武胜烈面中学校2019-2020学年高二下学期开学考试数学（文）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精四川省武胜烈面中学校2019-2020学年高二下学期开学考试数学（文）试题含解析烈面中学高2018级高二下期入学考试题文科数学一､选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项填涂在答题卡上）1。复数等于（)A。i—1 B.1-i C。1+i D.-1—i【答案】A【解析】【分析】直接利用复数的除法化简复数即得解.【详解】由题得。故选：A【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.2。为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（）A。第一象限 B.第二象限 C。第三象限 D。第四象限【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算可得，再结合复数在复平面内对应的点位于的象限求解即可.【详解】解：由，则，则复数在复平面内对应的点的坐标为，即复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B。【点睛】本题考查了复数除法运算，重点考查了复数在复平面内对应的点位于的象限,属基础题.3.下列求导过程:①;②；③④,其中正确的个数是（）A。1 B.2 C。3 D。4【答案】D【解析】试题分析：根据导数的计算公式分别进行判断即可．详解：（1）正确,（2），正确，（3），正确，（4），正确，故正确个数是4个，故选D．点睛：本题主要考查函数的导数计算，比较基础．要求数列掌握常见函数的导数公式．4。函数的零点个数为()A。0 B。1 C。2 D。3【答案】C【解析】,所以当时；当时；因此零点个数为2,选C.5.函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（)A。［3，+∞) B。[—3，+∞）C。(—3，+∞） D。（-∞，-3)【答案】B【解析】【分析】由题得a≥—3x2，求函数的最大值即得解。详解】=3x2+a。由题得3x2+a≥0，则a≥—3x2,x∈(1，+∞)，∴a≥—3。故选:B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6.过点（0，—1)作曲线的切线，则切线方程为(）A.x+y+1=0 B.x—y—1=0C。x+2y+2=0 D.2x—y-1=0【答案】B【解析】【分析】设切点为，再求出切点坐标，即得切线的斜率,再写出切线的方程即得解。【详解】=lnx+1,设切点为，∴，∴=lnx0+1，∴x0lnx0+1=x0lnx0+x0,∴x0=1,∴y0=0,所以==1，∴切线方程为y=x-1，即x—y—1=0，故选：B.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。7。已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则A.或2 B.或3 C。或1 D。或1【答案】A【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性求出极值点为，利用或可得结果。【详解】因为，所以f(x）的增区间为，减区间为，所以的极大值为,极小值为，因为函数的图象与轴恰有两个公共点,所以只须满足或,即或，故选A。【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题。对于与“三次函数"的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决，设函数的极大值为，极小值为：一个零点或；两个零点或；三个零点且.8.已知正四棱柱中，，E为中点,则异面直线BE与所成角的余弦值为(）A. B。 C. D.【答案】C【解析】【详解】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于,故选C。取DD1中点F，则为所求角,，选C。9。下列图象中有一个是函数的导数的图象，则（)A. B. C. D。或【答案】B【解析】【分析】求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有2ax,故函数不是偶函数，得到函数的图象．【详解】，导函数的图象开口向上．又，不偶函数，其图象不关于y轴对称，其图象必为第三张图，由图象特征知，且对称轴，．故．故选：B．【点睛】本题考查导数的运算法则，考查二次函数的图象与性质，二次函数图象开口方向与二次项系数的符号有关．10.做一个容积为256L的方底无盖水箱，当它的高为多少分米时，最省材料（）A。4 B。5 C.6 D。8【答案】A【解析】【分析】设水箱底面边长为x，高为y，则x2y=256。设所用材料为S,则S=x2+，再利用导数求函数的最小值得解。【详解】设水箱底面边长为x，高为y,则x2y=256。设所用材料为S,则S=x2+4xy=x2+4x·=x2+.令=2x—=0，得x3=512，x=8，所以函数在（0，8)单调递减，在（8，+）单调递减。所以当x=8时，函数取最小值，此时x=8，y=4。故选：A【点睛】本题主要考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.11.设函数f（x）=+lnx，则(）A。x=为f（x）的极大值点 B.x=为f（x）的极小值点C。x=2为f(x)的极大值点 D。x=2为f（x)的极小值点【答案】D【解析】【详解】，由得，又函数定义域为，当时，，递减，当时，，递增，因此是函数的极小值点．故选D．考点：函数的极值．12.设函数,则函数的所有极大值之和为A。 B。 C. D.【答案】D【解析】∵函数,∴,∵时，时，，∴时原函数递增，时,函数递减，故当时,取极大值，其极大值为

