正确的是（）A．3x×2x＝6x B．8x2y÷2x2y＝4 C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．3．如图所示的几何体的主视图为（）A． B． C． D．4．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7且，则b的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．55．如图，O是等腰三角形△ABC底边上一点，半圆O交AC于点D，与BC相切于点B，CD＝2，则图中阴影部分的面积是（）A．π B．π+ C．π+2 D．π+6．“漏壶”是古代的一种计时器，如图，在它内部盛有一定量的水，不考虑水量对压力的影响，水从小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，水面高度y与时间x成一次函数关系，如表记录了四次观测的数据，其中只有一组数据记录错误，它是（）组数1234x1346y22181614A．第1组 B．第2组 C．第3组 D．第4组二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．计算：＝．8．如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则的值为．9．2019年，江西省全省财政总收入突破4000亿元大关，达到4001.5亿元，数据4001.5亿用科学记数法表示为．10．黄鹤楼是武汉市的标志性建筑之一，有同学想测量其高度AB，他开始站在广场D点位置，仰角53°是可以看到黄鹤楼的顶点A，后来他退12.5米到F点，此时仰角45°可以看到黄鹤楼的顶点A，该同学的眼睛距地面1.4米，B，D，F在同一水平面的同一条直线上且与AB垂直，则黄鹤楼的高AB为米．（tan53°＝）11．“今有五十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，求所需圈舍的间数．设大圈舍的间数是x间，小圈舍的间数是y间，用含x的代数式表示y＝．12．如图，平面直角坐标系内，点A（4，0）与点B（0，8）是坐标轴上两点，点C是直线y＝2x上一动点（点C不与原点重合），若△ABC是直角三角形，则点C的坐标为．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（1）解不等式组．（2）如图，C为∠EAF内的一点，CE⊥AE，CF⊥AF，垂足分别为E，F，CE＝CF，CD∥AB，CB∥AD，求证：四边形ABCD是菱形．14．先化简再求值：，其中x为方程x2﹣2＝0的解．15．如图，在正方形ABCD中，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图①中，将线段AB绕点O逆时针旋转一定角度，使点A与点B重合，点B与点C重合，作出点O的位置．（2）在图②中，E为AB的中点，将△ABD绕点D逆时针旋转某个角度，得到△CFD，使DA与DC重合，作出△CFD．16．中考前，为了解各市九年级学生复习备考情况，江西省教育厅准备对各市进行一次实地调研活动，调研的对象初步确定从南昌、九江、景德镇、赣州、上饶中随机抽签选取．（1）若这次调研准备选取一个市，则恰好抽到南昌市的概率是．（2）若这次调研准备选取两个市，请用列表或画树状图的方法表示出所有可能，并求出所选取的两个市恰好是南昌和九江的概率．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象同时经过点A（2，m），B（4，n）两点．（1）则＝；（2）若∠OAB＝90°．①求反比例函数的解析式；②延长AB交x轴于C点，求C点坐标．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．为增强学生环保意识．实施垃圾分类管理．某中学举行了“垃圾分类知识竞赛“并随机抽取了部分学生的竞赛成绩绘制了如下不完整的统计图表．知识竞赛成绩频数分布表组别成绩（分数）人数A95≤x＜100300B90≤x＜95aC85≤x＜90150D80≤x＜85200E75≤x＜80b根据所给信息，解答下列问题．（1）a＝，b＝．（2）请求出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数．（3）补全知识竞赛成绩频数分布直方图．（4）已知该中学有3500名学生，请估算该中学学生知识竞赛成绩低于80分的人数．19．如图，AB是⊙O的直径．四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，对角线AC与BD交于点E，在BD的延长线上取一点F，使DF＝DE，连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线．（2）若AD＝5，AC＝8，求⊙O的半径．20．如图所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂AB＝12cm，中臂BC＝8cm，底座CD＝4cm．（1）若上臂AB与水平面平行，∠ABC＝60°．计算点A到地面的距离．（2）在一次操作中，中臂与底座成135°夹角，上臂与中臂夹角为105°，如图2，计算这时点A到地面的距离．与图1状态相比，这时点A向前伸长了多少？五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．位于九江市滨江东路上有一条直线休闲跑道，每天有很多市民在此晨练或散步，成为九江市一道亮丽的风景．