第十二讲小学数学中的数与形白色底板

第十二讲小学数学中的数与形白色底板第1页，共27页，2023年，2月20日，星期二教学目标★掌握分数、小数的概念及其分类★理解分数和小数的性质★了解分数、小数在小学数学教学中的安排和要求第2页，共27页，2023年，2月20日，星期二二、分数和小数1、分数和小数的概念及性质（1）分数概念及意义小学数学教学中的表述：分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数的叫做分数。分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数的叫做分数单位。分数的实质——部分和整体的关系分数的认识被安排在两个学段中进行学习，即三年级初步认识分数，五年级进一步认识分数的意义。第3页，共27页，2023年，2月20日，星期二小学数学教学中分数的概念的描述法给出

具体教学中是通过动手操作法来实现：在描述中，安排了平均分实物、图形和线段等内容。教学时，让学生动手将实物、图形和线段分一分，进而给出了分数的含义。心理学研究表明：儿童的思维是从动手开始的，切断活动与思维的联系，思维就不能得到发展。美国华盛顿图书馆的墙上贴有这样的话：“我听见了就忘了，我看见了就记住了，我做了就理解了。”这充分说明了小学生在学习中动手做的重要性。因此，对描述性概念的教学，必须根据其特点，努力为学生提供动手操作的机会，让他们在做中学，在做中理解和掌握。例如，第五册“分数的初步认识”中“分数”这一概念，没有给出定义，而是通过描述的方法说明它的含义的。第4页，共27页，2023年，2月20日，星期二q一般的分数的概念：两个正整数p、q相除，可以用分数p/q表示。即p÷q=p/q,其中p为分子，q为分母。P/q读作p分之q.当q=1时，p/q=p

第5页，共27页，2023年，2月20日，星期二解释一：一般的，分数的意义p/q是将一个总体等分为q份而取其中p份.

根据这个意义，分数的乘法可以解释为：两个分数相乘p/q×m/n的意义是：在分数p/q的基础上，以p/q为总体，“再”等分为n份而取其中m份，其结果是p×m/q×n(q、n不等于零)，即P/q×m/n=p×m/q×n(q、n不等于零)例：3/4×2/5解释二：当一个整体（指基准量）被等分后，集聚其中一部份的量称为「分量」，而「分数」就是用来表示或纪录这个「分量」。这是从分数的意义可从分割及合成活动来解释，例如：2/5是指一个整数被分成五等分后，集聚其中二分的「分量」。

（2）分数的意义

第6页，共27页，2023年，2月20日，星期二分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得到的分数与原分数的大小相等。a/b=a×k/b×k=a÷n/b÷n(b、k、n不等于零)

最简分数：分子与分母互素的分数叫做最简分数

约分：把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程称为约分。

第7页，共27页，2023年，2月20日，星期二（3）分数大小的比较根据分数的定义可以给出分数大小的定义：有两个分数a/b与c/d，若ad=bc,则a/b=c/d；若ad>bc,则a/b>c/d.方法一:根据分数大小的定义比较分数的大小方法二:分母相同比较分子大小方法三:分子相同比较分母大小方法四:求差第8页，共27页，2023年，2月20日，星期二（4）百分数的概念

小学数学五年级课程目标一、数与代数1．数的认识进一步认识小数和分数，认识百分数；探索小数、分数和百分数之间的关系，并会进行转化（不包括将循环小数化为分数）。理解倒数和百分数的意义，会正确的读、写百分数。百分数的概念

第9页，共27页，2023年，2月20日，星期二（5）分数和除法的关系基本关系：被除数÷除数=被除数/除数

p÷q=p/q(q≠0,p∈Z,q∈N＋)注意：p∈Z，q∈N＋的含义分数和除法的联系：分子、分母和除号分别相当于被除数、除数和分数线。分数和除法的区别：分数是一种数，除法是一种运算第10页，共27页，2023年，2月20日，星期二（6）倒数的认识

关于倒数，《辞海》给出的定义是：“如果a是一个不等于零的数，则称1／a为a”的倒数”（1999年版，第一卷，644页）。显然这个定义对于小学生来说太过抽象。在初中的教材中，对倒数的概念是这样给出的：“乘积为1的两个有理数互为倒数。例如，－3与－1／3,－3／8与－8／3.”（义务教育数学课程标准组、北京师范大学国家基础教育课程标准实验教材总编委会编《数学（七年级上册）》），这个定义中学生比较好理解。在我们的教材中，叙述更加贴近儿童语言，但实质是一样的。

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第三单元《倒数》（如下图）一课中，“什么是倒数”，是通过观察总结得出概念的：第12页，共27页，2023年，2月20日，星期二

（7）小学数学中分数的安排和要求（三年级）教学内容：初步认识分数，会读、写简单的分数。会比较同分母分数的大小。初步学会计算简单的同分母分数的加、减法。教学要求：初步认识分数，会读、写简单的分数。会比较同分母分数的大小。初步学会计算简单的同分母分数的加、减法。

（五年级）教学内容：分数的意义和性质。分数的意义。分数单位。分数大小的比较。分数与除法的关系。真分数和假分数。带分数。分数的基本性质。约分。通分。分数和小数的互化。分数的加法和减法。分数加、减法的意义。分数加、减法运算（不含带分数）。加法的运算定律推广到分数。分数、小数加、减混合运算。教学要求：理解分数的意义和基本性质。会比较分数的大小，比较熟练地进行约分和通分。会进行分数与小数的互化。理解分数加、减法的意义。掌握分数加、减法的计算法则，能够比较熟练地计算分数加、减法。正确地进行分数加减混合运算。会口算简单的分数加、减法。第13页，共27页，2023年，2月20日，星期二（六年级）教学内容：分数的乘法和除法。分数乘法的意义。分数乘法。乘法的运算定律推广到分数。倒数。分数除法的意义。分数除法。分数四则混合运算。

