第八章多元函数的微分法及其应用

—偏导1偏导数及其计 八 八

设函数zf(xy在点

,

)章f(

x,

)f(x,y元

数函存在,则称此极限为函数zfxy在点x0y0数法

(x0,y0

(x0,y0

zx(

,y0)及fxx0y0f1x0y0其

f(

x,

)f(x,y用 用

fx(x0,y0) f(x,y x

-2 函数对y函数对yy)f(x0,y0 f(x,章 fy(x0,y0章

f(x, d数

y 若函数zf(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对微分y偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数,也简称为法其及偏导数其应用

z,f,

,

(x,y),

(x,z,f,

fy(x,y) f2(x,-3 例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x八章多 fx(x,y,多函数

f(xx,y,z)f(x,y, fy(x,y,z)微z f(x,y,z)z

-4 例 求zx23xyy2在点(1,2)处的偏导数第八 z2x3y 元

z

3x2y数微 微分 及

2132831227-5 设zxy(x0,x1)，求 xz z2z y lnx章 zyxy1 数

zxyln微 xz 微

zxyxy1

xyln法 y lnx 法及

应 xyx 2z. 应用-6 x2八 例 设z ，求x，x2八章 z

x2x2|y|y x2

1x21x2x2y2((x2y2

|y-7x2zx2

x2x2y2 法

x2x2x

1x1x2(x2(x2y21

y2sgn

(y

-8 设z(1xy) z, 八 八 多

y(1

(1 y(1xy)y1yy2(1xy) zeyln(1xy微分

eyln(1xy)i(yln(1其 其(1xy)yi[ln(1xy) 1-9 x2y2x2y2第八r 2八

的偏导数x x2y2 解 x2y2多 r 2 x2y2x2y2的微 r x2 x2y2其 其-10 章x１、偏导数x多元

是一个整体记号，不能拆分 的 的微 例如,设zf(x,y)|x|x0|其

,求fx(0, fy(0,x f(0,0)x

0fy-11 章 章

多函 例如,函数f(x,y)函微

x

x2y2,x2y2 依定义知在(0,0)处，fx(0,0)fy(0,0)法因为 因为应 x0x2应

-12 设M0x0y0fx0y0为曲面zfx,y上一点第 章多

x dy d0

f(x,y0

x M zf(x,

函是曲线 在点M0处的切0 y0 微M 对x轴的斜率 应

xxy 0

f(d

,

y zf(x,是曲线

x

在点M0处的切线M0Tyy

-13 zf(xy)D第章 zf(x,y) zf(x,章 元若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是zfxy元数的二阶偏导数.按求导顺序不同,数yy(zx2zx(x,微 2z及 x(x)及其

fxx(x,用 (z) 2用

2zx

y

fyx(x,y);y(y

fyy(x,

-14 例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数 2 3章

(x2)

x函 z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一函数分法

n1 n1 )

nn1 y其应

-15 6zx3y23xy3xy章2z 2z 2z 2z 3z x2 y2 x3章 数

3x2

3

2x3y9xy2 2z

3z

2z 6xy2 6y2

2x318法 法及应 2z应

6x2y9y2

2zyx6x2y9y2-16 例 设ueaxcosby，求二阶偏导数八 解元 元函

ubeaxsin 2u的 分

a2eax

2u

b2eax

法 2uabe

应 应用

-17 2z 2z 设zxsinxy求x2,八第八章 zsinxyxycos 2z数 x2 ycosxyycosxyxy2sin数的分 2ycoxyxy2sin分法 2z其 用

xcosxyxcosxyx2ysin2xcosxyx2ysin-18例 验证函数u(x,y)2u 2u

x2y2满 x2y2八 ∵

x2

1ln(2

y2

2

u 函 x2(x2y2)x2y2函

x2数 2u

(x2y2)x2x

y2 分 分

(x2y2

(x2y2法 2u

(

y2)y2y

x2 其 用2u 2u

(x2y2y2

(x2y2x2

y2(x2y2

(x2y2

-19 第八

ueu

xyz2 2u 2u xy 多函 2u函 的

yexyexyxyexy 2u 02yz2及 及-20 定理.若fxy(x,y)和fyx(x,y)都在点(x0,y0)连续,章 fxy(x0,y0)fyx(x0,y0章 本定理对n元函数的高阶混合导数也成立

