2023年高考数学大招2导数构造秒解大法

大招2导数构造秒解大法

大招总结

很多选择题的压轴题，会以导数的构造出题，往往很多学生连如何构造原函数都不会，更加

不用说下一步了.这个时候，如果你会导数构造秒解大法，也许会觉得思路又开了一扇窗.

导数构造秒解大法，实际上就是不构造，或者说跳过构造，直接根据导函数符号“猜测”函

数单调性.

第一步，看了'(X)后面的符号，如果是“>”，则默认构造函数为增，如果是“<”则默认构

造函数为戒.

第二步，看括号中的常数，题目往往给一个常数，其对应的函数值也会给出，将这个常数代

入问题，肯定会刚刚好符合.

第三步，直接得出答案.如果/'(X)后面的符号是则答案与问题同号，而且不等式另

一侧肯定是常数，如果/'(X)后面的符号是“<”，则答案与问题异号，同样，不等式另一侧

肯定是常数.

如果有些题目没有给常数，而是直接求不等式解，例如求/(x+l)>(x-l)/(x2-1)的解，

则直接根据我们“猜测”的单调性，比较括号内的大小即可，不用管函数前面的系数.

总结一下此方法的优缺点，优点是快和简单，很多学生从来不敢尝试的题目，几分钟就可以

明白此方法，弄懂之后就可以5秒一道压轴题了.缺点是此方法有一定的局限性，遇到定义

域为负数，或涉及函数奇偶性，又或选项中有好几个都符合的时候，就有可能失效.

编者一直觉得此方法是存在缺陷的，所以，建议大家只做了解，在实在不会的前提下或者考

试时间紧张的时候再使用此法.

下面我们就一起来看看几道题，加深一下对此方法的了解.

典型例题

例1定义在R上的函数/(x)满足：/(%)+f'(x)>1,/(0)=4，则不等式eV(x)>ev+3

(其中e为自然对数的底数)的解集为()

A.(0,+oo)B.(-<x>,0)U(3,+oo)

C.(Y»,0)50,+8)D.(3,+oo)

解：方法1：设g(x)=e"(x)—",(XGR),则

g'(x)=e"(x)+exf'(x)~e*=ex[f{x)+/r(x)-l],

,

•■•/(x)+r(x)>l,.■,/(x)+r(x)-l>0.••.g(x)>Ot

・•.y=g(x)在定义域上单调递增，

1•,exf(x)>ex+3.g(x)>3,

Xv^(0)=e°/(0)-e°=4-1=3,，g(x)>g(0)，x>0.故选A.

方法2：f(x)+f'(x)>l,这里是所以答案与e"(x)>e*+3同号,带上f(0)=4

括号内常数0,故选A.

例2.定义在(0,2)上的函数/(幻满足：f(x)>xf'(x),且/(2)=4,则不等式

/(x)—2x>0的解集为()

A.(2,+oo)B.(0,2)C.(0,4)D,(4,+oo)

解：方法1：设g(x)=/H,则g，(x)=』'(x)：/(x),

XX

f(x)>xf'(x),g'(x)<0,

即当Q0时，函数g(x)单调递减，：/(2)=4,••.g(2)=/?=2,

则不等式fM-2x>0等价为g(x)>g⑵，即()<x<2,

则不等式的解集为/(x)-2x>0.故选B.

方法2：/(%)>xf'(x),先移项，xf'(x)-方无)<0,这里是“<”，

所以答案与/(x)-2x>0异号，带上/(2)=4括号中的常数2,选B.

例3.已知定义在R上的可导函数)，=/(x)的导函数为尸(x),满足/(x)</'(x),且

/(0)=2,则不等式△»>2的解集为()

A.(-oo,0)B.(0,+oo)C.(-oo,2)D.(2,+oo)

解：方法「设g(x)=9,则/(生9.

•••/(X)<f\x),g'(x)>0,即函数g(x)单调递增.

•.*0)=2,••.g(O)=*=/(O)=2,

则不等式红。>2等价为即g(x)>g(。)，

exexe

•.•函数g(x)单调递增.