百分数、比和比例，百分数的意义和性质。比例的意义和基本性质。解比例。成正比例的量和成反比例的量。比的意义和性质。比例的意义和基本性质。解比例。成正比例的量和成反比例的量。

教学要求：理解分数乘、除法的意义。掌握分数乘、除法的计算法则。会计算分数乘、除法。会口算简单的分数乘、除法。会进行分数四则混合运算（不超过三步）。理解百分数的意义。知道百分数在实际中的应用。会进行有关百分数的计算。理解比的意义和性质。会求比值和化简比。理解比例的意义和基本性质。会解比例。理解正、反比例的意义。会判断两个量是否成正比例或反比例。通过比例的教学，使学生进一步受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。第14页，共27页，2023年，2月20日，星期二参考资料：小学数学教学中分数的引入

根据三年级学生思维发展和生活经验的特点，教材从学生熟悉的、并且能够实际操作的分物情境引入分数。问题：一个苹果平均分给两个人，每人分多少？怎样表示呢？鼓励学生讨论用什么方式来表示“一半”。这个讨论过程，一方面可以使学生意识到原来学过的数不够用了，感到学习新知识的必要性；另一方面可以鼓励学生发挥想象，大胆创造表示“一半”的方法。学生可以画图来表示，也可以发明自己的符号来表示。在此基础上，再引入“一半可以用1/2来表示”。这实际上鼓励学生经历了从运用自己的符号表示到运用数学符号进行表示的过程。

第15页，共27页，2023年，2月20日，星期二进而，教师安排了分别涂出一些图形的1/2，不仅有利于学生借助几何模型体会分数的意义，并且学生将感受到1/2不仅可以表示半个苹果，还可以表示许多事物的“一半”，感受数学符号的作用。“分一分（二）”的主要内容是感受可以用分数表示由多个个体组成的整体中的若干份。这种分数“整体”意义的拓展，更多突出了分数的实质——部分和整体的关系。第16页，共27页，2023年，2月20日，星期二2、小数的概念、性质及分类（1）小数概念及意义小学数学教学中的表述：小数：像5.98、0.85、2.60的数叫做小数。小数计数单位是：十分之一、百分之一、千分之一......分别记作:0.1、0.01、0.001，......小数的产生是由于测量的需要.在进行测量和计算时,往往不能正好得到整数的结果,这时常用小数来表示第17页，共27页，2023年，2月20日，星期二（2）小数的读法和写法小数的记数法（写数）记数的含义：用符号表示数，就是把数写下来的意思。记数的基础：位值制.数位顺序表,如下表：具体方法：记数符号——阿拉伯数字（１０个）和小数点顺序——从高往低写起整数部分读法同自然数，小数部分依次读出每个数字小数部分......位百位十位个位小数点......百十一(个).十分位百分位千分位万分位...十分之一百分之一千分之一万分之一...小数部分

小数部分第18页，共27页，2023年，2月20日，星期二练习：读出下列小数２４５４３６８９.0387

２４５４，３６８９.0387３５７３８３４５１２.0005３５，７３８３，４５１２.0005

３８９０１０２０.2899３８９０，１０２０.2899１５０２８５４３２９００.0010１５０２，８５４３，２９００.0010１００２８５４３２９００１００２，８５４３，２９００.1000第19页，共27页，2023年，2月20日，星期二

小数的认识被安排在三个学段中进行学习，即三年级初步认识小数，四年级初步认识小数的意义和性质,五年级认识小数乘除法。三年级下册的小数的初步认识限制在元、角、分背景下，把元、角、分作为一种生活原型，帮助学生初步认识和学习小数的读、写和一位小数的大小比较等。四年级下册的小数加减法内容则是脱离元、角、分背景，从实际情境的数量中抽象出小数的意义，进行小数的比较大小。第20页，共27页，2023年，2月20日，星期二参考资料：阅读指导法

小学数学中的描述性概念主要是通过文字和图形来体现的。课本中揭示概念的文字和图形是指导学生阅读的重要内容。教师在教学时，不要认为这些内容可有可无而轻易放过，应该指导学生认真阅读，逐字逐句体会，从而达到真正理解的目的。例如第七册“小数的初步认识”这一单元中，对于“小数”，教材是通过列举大量的例子来说明的。这样的内容，指导学生阅读比由教师讲学生听效果好得多。第21页，共27页，2023年，2月20日，星期二（3）小数的性质根据这条性质可以化简小数。如0.20=0.2问题：0.20和0.2的意义相同吗？小数的末尾添上“0”或去掉“0”小数的大小不变第22页，共27页，2023年，2月20日，星期二（4）小数大小的比较练习:比较下列分数的大小209.05与209.12；0.002与0.010整数不为“0”时，先比较整数的大小整数为“0”时，依次比较十分位、百分位...的大小第23页，共27页，2023年，2月20日，星期二（5）小数的分类

纯小数循环小数小数小数带小数不循环小数有限小数小数无限小数思考：分类的标准是什么？第24页，共27页，2023年，2月20日，星期二（6）小学数学中小数的安排和要求

（四年级）教学内容：小数的意义、性质。小数的大小的比较。小数点移位引起小数大小的变化。小数的近似值。加法和减法。加法运算定律推广到小数。教学要求：理解小数的意义和性质。比较熟练地进行小数加、减法笔算（对位数个数的限制与整数加、减法相