无穷级数修改版

无穷级数修改版2

公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：

如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000,假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100,乌龟仍然前于他10米,…,

如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.,问题究竟出在哪儿呢？—阿基里斯与乌龟3

无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.

一、常数项级数的概念

计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积第一节常数项级数的概念和性质41.级数的定义:—(常数项)无穷级数一般项部分和数列级数的部分和（前n项和）5注：一般项和前n项和的关系62.级数的收敛与发散:即常数项级数收敛（发散）存在（不存在）7余项8解收敛发散例1讨论等比级数(几何级数)的收敛性.9

发散发散

综上所述,10

公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：

如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,…,

如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？齐诺悖论—阿基里斯与乌龟11

如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论就会不攻自破.

1213解已知级数为等比级数，14解例讨论无穷级数的收敛性.151617解例所以级数发散.18级数收敛的必要条件证明注意:1.19202.必要条件不充分:再举一例：

21讨论于是矛盾，22二、级数的基本性质证略.也收敛,且有思考：若k=0？性质1如果且当收敛时和则具有相同的敛散性，å+¥=1nnu23解收敛24收敛解25注:证：矛盾.假设26去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).性质3性质4收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.证注收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.推论如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散.

例如27例4判断下列级数的敛散性：2829例：试把无限循环小数表示成一个等比级数，并求出级数和。解：是公比首项为0.3的等比级数，收敛。其和为30小结一、常数项级数的基本概念和性质二、基本审敛法三、等比级数和调和级数的收敛性31练习题3233练习题答案34第二节常数项级数的审敛法

1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:定理一、正项级数及其审敛法这是因为

所以

即单调增加,因此它有极限当且仅当它有上界.35证明第一比较判别法(2)是(1)的等价命题.

则36解例12.比较审敛法的不便:须有参考级数.所以由第一比较判别法原级数收敛.37解例238综上，39重要参考级数:几何级数,p-级数,调和级数.例如：40例：判别解：例：判别解：41解例42证明43,设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数如果,当时;则(1)两级数有相同的敛散性(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;(2)当时，若收敛,则收敛;第二比较判别法:44证明由比较审敛法的推论,得证.45例5例6解：解：所以由第二比较判别法知原级数发散.46例7例8故原级数发散.47例9解48例9解49比值判别法(达朗贝尔D’Alembert判别法)：

证略.50注：1.此方法优点：不用找参考级数。2.缺点：当时此方法失效。51例11例12收敛.解收敛.解52例13解所以用比值法无法判断.用比较法,故原级数收敛.53例14解54练习：判定下列级数的收敛性.收敛收敛收敛发散5556575859

本节讨论一般的常数项级数,即各项符号不尽相同的变号级数(任意项级数).如级数

下面讨论任意项级数的敛散性的判别法.首先讨论其中的一种各项正负相间的特殊情形——交错级数,它是一种常见而有实用价值的特殊级数.二、任意项级数及其审敛法60定义:正、负项相间的级数称为交错级数.莱布尼茨定理

如果交错级数满足条件称莱布尼茨型级数

1.交错级数6162例15解这是交错级数,例1663解原级数收敛.例1764由于任意常数项级数各项的符号不一定同号,因而正项级数的敛散性的判别法对它来说是不适用的.但当我们定义:若级数每项取绝对值构成的级数收敛,便可借助于正项级数的敛散性的判别法来研究它了.例如级数是条件收敛的.是绝对收敛的;它的每一项取绝对值后组成的级数——正项级数,考察收敛,则称级数绝对收敛;则称级数若级数发散,而级数条件收敛.2、任意项级数的绝对收敛与条件收敛定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.65证明即绝对收敛的级数必收敛.

66说明1

所有正项级数的收敛都是绝对收敛.2

一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来判定任意常数项级数是否绝对收敛,从而收敛.即绝对收敛的级数必收敛.

而不能断定它必为发散,

注意:此时需进一步用其他方法来判的敛散性.定(1)当发散时,就只能断定非绝对收敛,67(3)

若用比值法和根值法判别级数,得出级数

定理8.8

若任意项级数满足条件发散,则可断言级数一定发散.即绝对收敛的级数必收敛.