函 例如,对三元函数u=f(x,y,z),当三阶混合偏导函的数在点(xyz连续时的微 fxyz(x,y,z)fyzx(x,y,z)fzxy(x,y,法 fxzy(x,y,z)fyxz(x,y,z)fzyx(x,y,其 说明:因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而初用-21 全微 八 函数zf(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定义八 P(xx,yy)为这邻域内的任意一点，多函 f(xx,yy)f(x,的为函数在点P对应于自变量增 x,y的全增量分记为z,其 z f(xx,yy)f(x,其应 f(xx,y)f(x,f(x,yy)f(x,

二元函数对x的二元函数对y的-22 定义zfxy)D的内点xy八第处全增量zfxxyyfx,y)八((x)2多zAxByo() 多元函AB不依赖于xyxy数微 f(x,y)在点(x,y)可微，AxBy称为函数f(x,微法分在点(x,y)的全微分 法其 dzdfAx其应 若函数在域D内各点都可微,则称此函数在D内可微-23ff第

x,y)在点x,y)可微分,章 章多zAxByo( limz多0元 limf(xx,y lim[f(x,y)z]f(x, 及 故函数zf(x,y)在点(x, 处连续及-24 如果函数zf(x,y)在第(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数 章 章且函数zfxy在点xy)多 dz

zx

z数 数 证:由全增 zAxByo(),令y0,微分x法 xzf(xx,y)f(x,y)Axo(

x

x

zB

x0 dzzxz -25 第章 章元 元

x2y2数 例如，f(x,y) 数微 微分 在点(0,0)处及

x2y2 f(0,0)limf(x,0)f lim00 用

fy(0,0)

-26

z[f第((x)2

(0,0)x

y(0,0)

x 如果考虑点P(x,y)沿着直线yx趋近于 x((x)2(y)2

x

1的 (x)2(x)2 的微法 说明它不能随着0而趋于0,当时法及应x z[应x用

(0,0)x

y(0,0)y]o(函数在点(0,0)处不可微-27 定理2（充分条件 如果函数zf(x,y)的偏 数 、 在点(x,y)连续，则该函数在点(x,y)可微分 函 zf(xx,yy)f(x,函数微 [f(xx,yy)f(x,yy)]微法 [f(x,yy)f(x,法其 在第一个方括号内，应 日中值定其用 f(xx,yy)f(x,y用fx(x1x,y (01-28fx(x,y)x 其中1为x,y的函数章 且当x0,y0时章

1元函 f(x,yy)f(x,元函 fy(x,y)y2y, 当y0时，20法 zfx(x,y)x1xfy(x,y)y2y法1x1x2y其

应

0故函数zfx,y)在点x,y)处可微-29 习惯上，当xy自变量时，记dxx,dy八第八章

dzzdxz 函多通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微元分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．函的微法 例如uu(x,y,法及应 duudxudyudz.应 -30 例 计算函数zexy在点(2,1)处的全微分八章 z函 函法 法其及其

yexy zxexye2 2e( dz用

dx

-31 12zycos(x2y)，当x，y八 八 dx，dy时的全微分 元 解数解 分 分及 及其

ysin(x2cos(x2y)2ysin(x2应

dx

dy 2(48-32例 计算函数uxsinyeyz的全微分2八第八章u章

u1cosyzeyz 函函

微 微分及 及 用 dudx(coszeyz)dyye用 -33 八 xy八

x2y ,(xx2y f(x,y)多元

(x,y)数函数微的而f在点(0,0)可微.微分及应法思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 (x,y)(0,0)，(x,y)(0,0)讨论.及应-34 令xcos,ysin

lim2sincossinx2 (x,x2元 0f元数 故函数在点(0,0)连续数的

分 f(0,0)limf(x,0)f(0,0)lim00分 及

y f(0,0)y-35 当x,y)(0,0)时，第x2x2x2 f多((x2y2

(x,y)y

x2

当点P(x,y)沿直线yx趋于(0,0)时数x f(x,x分 (x,x)(0,0)分及 及

x

2|x 2

2 |x2 |x

22不存在.-36 所以fxx,y)在(0,0) 同理可证fy(x,y)在(0,0)不连续多函 ff(x,y)f函数(x)2(y)2微 (x)2(y)2微(x(x)2(y)2 其应 故f(x,y)在点(0,0)可

(0,0)-37 -38 第章 当二元函数zf(x,y)在点P