泸县第五中学2021届高三上学期开学考试数学（文）试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精四川省泸县第五中学2021届高三上学期开学考试数学（文）试题含答案2020年秋四川省泸县第五中学高三开学考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，集合，则A． B． C． D．2．已知复数满足（是虚数单位），则=A． B． C． D．3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为A． B． C． D．4．在等差数列中，，则A．5 B．8 C．10 D．145．设是定义在上周期为2的奇函数,当时，，则A． B． C． D．6．设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点,则A． B．C． D．7．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A．乙、丁可以知道自己的成绩 B．乙可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．丁可以知道四人的成绩8．已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是A．,， B．，，C．，, D．，，9．已知向量与的夹角为，=2,=5，则在方向上的投影为A． B． C． D．10．已知是抛物线上一点，为其焦点,为圆的圆心，则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．511．已知为双曲线的右支上一点，分别为双曲线的左顶点和右焦点，线段的垂直平分线过点，,则双曲线的离心率为A． B．2 C．3 D．412．如图，在以下四个正方体中，使得直线与平面垂直的个数是A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知曲线的一条切线的斜率是3,则该切点的横坐标为____________。14．圆心在直线上的圆C与轴交于两点，，则圆C的方程为______．15．在单调递增,则的范围是__________．16．已知函数，则满足的实数的取值范围是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一)必考题：共60分。17．（12分）设数列是公差不为零的等差数列,其前项和为,,若,,成等比数列．（Ⅰ）求及;（Ⅱ）设,设数列的前项和，证明：．18(12分）．2019年1月1日,我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房货款利息、住房租金、赡养老人.某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人,调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如下：员工\人数\专项子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工402203中年员工821518青年员工120121(Ⅰ）在抽取的20人中,老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；(Ⅱ）从上表享受住房货款利息专项扣除的员工中随机选取2人,求选取2人都是中年员工的概率.19(12分)．如图所示,在四棱锥中,底面是正方形，对角线与交于点，侧面是边长为2的等边三角形，为的中点.(Ⅰ）证明:平面;(Ⅱ）若侧面底面,求点到平面的距离.20．（12分）已知抛物线，过点的直线与抛物线相切,设第一象限的切点为.（Ⅰ）证明：点在轴上的射影为焦点；(Ⅱ）若过点的直线与抛物线相交于两点,圆是以线段为直径的圆且过点，求直线与圆的方程。21．(12分)已知函数。（Ⅰ）当时，讨论的极值情况；（Ⅱ）若,求的值。(二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.22．［选修4-4:坐标系与参数方程］（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为，直线的极坐标方程为.(Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;（Ⅱ）若是曲线上的动点，为线段的中点。求点到直线的距离的最大值。23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）已知函数.（Ⅰ)解不等式；（Ⅱ）记函数的最小值为,若均为正实数，且，求的最小值。

2020年秋四川省泸县第五中学高三开学考试文科数学参考答案1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．A 7．A 8．C 9．B 10．B 11．D 12．B13．2 14． 15． 16．17．(1）设的公差为,由题意有，且,所以，；（2）因为,所以,.18．解：（1）该单位员工共有140+180+80=400人，则抽取老年员工有人,抽取中年员工有人,抽取青年员工有人,所以在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有7人,9人，4人,（2）从上表可知享受住房货款利息专项扣除的员工共有8人，其中老年员工2人,记为A，B，中年员工5人，记为C,D，E,F,G,青年员工1人，记为H，则从这8人中随机选取2人有:AB,AC,AD，AE,AF，AG,AH，BC,BD,BE,BF,BG，BH，CD,CE,CF,CG,CH，DE，DF，DG，DH，EF,EG，EH，FG，FH,GH共28种等可能情况，其中2人都是中年员工有CD,CE，CF，CG,DE，DF，DG,EF,EG,FG有10种等可能情况，所以选取2人都是中年员工的概率为19。（1）连接，易证为的中位线,所以。又∵平面，平面，∴平面。(2）∵平面底面，平面平面，∴平面在中,,∴又∵设点到面的距离为∴∴点到面的距离为20．（Ⅰ）由题意知可设过点的直线方程为，由消去整理得，又因为直线与抛物线相切，所以，解得．当时,直线方程为，可得点坐标为,又因为焦点，所以点在轴上的射影为焦点．(Ⅱ）设直线的方程为，由，其中恒成立.设，，则,所以，．由于圆是以线段为直径的圆过点，则，所以所以，解得或．当时,直线的方程为，圆的方程为；当时，直线的方程为,圆的方程为．21．（1)．因为，由得,或．①当时，，单调递增,故无极值．②当时，．,,的关系如下表：+0－0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增故有极大值,极小值．③当时,．,,的关系如下表：+0－0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增故有极大值，极小值．综上：当时,有极大值，极小值；当时，无极值；当时，有极大值，极小值．（2）令，则．（i）当时,，所以当时，，单调递减,所以，此时，不满足题意．（ii）由于与有相同的单调性,因此，由(Ⅰ）知：①当时，在上单调递增，又，所以当时,；当时，．故当时,恒有，满足题意．②当时，在单调递减，所以当时，，此时，不满足题意．③当时,在单调递减，所以当时，，此时，不满足题意．综上所述：．22．（1）∵直线的极坐标方程为，即.由，,可得直线的直角坐标方程为。将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为.(2）设。点的极坐标化为直角坐标为.则.∴点到直线的距离.即时，等号成立.∴点到直线的距离的最大值为.23．（1），所以等价于或或，解