・••x>0,不等式/区>2的解集为(0,+8).故选B.

ex

方法2:/(x)</'(x),先移项，r(x)-/(x)>0,

这里是“>"，所以答案与红»>2同号，带上/(0)=2括号中的常数0,选B.

ex

例4.函数/(x)的定义域为R./(-1)=2,对任意xeR,/'(x)>2,贝lJ/(x)>2x+4

的解集为()

A.(-1,+oo)B.C.(2,+oo)D.(-oo,-2)

解：方法1：设尸(x)=/(x)—(2x+4),则尸(-1)=/(一1)一(-2+4)=2—2=0,

又对任意xeR,f'(x)>2,所以F(x)=/'(x)—2>0,

即E(x)在R上单调递增，则尸(x)>0的解集为(―1,+8),即/(x)>2x+4的解集为

(-1,+00).

故选A.

方法2：/'(x)>2,这里是“>"，所以答案与/(x)>2x+4同号，带上/(-1)=2括号中

的常数-1,选A.

例5.已知/(%)定义域为(0,+8),f'(x)为/(%)的导函数，且满足/(x)<W(x),则

不等式/(%+1)>*-1)/(一一1)的解集是()

A.(0,1)B,(l,+oo)C.(1,2)D,(2,+oo)

解：方法1：设g(x)=xf(x),则g，(x)=[j/(x)]z=x'f(x)+xf'(x)=xf\x)+f(x)<0,

函数g(x)在(0,+8)上是减函数，

••1/(x+l)>(x-l)/(x2-l),XG(0,+oo),

•••(X+l)/(x+1)>(x+l)(x-l)/(x2-1).

(x+l)f(x+1)>(x2-l)/(x2-1),g((+l)>g(x2-r.x+lvf-1,解得x>2.

故选D.

方法2：f(x)<-xf\x),先移项,xf(x)+f(x)<0,这里是'■<1',所以构造原函数为

递减，只需要比较/0+1)>(工一1)/*2-1)括号内的大小即可，即％+1<%2一1

再加上定义域的限定，得到3个不等式，完美秒解.

.21

X+1<X"—1

<x+l>0解得x>2.故选D.

x2-l>0

例6.已知函数y=/(x)对任意的xeR满足2"'(x)-2"(x)ln2>0(其中尸(x)是函

数/(x)的导函数)，则下列不等式成立的是()

A.2/(-2)</(-1)B.2/(1)>/(2)

C.4/(-2)>/(0)D.2/(0)>/(1)

f(\，/、2"'(力—2"ln2"x)

解：方法1：构造函数g(x)=/^x2则g(x)=.(2，)一，

.xeR满足2xf'(x)~2*/(x)ln2>0,

g，W>0,即函数g(x)在R上单调递增，

贝IJg(—2)<g(—1),g⑴<g(2),g(—2)<g(0),g(0)<g(l),

/(-2)/(-I)/(I)/(2)/(-2)/(0)/(O)/(I)

即2/(-2)</(-I),2/(1)</(2),4/(-2)</(O),2/(0)</(I)，故A正确.故选A.

方法2:2x/'(x)—2'J'(x)ln2>0,此时的符号是

二需要构造的原函数为增函数，只需要比较括号内的大小即可.・••一2<—1,，A正确.

例7.已知/(%)为R上的可导函数，且对任意xeR,均有/(x)>f\x),则以下说法正

确的是()

A,e”(-2017)<f(0),f(2017)

B.e2017/(-2017)</(0),/(2017)<e2017(0)

Ce20,7/(-2017)>/(0),/(2017)<^0,7/(0)

D.^'7(-2017)>/(0),/(2017)>e20,7(0)

解方法1设F(x)=以2，则F(x)=[4^]=三/®，

因为/(x)>r(x),所以9(x)<0,所以尸(X)为减函数，

因为一2017<0,2017>0,所以尸(-2017)>尸(0),尸(2017)<1(0),

即所以*'7/(一2017)>/(0)；

,弋|7)<,即/(2017)<e20l7/(0)；故选C-

e~e

方法2：・・•/(x)>/'(x),_f(x)-/(x)<0,此时的符号是

，需要构造的原函数为减函数，只需要比较括号内的大小即可.

201720,7

••--2017<0,e/(-2017)>/(0),•■-2017>0,A/(2017)<e/(0).故选C.

