边际分析弹性分析与经济问题的最优化

1第1页，共30页，2023年，2月20日，星期二复习：1.边际：表示自变量增加1单位时，函数的增量的导数

称为边际

常用的边际函数：边际成本：边际需求：边际收益：边际利润：2.弹性:函数

在点x处的弹性，记作

表示：当自变量变化1%时，函数变化的百

分数为常用的弹性：成本弹性；需求弹性；收益弹性第2页，共30页，2023年，2月20日，星期二

第七章第八节一、边际分析二、弹性分析三、经济问题的最优化边际分析、弹性分析与经济问题的最优化第3页，共30页，2023年，2月20日，星期二一元函数的导数在经济学中称为边际；的偏导数二元函数一、边际分析和分别称为关于和的边际。边际的概念也可推广到多元函数的情形。

例如,某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时,

除了关心本品牌电视机的价格取向外,更关心其他品牌同类型电视机的价格情况,以决定自己的营销策略。第4页，共30页，2023年，2月20日，星期二1.边际函数定义:的偏导数都存在，设二元函数称为关于的边际。表示：当y保持不变而x改变一个单位时，函数z=f(x,y)的变化量

称为关于的边际。表示：当x保持不变而y改变一个单位时，函数z=f(x,y)的变化量

第5页，共30页，2023年，2月20日，星期二

例1设Cobb-Douglas生产函数为P(K,L)=20K0.3L0.7。其中P表示产量、K表示资本、L表示劳动。求解：P’K(1,1)及P’L(1,1)，并解释其含义。P’K(1,1)=6(1)-0.7(1)0.7

=6P’K

=6K-0.7L0.7

含义:

P’K=6表示当资本在1个单位时，每增加一单位，产量约增加6单位。称为资本的边际生产量。P’L=14K0.3L-0.3P’L(1,1)=14(1)0.3(1)-0.3=14

含义:

P’L

=14表示当劳动在1个单位时，每增加一单位，产量约增加14单位。称为劳动的边际生产量。第6页，共30页，2023年，2月20日，星期二

例2

已知某企业雇佣熟练工x人，非熟练工y人，日产量由二元函数决定。已知该企业雇佣熟练工20人，非熟练工50人，若增加熟练工1人，试估计对产量的影响。解：根据题意，必须求得因为,所以,日产大约会增加1800单位。实际上，日产量增加的真实值为用來逼近是恰当的。第7页，共30页，2023年，2月20日，星期二2.边际需求设两种相关商品甲和乙的需求函数为：其中

为甲，乙商品需求量，分别表示甲和乙

表示乙商品的价格

保持不变的情况下，

甲商品的价格变化时，甲商品需求量的变化率，的价格.需求量

的偏导数为边际需求函数：称其为甲商品关于自身价格的边际需求；第8页，共30页，2023年，2月20日，星期二表示乙商品的价格

保持不变的情况下，

称其为甲商品关于自身价格的边际需求；乙商品的价格变化时，甲商品需求量的变化率，的边际解释可与的边际解释类似.第9页，共30页，2023年，2月20日，星期二

两种商品彼此关系可分为为替代型还是互补型。

替代型：一种商品的需求增加时伴随的结果是另一种商品需求的减少。如国产汽车与进口汽车、猪肉和鸡蛋等。

互补型：一种商品的需求增加时，另一种商品的需求也跟着增加。例如高尔夫球杆与高尔夫球鞋、CD机和光盘等。

假设有两种商品A

与B。p1

与p2

分别表示商品A

与B每单位的价格。函数Q1（p1,p2）表示商品A

的需求函数，函数Q2（p1,p2）表示商品B

的需求函数。则函数恒有下列关系：即：商品A

的价格p1

上升，则商品A

的需求量会下降。

商品B的价格p2

上升，则商品B的需求量会下降。3、利用偏导数对两种商品之间性质进行解释第10页，共30页，2023年，2月20日，星期二两商品在价格(x0,y0)处为互补型

表示当商品B

的价格上升时，商品A

的需求量减少；当A

的价格上升时，商品B

的需求量减少。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的减少。两商品在价格(p1,p2)处为替代型

表示当商品B

的价格上升时，商品A

的需求量增加；当A

的价格上升时，商品B

的需求量增加。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的增加。第11页，共30页，2023年，2月20日，星期二

例3

两种商品A

与B，当其价格分别为x

与y

时的需求函数为

f(x,y)=300-6x2+10y2(A的需求函数)

g(x,y)=600+6x-2y2(B的需求函数)

试问这两种商品为替代型还是互补型？解：所以，两种商品为替代型关系。第12页，共30页，2023年，2月20日，星期二二、弹性分析在一元函数处的弹性为它表示y在x处的相对变化率。弹性的概念也可推广到多元函数的情形。

例如：某品牌电视机的销售量是它的价格及其他品牌电视机价格的函数第13页，共30页，2023年，2月20日，星期二

通过分析其边际及可知道，随着及

变化而变化的规律。进一步分析其弹性

可知这种变化的灵敏度。

前者称为对的弹性

;后者称为对的弹性,

亦称为对的交叉弹性。这里,我们将主要研究交叉弹性及其经济意义。第14页，共30页，2023年，2月20日，星期二1.偏弹性函数

定义设函数

z=f

(

x

,y

)

在

(

x

,y

)

处偏导数存在，函数对

x

的相对改变量

与自变量

x

的相对改变量之比

称为函数

z=f

(

x

,y

)

对

x

从

x

到

x+

x

两点间的弹性.