小捷与父亲每天在此匀速慢跑，以600m距离为一个训练段．已知父女俩起点终点均相同，约定先到终点的人原地休息等待另一人．已知小捷先出发20s，如图，两人之间的距离y与父亲出发的时间x之间的函数关系如图所示．请回答下列问题：（1）小捷的速度为m/s、父亲的速度为m/s；（2）求出点A坐标和BC所在直线的解析式；（3）直接写出在整个过程中，哪个时间段内，父女两人之间距离超过了100m．22．综合与探究问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到∠MDN，将∠MDN绕点D旋转，射线DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，如图1所示．（1）操作发现：如图2，当E，F分别是AB，AC的中点时，试猜想线段DE与DF的数量关系是，位置关系是．（2）类比探究：如图3，当E，F不是AB，AC的中点，但满足BE＝AF时，判断△DEF的形状，并说明理由．（3）拓展应用：①如图4，将∠MDN绕点D继续旋转，射线DM，DN分别与AB，CA的延长线交于E，F两点，满足BE＝AF，△DEF是否仍然具有（2）中的情况？请说明理由；②若在∠MDN绕点D旋转的过程中，射线DM，DN分别与直线AB，CA交于E，F两点，满足BE＝AF，若AB＝a，BE＝b，则AE＝（用含a，b的式子表示）．六、解答题（本大题共1小题，共12分）23．定义：如图，若两条抛物线关于直线x＝a成轴对称，当x≤a时，取顶点x＝a左侧的抛物线的部分；当x≥a时，取顶点在x＝a右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线x＝a的一对伴随抛物线．例如：抛物线y＝（x+1）2（x≤0）与抛物线y＝（x﹣1）2（x≥0）就是关于直线x＝0（y轴）的一对伴随抛物线．（1）求抛物线y＝（x+1）2+3（x≤1.5）关于直线x＝1.5的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．（2）设抛物线y＝mx2﹣2m2x+2（m≠0，m≠4）交y轴于点A，交直线x＝4于点B．①求直线AB平行于x轴时的m的值．②求∠AOB是直角时抛物线y＝mx2﹣2m2x+2关于直线x＝4的“伴随抛物线”的顶点横坐标．③已知点C、D的坐标分别为（8，2）、（8，0），直接写出抛物线y＝mx2﹣2m2x+2及其关于直线x＝4的“伴随抛物线”与矩形OACD不同的边有四个公共点时m的取值范围．

参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．﹣的相反数是（）A． B．﹣ C． D．﹣【分析】根据相反数的定义解答即可．解：﹣的相反数是．故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义，熟记概念是解题的关键．2．下列计算正确的是（）A．3x×2x＝6x B．8x2y÷2x2y＝4 C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．【分析】直接利用整式的混合运算法则分别计算得出答案．解：A、3x×2x＝6x2，故此选项错误；B、8x2y÷2x2y＝4，故此选项正确；C、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故此选项错误；D、（﹣x2y3）2＝x4y6，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．如图所示的几何体的主视图为（）A． B． C． D．【分析】根据这个几何体的形状，直观得出主视图的形状即可．解：从正面看是个正方形，由于正方体挖个“V字”槽，因此从正面看还可以看到一个等腰三角形，因此选项D中的图形符合题意，故选：D．【点评】本题考查简单几何体的三视图，“长对正，宽相等，高平齐”是画三视图的基本原则．4．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7且，则b的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5【分析】根据根与系数的关系求出x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣4，代入x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7即可求出b的值．解：由题意得，x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣4，∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣4+b＝﹣7，∴b＝﹣3，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．5．如图，O是等腰三角形△ABC底边上一点，半圆O交AC于点D，与BC相切于点B，CD＝2，则图中阴影部分的面积是（）A．π B．π+ C．π+2 D．π+【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠C，由切线的性质得到∠OBC＝90°，根据直角三角形的性质得到OB＝OC，过O作OH⊥AB于H，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．