例8.已知函数/(X)(XGR)满足/(幻=1，且/'(x)<l,则不等式/(怆2幻<馆2》的解

集为()

A•(啕B.(()V(10，+8)

C.原10)D.(10,+w)

解：方法1：构造函数g(x)=/(x)—X,则函数的导数g'(x)=/'(x)—1,

Vr(x)<l,.•.g'(x)<0,即函数g(x)单调递减，

•.•g⑴=△1)—1=0,.•・若g(x)<0,即g(x)<g⑴，贝卜>1,

则不等式/(lg2x)<lg2x等价为/(lg2x)-lg2x<0,

即g(ig2x)<o,jnyig2%>i,则igx>i或igx<-i,解得x>io或O<X<TJ,

故不等式的解集为(0，A)U(10,+8).故选B.

方法2:；.•.构造原函数单调递减/(Ig2x)<lg2x,lg0>l,则lgx>l或

解得x>10或0<x<-!-,

10

故不等式的解集为［o,u(10,+8).故选B.

例9.设/(X)为R上的奇函数，且/(一设=0,当x>0时,(公+1)/'(只一2〃(*)<0,

则不等式/(x)>0的解集为()

A.(i,+8)B.y,-i)

c.(一一1)50,1)D.(—1,0)51,+8)

f(x)"\(丁+1)，'(尤)-2爪尤)

解：方法1：根据题意，设g(x)=4i,其导数gW=-——一-------

')x2+l(尤+1)

又由当x>()时，(V+lJra)—21(x)<0,则有g'(x)<0,

即函数g(x)在(0,+8)上为减函数，

又由函数/(x)为奇函数，贝=;—?—一一i―7=-g(x)，

(-%)+1%+1

即函数g(x)为奇函数，则函数g(x)在(0,+8)上为减函数，

又由/(-1)=0,贝IJ/(1)=O,则g6=g(-1)=0,

则有在(一8,-1)上g(x)>o,在(一1,0)上g(x)<0,在(0在上g(x)>0,在(1,+8)上

g(x)<0.

若g(x)>0,即4>0,

x2+l

则有y(x)>o,则不等式”。>0的解集为(YO,T)50,D.故选c.

方法2：当x>0时，(f+i)r(x)—2W(x)<0，符号为“<"，

所以当x〉0时，/(x)单调递咸.如图，故选C.

例10.已知函数/(x+2)是偶函数，且当尤>2时满足矿(x)>2/'(x)+/(x),则()

A.2/(1)</(4)B.2噌)>〃3)

C./(O)<4/^D./(1)</(3)

解：方法1：由xf\x)>2r(x)+f(x),得(x-/(x)>0,

设/心)=犯，则"a)''")."：：八》)

V(x-2)/,(%)-/(x)>0,.•.当X>2时，〃'(x)>o,此时函数单调递增.

•••/(x+2)是偶函数，/(x+2)关于％=0对称，

即/(x)关于％=2对称，即/(D=/(3),故D错误,

(I)，/(0)=/(4),则叫<A(3),即<

—2

2

故B错误,

即回〉强,

>哈即

4-2521

则/(4)〉4/仁)即/(0)〉4/仁)，故C错误，故选A.

方法2：・・•/(x+2)是偶函数，「./(x)关于x=2对称，

当了>2时，xf'(x)>2f\x)+f(x),(%-2)/7%)-/(x)>0,/(x)单调递增，

所以自变量越接近2,函数值越小，故选A.

下面几道例题，将为大家展示大招有可能失效的情况，特别是当％<()时，的确没有规律可

循，还有部分题型，不太符合大招模型，最好还是按部就班处理.

例11对于R上可导的任意函数/(%)，若满足例为)+4(x)>0且八-1)=0,则/(%)>0

解集是()

A.(-oo,-l)B.(0,+oo)

C.(^o,-l)U(0,+oo)D.(-1,0)

解：令g(x)=#(x),贝IJg'(x)=/(x)+4'(x)>0,函数g(x)=4Xx)为单调增函数,

又/(-1)=0,•,"(-1)=(-1)/(-1)=0.则当x<—1时,W)<0,f(x)>0；

当一l<x<0时，xf(x)>0,/(x)<0;当x>0时，xf(x)>0,/(x)>0;

•••/。)>0解集是(-8,-1)。(0,+8).故选C.

