辽宁省朝阳市北票市重点中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题及参考答案

北票市重点中学高二阶段性质量检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．在复平面内，复数z对应的点为，则（）A．1 B．i C．－i D．3．已知向量，，，则（）A． B． C．6 D．－64．“”是“函数的最小值大于4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．设曲线在点处的切线与直线垂直，则a等于（）A． B． C．1 D．－16．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．7．以双曲线C：的实轴与虚轴端点为顶点的四边形各边中点恰在双曲线的渐近线上，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．8．已知定义在R上的函数满足，，且，则（）A．2023 B．－2023 C．4046 D．－4046二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。9．端午节与春节、清明节、中秋节并称中国四大传统节日，吃粽子是端午节习俗，其节日形象早已深入人心．下图为2022年中国“Z世代”（指出生年代在1995年～2009年之间的一代人）群体与白领群体偏爱的粽子包装风格柱形图：根据该图，下列说法正确的是（）A．“Z世代”群体与白领群体偏爱简约风格的粽子包装的占比都超过60%B．白领群体同时偏爱简约风格与中国风的粽子包装的占比低于25%C．“Z世代”群体偏爱其他风格的占比是白领群体偏爱其他风格的占比的10倍以上D．“Z世代”群体偏爱二次元风的占比超过白领群体偏爱二次元风的占比10．已知圆上有且仅有三个点到直线l的距离为1，则直线l的方程可以是（）A． B． C． D．11．定义运算：，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的可能取值是（）A． B． C． D．12．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数存在两个不同的零点B．函数既存在极大值又存在极小值C．当时，方程有且只有两个实根D．若时，，则t的最小值为2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．若X服从正态分布，且，则t的值为______．14．某学校举办班主任经验交流会，共有五名老师参加演讲，在安排出场顺序时，甲、乙两人需要排在一起，这样出场顺序一共有______种．（用数字作答）15．过椭圆C：上一点作直线与椭圆C交于另一点，以PQ为直径的圆过点，，则______．16．已知四棱锥的外接球O的表面积为，平面ABCD，且底面ABCD为矩形，，设点M在球O的表面上运动，则四棱锥体积的最大值为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。17．（本小题满分10分）如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，．（1）求的面积；（2）求边AB的长．18．（本小题满分12分）在公比为2的等比数列中，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．19．（本小题满分12分）如图所示，平面ABCD，四边形AEFB为矩形，，，．（1）求证：平面ADE；（2）求平面CDF与平面AEFB夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）某公司计划对A产品进行定价，前期针对A产品的售价以及相应的市场份额进行调研，所得数据如下表（Ⅰ）所示．根据前期的销售情况，公司征求了所有员工对产品定价的看法，所得数据如表（Ⅱ）所示．表（Ⅰ）A产品售价x（千元）223140A产品所占市场份额y0.50.30.08表（Ⅱ）认为定价应该超过3000元认为定价不能超过3000元40岁以上员工（含40岁）1005040岁以下员工150150（1）根据表（Ⅰ）数据建立A产品所占市场份额y与定价x之间的回归直线方程（回归直线方程的斜率和截距均保留两位有效数字）；（2）根据表（Ⅱ）中的数据，依据的独立性检验，能否认为产品定价的高低与员工的年龄具有相关性；（3）若按照年龄进行分层抽样，从表（Ⅱ）中认为定价应该超过3000元的员工中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记40岁以下员工的人数为X，求X的分布列以及数学期望．参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；参考数据：α0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（本小题满分12分）已知抛物线C：的焦点为F，过点的动直线l与C的交点为A，B．当直线l的斜率为1时，．（1）求C的方程；（2）C上是否存在定点P使得（其中，分别为直线PA，PB的斜率）？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）判断在上的单调性；（2）若，求证：．数学参考答案、提示及评分细则1．D 因为，，且，所以，故选D．2．B ，，故选B．3．A 由得，即，所以，故选A．4．C 若，则的最小值为；若的最小值大于4，则，且，则，故选C．5．A ，在点处的切线的斜率，又∵切线与直线垂直，∴，∴，故选A．6．D 设，则，时，，是减函数，又，所以，即，故选D．7．A 由题意可得点在直线上，所以，，双曲线C的离心率，故选A．8．B 因为，，所以为奇函数，，所以，即，所以，因为，则．9．ACD“Z世代”群体与白领群体偏爱简约风格的粽子包装的占比分别为71.1%，68.7%，都超过60%，A正确；对于偏爱其他风格的比例，“Z世代”群体占比4.5%，白领群体占比0.4%，C正确；“Z世代”群体偏爱二次元风占比24.4%，白领群体偏爱二次元风占比20.1%，D正确；白领群体同时偏爱简约风格与中国风的粽子包装的占比约为，B错误，故选ACD．10．BCD因为圆的半径为2，圆心为，圆上有且仅有三个点到直线l的距离为1，所以圆心到直线l的距离为1．圆心到直线的距离为，不符合题意；圆心到直线的距离为，符合题意；圆心到直线的距离为，符合题意；圆心到直线的距离为1，符合题意．故选BCD．11．BC 将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，再根据所得图象对应的函数为偶函数，可得，，求得，令，可得；令，求得．故选BC．12．ABC A项，，则，解得，所以A正确；B项，，当时，，当时，或，所以函数的单调递减区间是，，单调递增区间是．所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．C项，当时，，根据B可知，函数的最小值是，故当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；D项，，也符合要求，所以D不正确．13．8 由题意知，解得．14．48 ．15． 以PQ为直径的圆过，，则线段MN的垂直平分线过圆心，即直径PQ的中点在y轴上，轴不满足题意，由椭圆的对称性可得圆心为原点O，所以，，．16．48 依题意球半径，将四棱锥补成长方体，长、宽、高分别设为a、b、c，则，且，∴，∴，当且仅当时取等号．要使四棱锥的体积最大，只需点M为平面ABCD的中心与球心O所在的直线与球的其中一个离平面ABCD较远的交点，可求得体积最大值为48．17．解：（1）在中，由余弦定理得．∵为三角形的内角，∴，∴，∴．（2）在中，，由正弦定理得：，∴．18．解：（1）因为，所以，因此．（2）由（1）可知：，，，所以，①，②①－②得，所以．19．（1）证明：∵四边形ABEF为矩形，∴．又平面ADE，平面ADE，∴平面ADE．又，同理可得平面ADE．又，平面BCF，∴平面平面ADE．又平面BCF，∴平面ADE．（2）解：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，∴，，．设是平面CDF的一个法向量，则即，令，解得，∴．又是平面AEFB的一个法向量，∴，∴平面CDF与平面AEFB夹角的余弦值为．20．解：（1）由题意，，，所以，，所求回归方程为．（2），故依据的独立性检验，可以认为产品定价的高低与员工的年龄具有相关性．（3）依题意，按分层抽样随机抽取10人，40岁以上员工(含40岁)有4人，40岁以下员工有6人，故X的可能取值为0，1，2，3，，，，，故X的分布列为：X0123P故．21．解：（1）直线l的斜率为1时，直线l的方程为，由得．设，，则．由定义可知，，，所以，所以．故C的方程为．（2）假设在C上存在定点，使得．当直线l的斜率不存在或斜率为0时，不合题意；设直线l的方程为，与联立方程组