解：连接OB，∵OA＝OB，∴∠A＝∠C，∵∠BOC＝2∠A，∴∠BOC＝2∠C，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∴∠BOC+∠C＝90°，∴∠C＝30°，∠BOC＝60°，∴OB＝OC，∵OD＝OB，∴OD＝CD＝2，过O作OH⊥AB于H，∴OH＝1，AB＝2，∴图中阴影部分的面积＝﹣+﹣＝．故选：D．【点评】本题考查了切线的性质，扇形和三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．6．“漏壶”是古代的一种计时器，如图，在它内部盛有一定量的水，不考虑水量对压力的影响，水从小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，水面高度y与时间x成一次函数关系，如表记录了四次观测的数据，其中只有一组数据记录错误，它是（）组数1234x1346y22181614A．第1组 B．第2组 C．第3组 D．第4组【分析】根据题意，可知y随t的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，t表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，∴y随t的增大而减小，且第1、2、3组数据满足y与x之间的关系式y＝﹣2x+24，第4组数据不满足y与x之间的关系式y＝﹣2x+24．故选：D．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．计算：＝﹣1．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．解：原式＝﹣2+1＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．8．如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则的值为．【分析】根据中位线的性质得：DE∥BC，DE＝BC，从而得：△DEF∽△CBF，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得结论．解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，∴D是AB的中点，E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DEF∽△CBF，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中线定义，三角形的中位线定理，相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方．9．2019年，江西省全省财政总收入突破4000亿元大关，达到4001.5亿元，数据4001.5亿用科学记数法表示为4.0015×1011．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：4001.5亿＝400150000000＝4.0015×1011，故答案为：4.0015×1011．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．黄鹤楼是武汉市的标志性建筑之一，有同学想测量其高度AB，他开始站在广场D点位置，仰角53°是可以看到黄鹤楼的顶点A，后来他退12.5米到F点，此时仰角45°可以看到黄鹤楼的顶点A，该同学的眼睛距地面1.4米，B，D，F在同一水平面的同一条直线上且与AB垂直，则黄鹤楼的高AB为51.4米．（tan53°＝）【分析】设EC的延长线交AB于点G，根据题意可得CD＝EF＝1.4米，CE＝DF＝12.5米，然后根据锐角三角函数即可求出AG的长，进而可得黄鹤楼的高AB．解：设EC的延长线交AB于点G，根据题意可知：CD＝EF＝1.4米，CE＝DF＝12.5米，∵∠AEG＝45°，∴AG＝EG，∵∠ACG＝53°，CG＝EG﹣CE＝（AG﹣12.5）米，∴AG＝tan∠ACG×CG＝tan53°×（AG﹣12.5），解得AG＝50，∴AB＝AG+GB＝AG+CD＝50+1.4＝51.4（米），答：黄鹤楼的高AB为51.4米．故答案为：51.4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．11．“今有五十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，求所需圈舍的间数．设大圈舍的间数是x间，小圈舍的间数是y间，用含x的代数式表示y＝．【分析】根据这些圈舍共容纳50只鹿，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后即可得出结论．解：依题意得：6x+4y＝50，∴y＝．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及函数关系式，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．12．如图，平面直角坐标系内，点A（4，0）与点B（0，8）是坐标轴上两点，点C是直线y＝2x上一动点（点C不与原点重合），若△ABC是直角三角形，则点C的坐标为（4，8）或（﹣，﹣）或（，）．【分析】设C（x，2x），分∠ACB＝90°、∠BAC＝90°、∠ABC＝90°三种情况，根据勾股定理计算，即可得到答案．