例12.设函数/(%)是定义在(-oo,0)上的可导函数，其导函数为f'(x),且有

xf'(x)>x2+2f(x),则不等式4/(x+2014)-(x+2014)7(-2)>0的解集为()

A.(-oo,-2012)

B.(-2012,0)

C.(，》,-2()16)

D.(-2016,0)

解:由xf'(x)>x2+2/(x),(x<0),x2f'(x)-2xf(x)<x3,-.-x<0,.\x3<0,

即x2f'(x)-2xf(x)<0,设F(x)=§,贝IJ即［当斗'=}(x)<0,则

当x<0时，得F'(x)<0,即F(x)在(-oo,0)上是减函数，

/(尤+2014)==/(-2)

/(龙+2014)=即不等式

*+2014)2'"(—2)2

4/(X+2014)-(X+2014)2/(-2)>0等价为F(x+2014)-F(-2)>0,F(x)在

(―8,())是减函数，由F(x+2()14)>F(—2)得，jr+2014<-2,即x<—2016,故选

C.

例13.已知定义在R上的可导函数/(x),对于任意实数x都有/(-幻=/。)-2%成立,

且当XG(-8,0］时，都有/'(x)<2x+l成立，若/(2加)</(加一1)+3皿机+1),则实

数，〃的取值范围为()

B.(-1,0)

C.(-00,-1)

D.-i,+oo

I3

解：令g(x)=/(x)-/一X,则g(-X)—g(X)=/(-X)-x2+x-/(x)+x2+x=o,

•••g(-x)=g(x),.•.函数g(x)为R上的偶函数.•当xe(-8,0］时，都有r(x)<2x+l

成，

若/(2机)</(加一1)+3加(m+1),则实数〃？的取值范围为()

B.(-1,0)

C.(-oo,-l)

D.鸟,+8)

解：令g(x)=/(x)-%2-x,贝ijg(-x)-g(x)=/(-x)--+》-/*)+/+%=0,

•••g(-x)=g(x),;.函数g(x)为R上的偶函数.•••当xe(-oo,0］时，都有

/'(x)<2x+l成立，.g'(x)=/'(x)-2x-l<0,:.函数g(x)在xe(-8,0］上单调递

咸，在［0,+8)上单调递增./(2m)</(m-l)+3m(w+l),即

f(2m)-4m2-2m<f(m-1)-(w-1)2-(/n-1),

•*.g(2m)<g(加一1),因此g(|2mI)<g(|m-11),2m|<|m-11，化为：

3m2+2m-1<0,

解得一1<〃?<；.故选A.

自我检测

1.已知定义在R上的可导函数/(x)的导函数为尸(x),满足/'(x)</(%),且/(0)=2,

则不等式/⑶―2G<0的解集为()

A.(-2,+00)

B.(0,+oo)

C.(l,+oo)

D.(4,+oo)

解：方法1：构造函数8。)=华，

e

则函数的导数为g3=ra)：7(x)e1.((幻<7*),..g,(%)<0

(e?

即g(x)在R上单调递减；又V/(0)=2,.\g(0)=吟=2,则不等式/(%)-2ev<0化

e

为当<2,

e

它等价于g(x)<2,即g(龙)<g(0),.">(),即所求不等式的解集为(0,+8).故选8.

方法2：r(x)</(x),先移项，ru)-/w<o,这里是“<"，所以答案与

/(x)-2e、<0异号，带上/(0)=2括号中的常数0,选8.

2.函数/(x)的定义域为口,/(-1)=2015,对任意的工£1^.都有尸(x)<3/成立，则不

等式

/(x)<X3+2016的解集为()

A.(-l,+oo)

B.(-1,0)

C.(-00,-1)

D.(—8,+8)

解：方法1:令g(x)=/(x)-x3—2(H6,g，(x)=r(x)—3x2,.对任意的xeR.

都有了'(x)<3x2成立，・••对任意的xeR,g'(x)<0,.-.g(x)=f(x)一/一2016在R上是

减函数，

且g(-D=/(-D+l-2016=2015+1-2016=0,

故不等式f(x)<x3+2016的解集为(-1,+刃),故选A.

方法2:广(为<3/,这里是所以答案与/(x)</+2016异号，带上/(-1)=2015

括号中的常数-1,选A.