68如级数收敛的定义,级数的一些基本性质等进行判别.注（3）

对于任意项级数①首先判断它是否绝对收敛②再看它是否为交错级数;

是否收敛);(即用正项级数的判别法,判别若是交错级数，就用莱布尼兹判别法判别是否收敛;③若前面方法失效,就考虑用其它方法;69例18例1970

判定下列级数的敛散性，如果收敛判定是绝对收敛还是条件收敛.由比较判别法的极限形式知故原级数绝对收敛.收敛，例2071发散，从而原级数不绝对收敛；

但它却是满足莱布尼兹条件的交错级数,即满足：故原级数条件收敛.72例21解73例22解74小结正项级数任意项级数审敛法4.充要条件5.比较法6.比值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;1.2.75思考题解答由比较审敛法知收敛.反之不成立.例如：收敛,发散.76作业：P137习题8.2 2单号

3单号

4. 5.77第四节幂级数（1）

1.定义:一、函数项级数的一般概念78

则称点x0为函数项级数①的一个收敛点.①

在函数项级数①中，若令x

取定义域中某一确定值x0

，则得到一个数项级数若上述数项级数收敛，

反之，若上述数项级数发散，则称点x0

为函数项级数①的发散点.2.收敛点与收敛域:79

上述级数的和

S也随之变动，

称为函数项级数的收敛域,发散点的全体构成的集合，称为函数项级数的发散域.收敛点的全体构成的集合，

若x0

是收敛域内的一个值，因此必有一个和S(x0)与之对应，即当x0

在收敛域内变动时，就得到一个定义在收敛域上的函数S(x)，即3.和函数:80

如果我们仿照数项级数的情形，将函数项级数①的前n项和记为

Sn(x)，且称为部分和函数，这个函数S(x)就称为函数项级数的和函数.即Sn(x)那么在函数项级数的收敛域内有则在收敛域内同样有若收敛域记为I81注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.例：讨论级数有和函数

的收敛域、和函数及发散域.解易知此级数是等比级数，即收敛域是即发散域是82解由达朗贝尔判别法，原级数绝对收敛.例83原级数发散.收敛;发散;例84二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:85二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数

.即是此种情形.的情形,即称

86

则称幂级数为不缺项的，否则称为缺项的幂级数.例如幂级数缺

x

的奇次幂，叫缺项的幂级数，又如是不缺项的幂级数.87发散发散收敛发散定理.(Abel定理)

若幂级数则对满足不等式的一切x

幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:

设收敛,则必有于是存在常数M>0,使绝对收敛88证毕由正项级数的比较审敛法知,

由(1)结论,89几何说明收敛区间发散区域发散区域幂级数绝对收敛，该幂级数发散，定义:则称正数R为幂级数由Abel定理可以看出,

中心的区间.的收敛域是以原点为(－R,R)

称为收敛区间.可能收敛也可能发散

.注：(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.90规定问题如何求幂级数的收敛半径?幂级数绝对收敛，该幂级数发散，定义:则称正数R为幂级数91定理.

若的系数满足证:1)若≠0,当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,即时,则

因此级数的收敛半径922)若绝对收敛,对任意

x原级数因此3)若即对除x=0以外的一切x原级数发散,证毕说明:据此定理的收敛半径为93求下列幂级数的收敛半径和收敛域.

例1解94例2.解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=195缺少偶次幂的项级数收敛,例3解96级数发散,级数发散,级数发散,所以原级数的收敛域为级数收敛,97例.的收敛半径.解:

级数缺少奇次幂项,是亚标准型幂级数，98例4.的收敛域.解:

令

级数变为当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即99练习.的收敛域.解:

令

级数变为当t=1时,级数为此级数发散;当t=–1时,级数为此级数也发散;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即100作业：P154习题8.4 1. （2） （4） （6） （8）101第四节幂级数（2）

1024.幂级数和函数的性质且收敛半径仍为R.

103且收敛半径仍为R.

104解幂级数例

1讨论收敛半径R=1，逐项求积分后得收敛域：(-1,1)105易求得它的收敛半径仍为R=1.当x=1时，发散.当x=-1时，幂级数为故幂级数收敛域为[1,1).思考：两个幂级数的和函数如何求？106107思考：逐项求导所得的幂级数的收敛域？和函数？逐项求导后得：108例2解易求得幂级数的收敛半径R=1，收敛域 为(1,1)

，设所以则109例2解易求得幂级数的收敛半径R=1，收敛域 为(1,1)

，而在收敛区间(1,1)内，所以110解发散收敛。111解两边积分得112例4.

的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,113例5解114115例6解116117例7.解:设则118例7.解:而119例7.解:120作业：P154习题8.4 2. （2） （4）

121第四节幂级数（3）

122两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数

二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数

第四节幂级数（3）

123一、泰勒(Taylor)级数

其中(

在

x

与x0

之间)称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,

此式称为f(x)的n

阶泰勒公式,该邻域内有:124此式称为f(x)的n

阶麦克劳林公式,其中称为麦克劳林余项，125为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0

时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.定义：若函数的某邻域内具有任意阶导数,126待解决的问题:1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)

？127定理.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是

f

(x)的泰勒公式中的余项满足:证明:令设函数f