解：设C（x，2x），∵点A（4，0）与点B（0，8），∴AB2＝42+82＝80，BC2＝x2+（2x﹣8）2＝5x2﹣32x+64，AC2＝（2x）2+（x﹣4）2＝5x2﹣8x+16，当∠ACB＝90°时，AC2+BC2＝AB2，∴5x2﹣8x+16+5x2﹣32x+64＝80，解得x＝0（舍去）或4，点C的坐标为或（4，8）；当∠BAC＝90°时，AC2+AB2＝BC2，∴5x2﹣8x+16+80＝5x2﹣32x+64，解得x＝﹣，点C的坐标为（﹣，﹣）；当∠ABC＝90°时，AC2＝BC2+AB2，5x2﹣8x+16＝5x2﹣32x+64+80，解得x＝，点C的坐标为（，）．综上所述，点C的坐标为（4，8）或（﹣，﹣）或（，）．故答案为：（4，8）或（﹣，﹣）或（，）．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的判定，勾股定理的应用等，分类讨论是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（1）解不等式组．（2）如图，C为∠EAF内的一点，CE⊥AE，CF⊥AF，垂足分别为E，F，CE＝CF，CD∥AB，CB∥AD，求证：四边形ABCD是菱形．【分析】（1）分别求出两个不等式的解集，即可得出结论；（2）先证四边形ABCD是平行四边形，得∠ADC＝∠ABC，再证△CED≌△CFB（AAS），得CD＝CB，即可得出四边形ABCD是菱形．【解答】（1）解：解不等式①，得：x≥﹣4，解不等式②，得：x＜1，所以不等式组的解集为﹣4≤x＜1；（2）证明：∵CD∥AB，CB∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠CBF，∵CE⊥AE，CF⊥AF，∴∠CED＝∠CFB＝90°，又∵CE＝CF，∴△CED≌△CFB（AAS），∴CD＝CB，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及一元一次不等式组的解法等知识；熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．14．先化简再求值：，其中x为方程x2﹣2＝0的解．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x2﹣2＝0，可以得到x2＝2，再代入化简后的式子即可解答本题．解：＝＝x2﹣2x+1+2x＝x2+1，∵x2﹣2＝0，∴x2＝2，当x2＝2时，原式＝2+1＝3．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．15．如图，在正方形ABCD中，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图①中，将线段AB绕点O逆时针旋转一定角度，使点A与点B重合，点B与点C重合，作出点O的位置．（2）在图②中，E为AB的中点，将△ABD绕点D逆时针旋转某个角度，得到△CFD，使DA与DC重合，作出△CFD．【分析】（1）作正方形的对角线，对角线交点即为所求；（2）先找到对角线交点O，再连接EO并延长EO交CD于H，连接AH，并延长交BC延长线于F，连接DF，△CFD即为所求．解：（1）如图所示，点O即为所求．（2）如图所示，△CFD即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换和正方形的性质．16．中考前，为了解各市九年级学生复习备考情况，江西省教育厅准备对各市进行一次实地调研活动，调研的对象初步确定从南昌、九江、景德镇、赣州、上饶中随机抽签选取．（1）若这次调研准备选取一个市，则恰好抽到南昌市的概率是．（2）若这次调研准备选取两个市，请用列表或画树状图的方法表示出所有可能，并求出所选取的两个市恰好是南昌和九江的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数和所选取的两个市恰好是南昌和九江的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．解：（1）∵调研的对象共有5个城市，分别是南昌、九江、景德镇、赣州、上饶，∴恰好抽到南昌市的概率是．故答案为：；（2）用A，B，C，D，E代表南昌、九江、景德镇、赣州、上饶，列表如下：ABCDEA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，D）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）一共有20种等可能的结果，正好是南昌和九江的结果有2种，则所选取的两个市恰好是南昌和九江的概率是＝．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象同时经过点A（2，m），B（4，n）两点．（1）则＝；（2）若∠OAB＝90°．①求反比例函数的解析式；②延长AB交x轴于C点，求C点坐标．【分析】（1）根据A（2，m），B（4，n）在反比例函数y＝的图象上，可得m和n的关系；（2）①过点A作y轴的垂线，垂足为D点，过B作y轴的平行线，交DA的延长线于点E，利用△AOD∽△BAE，得，则，从而解决问题；②由①可知：A（2，2），B（4，），利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而解决问题．