高数下课件ch105空间曲线及其方程

§10.5量函间R1R3的向

r(t){x(t),y(t),z(t)}为一元向量函数t称为自变量导 r(t){x(t),y(t),z(t)} 积

r(t)dt{

x(t)dt,

y(t)dt,az(t)dt二.曲线的一般方程二.曲线的一般方程Fx,yz)0与Gx,yz)它们的交线C

F(x,y,z) G(x,y,z)称之为空间曲线C注.表示空间曲线Czx2例1方程z

表示怎样的 zx2 以z轴为轴的旋转抛物面 而z2表示平行于xOy面的平面 此交线是一个圆．圆心为(0,0, 2 2另外，

x2y2z即圆柱面与平面的交 x三三.CMxyz可以表示为参数t的函数：xx(tyy(tz(t称之为空间曲线C参数方

写成向量函数形

r(t){x(t),y(t),z(t)22Mx2y2a2zz轴旋转,vz那么点M构成的上升(其中v螺旋线试建立其参数，zoMAM解取时间t为参数，假设t，zoMAMMxA(a,0,0经过时tA移动到Mxy，记M在xOy面上的投影点为M， 则有M(x,y,0)，并且AOMt 从 x|OM|costa y|OM|sintasinzoMAM又由于动点以速度v沿平行于z轴的方向上升， z|MM|zoMAMxacos因此参数方程

yasinx2y2也可化为一般方

z 四四已知空间曲C及平,过曲C的每一点作平的垂线,则由这些点在平面上的垂足所形成的曲线C称为曲C在平上的投影曲线,而由所有垂线构成是以曲线C为准线,母线平行于平面的法向量的柱面,这一柱面称为曲线C的投影柱面.C设曲线C

F(x,y,z) GG(x,y,z)(3)z后的方H(x,y) 这是以曲线C为准线母线平行于z轴的柱面,即为曲线CxOy面的投影柱面，投影柱面xOy面的交线即为曲线CxOy面上的投影曲线(简称投影)．(1)Hx,y)0zHxy0所表示的曲zxOy C在yOz面或xOz面上的投影R(y,z) T(x,z)x y33C2xzx2y2z2解 从方程组中消去z，x2y2(12x)25(x2)2y2 则在xOyx2)2y2 从方程组中消去x

(1z)2y2z29 y25(z1)2 则在yOz

y25(z1)2

2xz1C并且可作为母线平行y轴的柱面．因此，2xz1CxOz面的投影柱面，xOz2xz

111z y 例例4设一个立体,由上半球面z 4x2y2和锥zz 3x2y2所围求它在xOy，z，解交线Cz消去z

z3(3(x2y24x2x24x2y则C在xOy面的投影 x2y2z

xOy面上的一于是所求立体在xOy面上的投xy|x2y21}，五五.空间曲线C的参数xf1(tyf(t (tI f3(t其中f1(t f2(t f3(t)有连续的一阶导数相应于[t1,t2 的一段弧 S

[f(t)]2[f(t)]2[f(t)]2 tt0M0f1(t0f2t0f3t0的切线xf1(t0)yf2(t0)zf3(t0 f2(t0 f3(t0其方向向量lf1(t0),f2(t0),f3(t0)}在点M0的切向定义一平面通过点M0x0y0z0与点M0处的切线垂直则称之为空间曲线C在点M0处的法平面．假设点M0 对应于tt0，则法平面方程为f1(t0)(xx0)f2(t0)(yy0)f3(t0)(zz0)0 yetsinxetcos在区间[n2]z解弧长[x(t[x(t)]2[y(t)]2[z(ts0(etcost(etcostetsint)2(etsintetcost)2e2t0 ln0

3et333例例6求螺旋线yasint在 xacos03由于x(tasinty(tacostz(t即 处的切向量为

a,