第五章分析力学日

1122.而常数A1,1和A2,2则由 12归根结底，只要我们知道了q1,2和q̇1,2的初始值，就可以定出1,2和̇1,2的初始值，然后得出t时刻的1,2。最后，我们再反解方程（117a）（这很容易），就得到了t时刻的q1和q2，即有12q1 1 22 A1 A2cos 2 1212q2 1 22 A1 −A2cos 2 当然，我们也可以先不去专门求1,2和̇1,2的初始值。事实上，根（5.124a,b），A1,1A2,2已经直接和q1,2与q̇1,2们可以直接从q1,2与q̇1,2的初始值出发得到这些常数，最终得到完整的q1t和q2t。cq q2

.这样一来，我们问题的解，即（5.124a,b）中的q1t和q2tq 1 ss1s2s ;s1

12 .12传统的图像中，我们直接关注广义坐标q1和q2取值随时间的变化。而在新的图像中，我们则把q1和q2 q1q2

1

.122 122与s1和s2相应的幅度就是1t和2t。同时，把体系的运动看成s21t和2t随时间的变化。也就是说，我们用1t和2t来描述体系的运动，而不是直接用q1t和q2t来描述。“随时间的变化q1t和q2t“s1s21t2t进行的线性组合”需要注意的是，我们这里选择的1和2，成功的让日量解耦。这导1t和2t满足两个独立的，与谐振子相同的微分方程20 ̇20 此时根据（5.120a），我们显然有2 即简正模式s2的幅度为零。此时体系的构型正比于s1，而幅度在随时间q1q2

1 s

t .111即q1和q2的取值始终相同，都是1 。换句话说，q1和q2以相同的步调随时210 ̇10 1 即简正模式s1的幅度为零。此时此时体系的构型正比于s2，而幅度在随

q1q2

2 s

t 22即q1和q21 s A1 s和2 s A2 ss1和s2的零时我称让日量义1和21和2d找到一组合适的广义坐标1和2，它们是原始的广义坐标q1，q2的线性组合，同时，日量中没有1̇1与2̇2相乘的项，即拉氏量被解耦，自然，1和2满足两个相互独立的运动方程。它们的运动如同两个不耦合的谐振子一样，以各自的频率，根据初始条件进行振动，相互之间不干扰。1和2称为简正坐标。同时，我们发现存在两个线性独立，并且与时间无关的的列矢量s1和s2s1s2的线性组合时，其相应的幅度正是简正坐标12始终看成构形s1和s2以随时间变化的幅度线性组合。而体系的运动则由s1的幅度，即1和2随时间的变化来描述。如前所述，1和2满足两个独立的方程。这意味着在运动中s1和s2的幅度各自独立的随时间振荡，如同两个谐振子一样。从这个角度看，前所述，我们进一步称两种特殊的运动1t s1和2t “我们先插播一段数学。我们考虑一个 W11W12.. .. ..

Wji.i, 1,...,N个实数本征值ii 1,...,N和N个实本征列矢量si 1,...,它们可以写sis1siss ..ss

1 j其中实数sisi的第jji,s Ws isi; 1,...,或∑Wjks isi;i,j, 1,..., k上式中的N个本征值1,..., N的取值，完全由矩阵W决定。但是，我们注意到，即便对给定的本征值i而言，满足方程（5.138）的本征矢量si也并不唯一。比如，把si乘以任何常数，得到的新的列矢量就仍然满足（5.138）。有趣的地方在s 1N，他们不但满足本征方程（5.138），

siTs NkN

sisj

ij;i, 1,..., 1, 0,i≠

si si,si,...,s 而siTsj就成为了一个实数 sisjk N阶方阵S，它的每一列都是一个si s1,s2,...,s s s ... ..... .. s s ...

sij.i, 1,..., ∑ ∑Wiks jsj

1s1,2s2,...,Ns1s 2s .. Ns 2s2

2 .. .. .. 1s 2s .. 现在我们矩阵S的转置ST。显然，根据（5.141）和（5.142），我们 si;i, 1,..., s1 s2..sN s s .. ...........ssN..sN 也就是说，ST的第isisiT。ST就是把NsiT ∑ST ∑ ∑sis I或者说ST是S ∑ST ∑sijs j

. .. ..... .. ..

. 解出W的Ni和N个相应的，满足正交归一条件（5.139）量si。然后把N个列矢量si从左到右排起来，构造矩阵S（见（5.141）），并计按照（5.122）的方式，利用Ni走完这三