解：（1）∵A（2，m），B（4，n）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝，n＝，∴，故答案为：；（2）①如图，过点A作y轴的垂线，垂足为D点，过B作y轴的平行线，交DA的延长线于点E，∴∠ODA＝∠E＝90°，∴∠AOD+∠DAO＝90°，∵∠OAB＝90°，∴∠DAO+∠EAB＝90°，∴∠DOA＝∠EAB，∴△AOD∽△BAE，∴，∴，又∵m＝2n，n＞0，∴n＝，∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；②由①可知：A（2，2），B（4，），设直线AB的解析式为y＝ax+b，将A，B两点坐标代入得：，解得，∴y＝﹣，当y＝0时，x＝6，∴C（6，0）．【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式等知识，利用k型相似求出点A、B的坐标是解题的关键．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．为增强学生环保意识．实施垃圾分类管理．某中学举行了“垃圾分类知识竞赛“并随机抽取了部分学生的竞赛成绩绘制了如下不完整的统计图表．知识竞赛成绩频数分布表组别成绩（分数）人数A95≤x＜100300B90≤x＜95aC85≤x＜90150D80≤x＜85200E75≤x＜80b根据所给信息，解答下列问题．（1）a＝300，b＝50．（2）请求出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数．（3）补全知识竞赛成绩频数分布直方图．（4）已知该中学有3500名学生，请估算该中学学生知识竞赛成绩低于80分的人数．【分析】（1）从两个统计图可得“D组”的频数是200人，占调查人数的20%，可求出调查人数，由“B组”的圆心角度数可求出所占的调查人数的百分比，进而求出频数a，再根据各组频数之和为调查人数，可求出“E组”的频数b即可；（2）求出“C组”所占的百分比，即可求出相应的圆心角度数；（3）求出“E组”所占的百分比，即可求出相应的人数．解：（1）调查人数：200÷20%＝1000（人），“B组”人数：a＝1000×＝300（人），“E组”人数：1000﹣300﹣200﹣150﹣300＝50（人），故答案为：300，50；（2）360°×＝54°，答：扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数为54°；（3）补全统计图如下：（4）3500×＝175（人），答：该中学学生知识竞赛成绩低于80分的约为175人．【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图，掌握统计图表中的数量关系是正确解答的前提．19．如图，AB是⊙O的直径．四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，对角线AC与BD交于点E，在BD的延长线上取一点F，使DF＝DE，连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线．（2）若AD＝5，AC＝8，求⊙O的半径．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ADB＝90°，由等腰三角形的性质得出∠FAD＝∠EAD．证得∠FAB＝90°，则可得出结论；（2）连接OD交AC于M，求出DM＝3，由勾股定理可得出答案．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥EF，∠BAD+∠ABD＝90°，又∵DF＝DE，∴AF＝AE，∴∠FAD＝∠EAD．∵AD＝CD，∴∠FAD＝∠EAD＝∠ACD＝∠ABD，∴∠FAB＝∠FAD+∠BAD＝∠BAD+∠ABD＝90°，∴AF是⊙O的切线．（2）如图，连接OD交AC于M，∵AD＝CD，∴，∴OD⊥AC，AM＝CM＝AC＝4，∴AD＝CD＝5，在Rt△DMC中，DM＝＝3．设⊙O的半径为x，则OM＝x﹣3，∵OM2+AM2＝OA2，∴（x﹣3）2+42＝x2，∴x＝．⊙O的半径即OA＝．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定是解题关键．20．如图所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂AB＝12cm，中臂BC＝8cm，底座CD＝4cm．（1）若上臂AB与水平面平行，∠ABC＝60°．计算点A到地面的距离．（2）在一次操作中，中臂与底座成135°夹角，上臂与中臂夹角为105°，如图2，计算这时点A到地面的距离．与图1状态相比，这时点A向前伸长了多少？【分析】（1）过点C作CM⊥AB，垂足为M，由含30°角的直角三角形的性质得BM＝BC＝4（cm），CM＝BM＝4（cm），即可得出答案；（2）过点B作BG垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作BG的垂线，垂足分别为E，F，求出∠BCF°＝45°，∠CBF＝45°，∠ABF＝60°，则BF＝CF＝4（cm），AE＝6（cm），BE＝6（cm），求出点A到地面的距离EG的长，即可解决问题．解：（1）如图1，过点C作CM⊥AB，垂足为M，则∠BMC＝90°，∵∠ABC＝60°，BC＝8cm，∴∠BCM＝30°，∴BM＝BC＝4（cm），CM＝BM＝4（cm），∴DM＝CM+CD＝（4+4）cm，即点A到地面的距离为（4+4）cm；（2）如图2，过点B作BG垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作BG的垂线，垂足分别为E，F，∵∠BCD＝135°，∠ABC＝105°，∴∠BCF＝135°﹣90°＝45°，∠CBF＝45°，∠ABF＝105°﹣45°＝60°，∴BF＝CF＝BC＝4（cm），AE＝AB×sin∠ABF＝12×＝6（cm），BE＝AB＝6（cm），∴点A到地面的距离为EG＝．