，又，∴函数的各极大值之和．故选D．二､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸上)13。若复数为纯虚数（为虚数单位)，其中,则____________。【答案】3【解析】【分析】由是纯虚数，求出复数，然后再求的模。【详解】由为纯虚数,则且所以,则。所以故答案为：3【点睛】本题考查纯虚数，复数的模，属于基础题。14。已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_________【答案】2【解析】【分析】求出函数的导函数令导函数等于，解方程即可得解。【详解】函数的定义域为，设切点坐标为，所以，解得（舍去）或。故答案为：2【点睛】此题考查导数的几何意义，根据某点处的切线斜率的值求切点横坐标，关键在于准确求出导函数,列方程求解.15。设，当x∈[﹣1，2］时,恒成立，则实数的取值范围为。【答案】（7,+∞)【解析】【分析】先求导数,然后根据函数单调性研究函数的极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最大值，进而求出变量m的范围．【详解】解：f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝0解得：x＝1或当x∈时，f'（x)＞0，当x∈时，f'(x)＜0,当x∈（1,2）时，f'（x）＞0，∴f(x)max＝{f（），f（2）}max＝7由f（x）＜m恒成立，所以m＞fmax（x）＝7．故答案为(7,+∞)【点睛】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b］上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a）,f（b)比较而得到的，属于基础题．16。已知函数，现给出下列结论：①有极小值，但无最小值②有极大值，但无最大值③若方程恰有一个实数根，则④若方程恰有三个不同实数根，则其中所有正确结论的序号为_________【答案】②④【解析】所以当时，；当时，；当时，；因此有极小值，也有最小值，有极大值，但无最大值;若方程恰有一个实数根，则或；若方程恰有三个不同实数根，则，即正确结论的序号为②④点睛：对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值;从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三､解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17.（1）计算：（为虚数单位）（2）已知函数,计算:的导函数.【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1)根据,利用复数的次幂运算，即可得答案;(2）根据导数的运算法则，直接进行求解,即可得到答案．【详解】（1)；（2）,．【点睛】本题考查复数的运算和导数的运算法则，考查运算求解能力，属于基础题.18.设函数.（1)求在点处的切线方程;（2）求函数f（x）的单调区间.【答案】（1）。（2）的单调递增区间是；单调递减区间是和。【解析】【分析】（1)利用导数求切线的斜率=0，再求出切线的方程得解；（2）利用导数求函数的单调区间即可。【详解】（1）由题得=—ex+ex=ex，则切线的斜率=0，，又f（1）=e，故f（x)在点(1，f(1）)处的切线方程为y=e。（2）由题得=-ex+ex=ex，，由=0，得x=1.因为当x＜0时，f′（x)＜0;当0＜x＜1时，＜0；当x＞1时，＞0.故的单调递增区间是；单调递减区间是和。【点睛】本题主要考查导数的几何意义,考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。19.已知函数在点处取得极小值－5，其导函数的图象经过点（0，0），(2,0）．(1）求的值；（2)求及函数的表达式．【答案】（1）;(2）,。【解析】【分析】（1）根据导函数过两个点，先写出导函数，直接列出方程组完成求解；（2）分析函数单调性,得出极值点的值，并利用条件求解的值,最后可求的解析式。【详解】（1）由题设可得f′(x）＝3x2＋2ax＋b。∵f′（x)的图象过点(0，0),（2，0),∴解得a＝－3，b＝0。(2）由f′（x）＝3x2－6x〉0，得x〉2或x<0，∴在(－∞，0）上f′(x)>0，在(0，2)上f′（x）〈0，在(2，＋∞)上f′(x)〉0。∴f(x)在（－∞，0），（2，＋∞）上递增，在（0，2）上递减,因此f(x）在x＝2处取得极小值．所以x0＝2。由f(2）＝－5,得c＝－1，∴f（x）＝x3－3x2－1。【点睛】导数问题中若想求解极值点，首先都会去分析单调性,利用单调区间可以很快得出是极大值点还是极小值点.20。已知函数.（1)当时，求函数在上的最大值;（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围;【答案】(1）。（2）【解析】【分析】（1)利用导数求出函数的单调区间即得函数的最大值；（2）由题得，再求函数的的范围即得解.【详解】(1）所以函数在［，1]是增函数，在[1,2］是减函数，所以。（2）因为，所以，因为在区间单调递增函数，所以在（0，3)恒成立，有，(）设,所以函数在单调递增,所以，所以，综上：.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力。21。已知函数若函数恰有一个零点,求的取值范围。【答案】或。【解析】【分析】利用导数求出函数在和单调递增,在上单调递减，再求出函数的极值，即得解。【详解】由题得由得或;由得，在和单调递增，在上单调递减,，恰有一个零点，或，即或。【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.已知函数。（1）当时,求函数的单调区间和极值；（2）若不等式恒成立,求的值。【答案】（1）见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）a＝1时，f（x）＝,f′（x）＝，令f′（x）＝＝0，解得x＝e。通过列表可得函数f（x）的单调递区间及其极值.（2）由题意可得:x＞0，由不等式恒成立,即x﹣1﹣alnx≥0恒成立.令g（x)＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈(0，+∞).g′(x）＝1﹣＝.对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.【详解】（1）a＝1时，f（x)＝，f′(x）＝，令f′（x）＝＝0,解得x＝e。x(0，e）e（e，+∞）f′（x）+0﹣f（x）单调递增极大值单调递减可得函数f(x)的单调递增区间为(0，e），单调递减区间为（e，+∞），可得极大值为f（e）＝，为极小值。（2）由题意可得:x＞0,由不等式恒成立,即x﹣1﹣alnx≥0恒成立.令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1)＝0，x∈（0,+∞)。g′（x）＝1﹣＝。①若a＜0,则函数g（x）在(0，+∞）上单调递增，又g(1）＝0，∴x∈（0,1）时，g（x）＜0，不符合题意,舍去.②若0＜a＜1,则函数g（x）在（a，+∞)上g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增,又g(1）＝0，∴x∈（a,1）时，g(x)＜0，不符合题意，舍去。③若a＝1，则函数g（x)在（1，+∞)上g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增,x∈(a，1）时，g′(x）＜0,函数g（x）单调递减。∴x＝1时，函数g（x）取得极小值即最小值，又g(1）＝0，∴x