导数系统班13、参数求解之端点效应

本资料陈飞老师主编，可联系微信：renbenjiaoyu2,加入陈老师高中数学永久QQ资料群下载第十三讲参数求解之端点效应知识与方法假设题干给出含参不等式在上恒成立，求参数的取值范围.这类问题俗称含参不等式恒成立问题.若恰好满足，则称该不等式具有端点效应.具有端点效应的含参不等式恒成立问题的一种常用的解题方法是带参讨论，寻找讨论的分界点是解题的关键.既然要恒成立，且，那么在右侧附近函数值不能减少，所以，由此可得到成立的必要条件（不一定是充分条件），从而找到讨论的分界点.典型例题【例1】已知函数，其中.（1）当时，证明：；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.【解析】解：（1）当时，，，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，从而，故.（2）由题意，，，①当时，，故在上单调递减，结合知，不合题意；②当时，，，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以当时，，不合题意；③当时，易得，所以在上单调递增，结合知恒成立，满足题意；综上所述，实数a的取值范围为.【反思】本题的不等式在端点处恰好成立，有端点效应，所以，可据此找到带参讨论的分界点.【例2】已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.【解析】解法1：由题意，，，，当时，，，所以，满足题意；当时，，所以在上单调递增，结合知，从而在上单调递增，又，所以恒成立，满足题意；当时，，所以在上单调递增，结合，可得在上有唯一的零点，且当时，，所以在上单调递减，又，所以当时，，从而不能恒成立，不合题意；综上所述，实数a的取值范围为.解法2：当时，对任意的，，设，则，所以在上单调递增，又，所以，因为，所以，满足题意；当时，，，所以在上单调递增，又，，所以在上有唯一的零点，且当时，，所以在上单调递减，又，所以当时，，从而不能恒成立，不合题意；综上所述，实数a的取值范围为.【反思】本题的不等式在端点处恰好成立，有端点效应，所以，可据此找到带参讨论的分界点.【例3】（2010·新课标）设函数（1）若，求的单调区间；（2）若当时，，求的取值范围.【解析】解：（1）当时，，，当时，，当时，，所以的减区间为，增区间为.（2）当时，，设，则，由（1）可得，所以，故在上单调递增，又，所以恒成立，从而，满足题意；当时，，，因为，所以，从而当时，，所以在上单调递减，又，所以当时，，故在上单调递减，因为，所以当时，，故在上不能恒成立，不合题意；综上所述，实数a的取值范围为.强化训练l.（2016·新课标Ⅱ卷）已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若当时，，求的取值范围.【解析】（1）当时，，，所以，，故曲线在处的切线方程为，整理得：.（2）由题意，，，所以在上单调递增，①当时，，所以，故在上单调递增，结合知恒成立，满足题意；②当时，，，结合在上单调递增知在上有唯一的零点，且当时，，所以在上单调递减，又，所以当时，，故不能恒成立，不合题意；综上所述，a的取值范围为.2.已知函数，.（1）若，求在上的最小值；（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）当时，，，所以在上单调递增，故.（2）由题意，，①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，故，不合题意；②当时，，所以当时，，从而在上单调递增，又，所以当时，，从而在上不能恒成立，不合题意；③当时，对任意的，，所以，从而在上单调递减，结合知恒成立，满足题意；综上所述，实数a的取值范围为.3.已知函数（1）若，讨论在上的单调性；（2）若在上恒成立，求a的取值范围.【解析】（1）当时，，，显然当时，，所以，从而，当时，，所以在上单调递减，又，所以在上恒成立，综上所述，在上恒成立，故在上单调递增.（2）当时，对任意的，，所以，设，则，所以在上单调递增，又，所以，而，所以，满足题意；当时，，，所以在上单调递增，又，，所以在上有唯一的零点，且当时，，故在上单调递减，因为，所以当时，，从而在上不能恒成立，不合题意；综上所述，实数的取值范围是.4.已知函数（1）讨论在上的单调性；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）由题意，，当时，显然在上恒成立，所以在上单调递减；当时，，且，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减；当时，显然在上恒成立，所以在上单调递增.（2）由题意，即为，设，①当时，，设，则，设，则，所以在上单调递增，又，所以恒成立，即，又，所以在上恒成立，从而在上单调递增，因为，所以，又，所以，满足题意；②当时，，，因为当时，，所以恒成立，故在上单调递增，设，则，所以在上单调递增，又，所以恒成立，即，从而，所以当时，必有，又，所以在上有唯一的零点，且当时，，从而在上单调递减，结合知当时，，所以在上不能恒成立，不合题意，综上所述，实数a的取值范围是.5.已知函数.（1）当时，求函数在上的最小值；（2）若在上恒成立，求a的取值范围.【解析】（1）当时，，，在上，，，所以，从而在上单调递增，故.（2）当时，在上，，设，则，，所以在上单调递增，又，所以恒成立，故在上单调递增，因为，所以恒成立，因为，所以，满足题意；当时，，，所以在上单调递增，又，，且，所以在上有唯一的零点，当时，，从而在上单调递减，因为，所以当时，，从而在上不能恒成立，不合题意；综上所述，a的取值范围是【反思】本题的不等式在端点处恰好成立，有端点效应，所以，可据此找到带参讨论的分界点.本资料陈飞老师主编，可联系微信：renbenjiaoyu2,加入陈老师高中数学永久QQ资料群下载（群内90%以上资料为纯word解析版），群内资料每周持续更新！高一资料群内容：1、高一上学期同步讲义（word+PDF）2、高一下学期同步讲义（word+PDF）3、寒暑假预习讲义（word+PDF）4、专题分类汇编（纯word解析版）5、全国名校期中期末考试卷（纯word解析版）6、期中期末考试串讲（word+PDF）…………更多内容不断完善高二资料群内容：1、高二上学期同步讲义（word+PDF）2、高二下学期同步讲义（word+PDF）3、寒暑假预习讲义（word+PDF）4、专题分类汇编（纯word解析版）5、全国名校期中期末考试卷（纯word解析版）6、期中期末考试串讲（word+PDF）…………更多内容不断完善高三资料群内容：1、高三大一轮复习讲义（word+PDF）2、高三二轮冲刺讲义（word+PDF