第15页，共30页，2023年，2月20日，星期二当

x

0

时，

的极限称为f

(

x

,y

)

在

(

x

,y

)

处对

x

的弹性，记作或

即

类似可定义f

(

x

,y

)

在

(

x

,y

)

对

y

的弹性

第16页，共30页，2023年，2月20日，星期二

假设有两种商品A

与B。p1

与p2

分别表示商品A

与B每单位的价格。函数Q1（p1,p2）表示商品A

的需求函数，函数Q2（p1,p2）表示商品B

的需求函数。称：为需求量对自身价格的直接价格偏弹性。称2、需求价格偏弹性为需求量对相关价格的交叉价格偏弹性。第17页，共30页，2023年，2月20日，星期二例4

设某市场牛肉的需求函数为

Q1＝4580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉价格P1＝10,相关商品猪肉的价格P2＝8.求(1)牛肉需求的价格偏弹性,(2)牛肉需求的交叉价格偏弹性,(3)若猪肉价格增加10%,求牛肉需求量的变化率.解:(1)牛肉需求的价格偏弹性为第18页，共30页，2023年，2月20日，星期二例4

设某市场牛肉的需求函数为

Q1＝4580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉价格P1＝10,相关商品猪肉的价格P2＝8.求(1)牛肉需求的价格偏弹性,(2)牛肉需求的交叉价格偏弹性,(3)若猪肉价格增加10%,求牛肉需求量的变化率.解:(2)牛肉需求的交叉价格偏弹性为第19页，共30页，2023年，2月20日，星期二例4

设某市场牛肉的需求函数为

Q1＝4580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉价格P1＝10,相关商品猪肉的价格P2＝8.求(1)牛肉需求的价格偏弹性,(2)牛肉需求的交叉价格偏弹性,(3)若猪肉价格增加10%,求牛肉需求量的变化率.解:3)由需求的交叉价格偏弹性,得即当相关商品猪肉的价格增加10%,而牛肉价格不变时,牛肉的市场需求量将增加0.02％．第20页，共30页，2023年，2月20日，星期二

例5

随着养鸡工业化程度的提高，肉鸡价格(用表示)会不断下降。现估计明年肉鸡价格将下降5%,

且猪肉需求量(用表示)对肉鸡价格的交叉弹性为

0.85，问明年猪肉的需求量将如何变化?

将导致猪肉需求量的下降。

解由于鸡肉与猪肉互为替代品，故肉鸡价格的下降

依题意，猪肉需求量对肉鸡价格的交叉弹性为

而肉鸡价格将下降

于是猪肉的需求量将下降

第21页，共30页，2023年，2月20日，星期二

也可用偏弹性函数来描述两种商品彼此为替代型还是互补型。

假设有两种商品A

与B。p1

与p2

分别表示商品A

与B每单位的价格。函数Q1（p1,p2）表示商品A

的需求函数，函数Q2（p1,p2）表示商品B

的需求函数。因为函数恒有下列关系：所以恒有：2、需求价格偏弹性第22页，共30页，2023年，2月20日，星期二若两商品在价格(p1,p2)处为替代型

因为：则有：表示当商品A的价格不变，而商品B

的价格上升时，商品A

的需求量增加；当商品B

的价格不变，而A

的价格上升时，商品A的需求量增加。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的增加，两种产品是替代关系。第23页，共30页，2023年，2月20日，星期二若两商品在价格(p1,p2)处为互补型

因为：则有：表示当商品A的价格不变，而商品B

的价格上升时，商品A

的需求量减少；当商品B

的价格不变，而A

的价格上升时，商品A的需求量减少。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的减少，两种产品是互补关系。第24页，共30页，2023年，2月20日，星期二

小结：不同交叉弹性的值，能反映两种商品间的相关性，具体就是：

当交叉弹性大于零时，两商品互为替代品；当交叉弹性小于零时，两商品为互补品；当交叉弹性等于零时，两商品为相互独立的商品。第25页，共30页，2023年，2月20日，星期二

例6

某种数码相机的销售量,除与它自身的价格有关外，还与彩色喷墨打印机的价格有关，具体为

求时

,(1)对的弹性

;(2)对的交叉弹性。

解(1)

对的弹性为第26页，共30页，2023年，2月20日，星期二

当时，

(2)

对的弹性为

当时，

第27页，共30页，2023年，2月20日，星期二三、经济问题的最优化例7：某