3.函数/(%)的定义域是RJ(0)=2,对任意xeRJ(x)+/'(x)〉l,则不等式

e，/x)>e、+l

的解集为()

A.{x|x>0}

B.{x|x<0}

C.{x|x<-l,或x>1}

D.{x|x<-l,或0<x<l}

解：令g(x)=e"(x)-e*,则g'(x)=e'[/(x)+f'(x)-1].:对任意

xeR,/(x)+T(x)>l,

•••g'(x)>0恒成立，即g(x)=e"(x)-e'在R上为增函数，又：/(0)=2,:.g(0)=1,

故g(x)=e"(x)-e'>l的解集为{x|x>0},即不等式ev/(x)>ev+1的解集为

{x|x>0}.故选A.

4.已知/(X)的定义域为(0,+8)J'(x)为/(x)的导函数，且满足了(X)(一犷(x),则不

等式/(W+1)>(«-1)/(》一1)的解集是()

A.(0,4)

B.(1,4)

C.(l,+oo)

D.(4,+oo)

解:设g(x)=解(X),则g'(x)=[v(x)]x=解'(X)+f(x)<0,即当x>0时，函数

g(x)=xf{x)单调递减

f(\［x+1)>(y/x(Vx+l)/(x/x+1)>(x-l)/(x-l),.-.g(«+1)>g(x-1)

9

x-1>0

・・・v,解得：x>4,则不等式的解集为(4,+8),故选D.

>/x+l<x—1

5.定义在(0,晟］上的函数/(x),/'(x)是它的导函数，且恒有/(x)</'(x)tanx成立，则

()

A.后图>后图

B./(1)>2/Wsinl

c⑸CM?)

D后(讣呜)

解：因为x,所以sinx>0,cosx>0.由f(x)<f\x)tanx,得

/(x)cosx<fr(x)sinx.

即,'(x)sinx-/(x)cosx>0,令g

sinxI2J

r(x)sinx-/(x)cosx诉.不独”"一A的晶粉

53/.2一寸•n\心⑵"人’△.!⑪人ru(=|un,—11-4H>曰⑵"，八：j

sinxsinxv27

/(;)《;)

于A，由于g田7图'即\J—,

.71.71

sin—sin—

43

由于g(D>g［。］,即驾〉一⑷，化简即可判断8正

化简即可判断A错；对于8.

16；sml万

r\71\r[71

g团即

确；对于c,由于化简即可判断C错误；对于。,

.7C.71

sinsin

64

由于g|｝卜g(M

7t

、6(5).故O错误.故选

,即

sin—sin—

632

B.

6.定义在R上的函数/(x)满足：r(x)>/(x)恒成立，若玉<々，则炉"(%2)与

e*2/(xj的大小关系为()

vJf2

A.e'/(x2)>e/(x1)

V|2

B.e/(x2)<e'/(^)

C.e』/(X2)=eV(xJ

V|

D.e/(x2)与e'V(-^i)的大小关系不确定

解：构造函数g(x)=¥，贝Ijg'(x)=/(%)1/(x)〉0,因此函数g(x)在R上单调递增,

ee

vjr2

王<々，g(xj<g(w),即耳?)<，因此：e'/(x2)>e/(xl).故选A.

7.设函数/(%)是定义在R上的偶函数，f'(x)为其导函数.当x>0时，

/(%)+矿⑶>0,且/⑴=0,则不等式犷⑶>0的解集为()

A.(―co,-1)(1,+cc)

B.(-*一1)5(),1)

c.(-1,0)50,1)

D.(-l,0)u(l,+o>)

解：•・•(4XX))'=/(X)+J/'(X)>0,故函数g(x)=j/(x)在(0,+。。)上单调递增.再根据

函数/(尤)是定义在R上的偶函数，可得函数g(x)=4(x)是R上的奇函数，故函数

g(x)=4(x)是R上的奇函数，故函数g(x)=；vf(x)在(一8,0)上单调递增.；

J\r

/°yx

/(1)=0,;./(-1)=0,故函数y=0Xx)的单调性如右图所示.

由不等式好'(幻>°，可得X与7(%)同时为正数或同时为负数，，或—l<x<0,

故不等式步(尤)>。的解集为：(T,0)5L+8).故选D.

8.已知函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，且广⑶一/(x)>0(其中/'(x)是/(x)

的导函数)恒成立.若“=」(；3)/=」(；2)4,=_三(]),则a,8,c的大小关系是

()

A.a>b>c

B.c>a>h

C.c>b>a

D.a>c>h

解：令/z(x)=£g，则/(x)=r。叫'叫任意的xwR都有尸(x)>

XX

f(x)成立,