由图1可知，点A距底座的距离为AM＝AB﹣BM＝12﹣4＝8（cm），∴点A向前伸长的距离为．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．位于九江市滨江东路上有一条直线休闲跑道，每天有很多市民在此晨练或散步，成为九江市一道亮丽的风景．小捷与父亲每天在此匀速慢跑，以600m距离为一个训练段．已知父女俩起点终点均相同，约定先到终点的人原地休息等待另一人．已知小捷先出发20s，如图，两人之间的距离y与父亲出发的时间x之间的函数关系如图所示．请回答下列问题：（1）小捷的速度为2m/s、父亲的速度为3m/s；（2）求出点A坐标和BC所在直线的解析式；（3）直接写出在整个过程中，哪个时间段内，父女两人之间距离超过了100m．【分析】（1）由路程除以时间可得小捷的速度为40÷20＝2（m/s），父亲的速度为600÷200＝3（m/s）；（2）父亲追上小捷所需时间为＝40（s），即得A的坐标为（40，0），求出B坐标是（200，160），C的坐标为（280，0），用待定系数法可得BC所在直线的解析式为y＝﹣2x+560；（3）求出直线AB解析式为y＝x﹣40，解x﹣40＞100得x＞140，解﹣2x+560＞100得x＜230，即可得140＜x＜230时，父女两人之间距离超过了100m．解：（1）由函数图象可得：小捷的速度为40÷20＝2（m/s），父亲的速度为600÷200＝3（m/s），故答案为：2，3；（2）父亲追上小捷所需时间为＝40（s），∴A的坐标为（40，0），当父亲出发的时间x＝200s时，两人之间的距离y＝200×3﹣（200+20）×2＝160（m），∴B坐标是（200，160），小捷到达终点所需时间为＝300（s），300﹣20＝280，∴C的坐标为（280，0），设BC所在直线的解析式为y＝kx+b，把B（200，160），C（280，0）代入得：，解得，∴BC所在直线的解析式为y＝﹣2x+560；（3）由A（40，0），B（200，160）可得直线AB解析式为y＝x﹣40，当x﹣40＞100得x＞140，当﹣2x+560＞100得x＜230，∴当140＜x＜230时，父女两人之间距离超过了100m．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．22．综合与探究问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到∠MDN，将∠MDN绕点D旋转，射线DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，如图1所示．（1）操作发现：如图2，当E，F分别是AB，AC的中点时，试猜想线段DE与DF的数量关系是DE＝DF，位置关系是DE⊥DF．（2）类比探究：如图3，当E，F不是AB，AC的中点，但满足BE＝AF时，判断△DEF的形状，并说明理由．（3）拓展应用：①如图4，将∠MDN绕点D继续旋转，射线DM，DN分别与AB，CA的延长线交于E，F两点，满足BE＝AF，△DEF是否仍然具有（2）中的情况？请说明理由；②若在∠MDN绕点D旋转的过程中，射线DM，DN分别与直线AB，CA交于E，F两点，满足BE＝AF，若AB＝a，BE＝b，则AE＝a﹣b或a+b（用含a，b的式子表示）．【分析】（1）可证明四边形AEDF是正方形，进而得出结果；（2）连接AD，证明△DBE≌△DAF，进而得出结论；（3）②方法与（2）相同；②分为当点E在线段AB上和在AB的延长线上，容易得出结果．解：（1）∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝CD＝BC，∵点E是AB的中点，点F是AC的中点，∴DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，∴四边形AEDF是矩形，∵AB＝AC，∴AE＝AF，∴矩形AEDF是正方形，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，故答案为：DE＝DF，DE⊥DF；（2）如图1，△DEF是等腰直角三角形，理由如下：连接AD，由上知：AD＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ADE+∠BDE＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴∠B＝∠C＝45°，∠DAC＝∠BAD＝＝45°，AD＝BD＝BC，∴∠B＝∠DAC，∵BE＝AF，∴△DBE≌△DAF（SAS），∴DE＝DF，∠ADF＝∠BDE，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠EDF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形；（3）①如图2，△DEF仍是等腰直角三角形，理由如下：连接AD，由上知：∠DAC＝∠ABC＝45°，AD＝BD，∴180°﹣∠DAC＝180°﹣∠ABD，∴∠FAD＝∠DBE，∵BE＝AF，∴△DBE≌△DAF（SAS），∴DE＝DF，∠ADF＝∠BDE，同（2）可得：∠EDE＝90°，∴△DEF仍是等腰直角三角形；②如图1，AE＝AB﹣BE＝a﹣b如图2，AE＝AB+BE＝a+b，故答案为：a﹣b或a+b．【点评】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．六、解答题（本大