2022-2023学年安徽省滁州市、定远县高二年级上册学期12月联考数学试题【含答案】

2022-2023学年安徽省滁州市、定远县高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知为虚数单位，集合，.若，则复数等于A．1 B．−1 C． D．【答案】C【分析】由复数的概念得到集合Q，计算集合P与集合Q的补集，即可确定出复数z.【详解】,,则，即zi=-1,z=,故选C【点睛】本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题.2．已知数列的通项公式，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】通过赋值求得，即可求得结果.【详解】因为，故可得，则.故选：.3．是向量为单位向量的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由单位向量的定义，即得解【详解】由单位向量的定义，可知是向量为单位向量的充要条件故选：C【点睛】本题考查了充要条件的判断，考查了学生概念理解，逻辑推理能力，属于基础题.4．已知，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导化简，再利用同角公式计算作答.【详解】由得：，即，因，则，所以.故选：C5．已知圆，圆，则两圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内含 D．相切【答案】B【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系.【详解】由题设，：，：，∴，半径；，半径；∴，即两圆相交.故选：B6．设函数，，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知函数在上是减函数，则有，结合函数的图象可得关于的限制条件，解出即可．【详解】解：数列是单调递减数列，即有，也即，所以函数在上是减函数，故有，解得．所以实数的取值范围是．故选：C．7．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线过双曲线的一个焦点，则双曲线实轴长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得及，再结合求出，即可得解.【详解】解：由题意知，，，又，∴，，，故双曲线实轴长为.故选：C.8．设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性及单调性可得，进而即得.【详解】因为为定义在上的偶函数，在上为增函数，由可得，∴，解得.故选：B.二、多选题9．下列选项中正确的是（

）A．，则B．若，，则.C．若，，则D．若，则的最小值是2【答案】BC【分析】A选项，可举出反例；BC选项，可根据不等式的基本性质进行推导得到；D选项，利用基本不等式进行求解，由于等号取不到，可知无最小值.【详解】若，则，A错误；因为，所以，因为，所以，B正确；因为，所以，因为，所以，即，C正确；因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，由于，故等号取不到，所以无最小值.故选：BC10．等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有A． B． C． D．【答案】BC【解析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.【详解】由等差中项的性质可得为定值，则为定值，为定值，但不是定值.故选：BC.【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11．已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（

）A．的最小正周期为B．在上有2个零点C．在区间上单调递减D．函数图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数【答案】AB【分析】利用正弦函数的性质可判断AC，由整体法得到，可以得到在上的零点判断B，根据图象的变换及正弦函数的性质可判断D.【详解】对于选项A：的最小正周期为，故选项A正确；对于选项B：当时，，所以当时，，即函数在上存在零点，故选项B正确；对于选项C：当时，，所以当时函数为增函数，当时函数为减函数，所以在区间上先增后减，故选项C错误；对于选项D：函数图像向右平移个单位得到，函数为奇函数，故选项D错误．故选：AB．12．已知直线与抛物线相交于，两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（

）A． B．C．的面积为 D．【答案】ABD【分析】求出抛物线的准线方程，可求得的值，可判断A；利用点差法可求得线段的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得的值，可判断B；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断C、D.【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，解得，故A正确；因为，所以抛物线的方程为：，其焦点为，又直线，即，所以直线恒过抛物线的焦点，设点，，因为，两点在抛物线上，联立方程两式相减可得，，设的中点为，则，因为点在直线上，解得，所以点是以为直径的圆的圆心，由抛物线的定义知，圆的半径.因为，所以，解得，故B正确；因为，所以，直线为，由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离为，所以，故C错误，D正确.故选：ABD.三、填空题13．已知等差数列的首项和公差相等且均不为零，则______.【答案】【分析】利用等差数列通项公式求解.【详解】设公差为，.故答案为:.14．使得“”成立的一个充分条件是___________.【答案】（答案不唯一，）.【分析】由于，故不等式等价于，解得，故只需写出的子集即可.【详解】由于，故等价于，解得：，使得“”成立的一个充分条件只需为集合的子集即可，故答案可以为：故答案为：【点睛】本题考查充分条件，指数不等式，考查运算求解能力，是中档题.解题的关键在于根据已知解指数不等式，进而需求不等式解集的子集即可.15．数列满足，对任意的都有，则______.【答案】【分析】由已知可得出，利用累加法可求得，求得，利用裂项相消法可求得的值.【详解】由，可得，所以，当时，，也满足上式，故对任意的，，所以，所以.故答案为：.16．在三棱锥中，底面，则该三棱锥的外接球的体积为___________.【答案】【分析】将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，从而即可求得该三棱锥的外接球的表面积．【详解】因为三棱锥中，底面，，所以可将三棱锥补成长方体，长方体的对角线是三棱锥外接球的直径，则三棱锥外接球的直径为，半径为，所以外接球的体积故答案为：.四、解答题17．已知数列为等差数列，前n项和记为，，．(1)求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得首项和公差，进而得通项，（2）根据等差数列的性质，找到正负项的分界线，即可求解最值.【详解】（1）设数列的公差为d，由，，得解得，，∴．（2）数列首项为负的，公差大于零，是递增数列，令即解得，∴，即第1项到第12项都是负的，从第13项起变成正的，∴时，最小，最小值为18．在中，角的对边分别为，，，且满足.(1)求角；(2)若，，求外接圆的面积【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理和两角和与差的正弦公式即可求解；（2）根据余弦定理和正弦定理即可求解.【详解】（1）由正弦定理知，，所以，∴，且，，∴，.（2）由余弦定理得，，，∴，.∴外接圆面积.19．已知圆的圆心在坐标原点，直线的方程为.(1)若圆与直线相切，求圆的标准方程；(2)若圆上恰有两个点到直线的距离是1，求圆的半径的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线距离公式，即得解（2）分析可得，即，求解即可【详解】（1）设圆的半径为，圆心到直线距离为，则，依题意，所以圆的方程为.（2）由（1）知，圆心到直线距离为，又圆上恰有两个点到直线的距离是1，所以，即，所以，即圆的半径的取值范围是.20．俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查.现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示(1)求样本中数据落在的频率；(2)求样本数据的第60百分位数；(3)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率.【答案】(1)0.4(2)55(3)【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积和为1计算求解即可；（2）根据频率分布直方图和第60百分位数定义计算即可；（3）利用分层抽样的概念和古典概型计算公式计算即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中数据落在的频率为（2）样本数据的第60百分位数落在第四组，且第60百分位数为（3）与两组的频率之比为，现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为，，组抽取4人，记为1，2，3，4.所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15种.其中至少有1人的年龄在的情况有，，，，，，，，，共9种，故所求概率.21．在如图所示的四棱锥中，四边形为矩形，平面，为的中点.(1)证明：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，交于点，连接，则，再由线面平行的判定定理即可证明.（2）如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.分别求出平面与平面的法向量，再由二面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】（1）证明：连接，交于点，连接，∵为中点，为中点，∴∵平面，平面，∴平面（2）解：如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则，，，则，∵平面，∴平面的一个法向量.设平面的法向量为，则即令，则，，∴∴故平面与平面夹角的余弦值为.22．已知椭圆的离心率为，点，是椭圆C的左右焦点，点P是C上任意一点，若面积的最大值为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线与椭圆C在第一象限的交点为M，直线与椭圆C交于A，B两点，连接，，与x轴分别交于P，Q两点，求证：始终为等腰三角形.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）根据面积的