第五章粘性流体运动基础

§5-1粘性流体中的应力

在运动的理想流体或静止流体中不存在切应力，流体内部任意平面上只存在指向流体内部的法向应力，即压强。用应力矢量表示作用在一个微元面上的表面应力，则对于运动的理想流体或静止流体有式中，是微元面的外法线单位矢量，等式右边的负号表示压强p沿负方向。第五章粘性流体运动基础1现在是1页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础应力张量

对于运动中的粘性流体，还有一个与流体粘性成正比的粘性应力。习惯上将应力矢量表示为与之和的形式，即可分别有沿微元面法向的分量τn和沿切向的分量ττ

，因此的法向和切向分量分别为σn=-p+τn和ττ

。

也可以沿3个坐标轴方向分解，如果取n沿x轴正方向，则应力矢量的法向向量记为σxx=-p+τxx，切向分量则有两个，分别沿y轴和z轴，记为τxy和τxz

。2现在是2页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础对于任意一个应力分量τij都有两个下标：其中第一个下标i代表示作用面的法线方向，第二个下标j代表应力分量的投影方向。可以证明，过一点作3个相互正交的平面，则通过该点的任意方位平面上的应力矢量都可用这3个正交平面上的3个应力矢量，或它们的9个分量来表示。如取3个正交平面分别与3个坐标平面平行，则9个应力分量可表示为数学上称这9个分量组成一个二阶张量，即应力张量。上述应力张量中的非对角线分量，即切向应力分量两两对应相等，即(5-1)3现在是3页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础如图所示，对通过六面体前、后两表面中心的z轴取矩，六个表面的应力分量中只有上下左右表面的4个与z轴垂直的切应力有矩。应力张量对称性证明如图，在流体中任取一个正六面体，中心点的应力由式（5-1）给出，作用于六个表面的应力分量由泰勒级数一阶展开表示。4现在是4页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础计算力矩需先以应力乘以它们的作用面面积，然后再乘以力臂，则对z轴的总力矩平衡式为化简上式得同样可推得5现在是5页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础本构方程

流体中的粘性应力来源于流体微元在运动过程中的变形。实验表明，对于许多经常遇到的流体，其内部的粘性应力与变形率成正比。

粘性应力和变形率之间的函数关系称为本构方程。

依据牛顿内摩擦定律，当ux=ux(y)，uy=uz=0时有上式中τ是切应力，比例系数μ是流体的动力粘度。按照应力分量的双下标表示法约定，上式中的切应力即τyx，dux/dt即是3.4节给出的剪切变形率dγxy/dt在一维流动条件下的简化表示。6现在是6页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础在三维流动条件下，牛顿内摩擦定律可推广为上式适用0xy平面的剪切变形，对于0yz和0zx平面的剪切变形，则有类似的表示式猜想法向粘性应力τxx应表示为(5-2)(5-3)7现在是7页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础实际上，τxx的完整表示式为对于不可压缩流动(5-4)式（5-2）、（5-3）和（5-4）一起组成了不可压缩流动的本构方程。8现在是8页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础作用于单位体积流体的粘性力考察左图中微元六面体沿x方向的粘性合力。右图示出了所有作用于x方向的粘性应力，其代数和为9现在是9页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础整理得10现在是10页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础上式除以六面体体积δxδyδz，得作用于单位体积流体粘性力的x方向分量也可以表示为如果粘度μ为常数，则μ可以提出到微分号外，上式于是可写为11现在是11页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础对于不可压缩流动上式可以简化为式中为拉普拉斯算符，简称拉氏算符同理，单位体积粘性力的y方向和z方向的分量分别为作用于单位体积流体的粘性力可写为上式成立的条件是不可压缩流动，粘度μ为常数。(5-5)12现在是12页\一共有87页\编辑于星期四§5-2纳维—斯托克斯方程

在第4章给出了理想流体流动的欧拉方程上式右侧两项分别表示单位质量流体所受的压力和重力。由式（5-5），单位质量流体所受的粘性力为第五章粘性流体运动基础给欧拉方程右侧添加单位质量流体的粘性力，即得到粘度μ为常数时的不可压缩粘性流动的运动方程(5-6)式（5-6）分别由C.L.M.H.Navier(1785-1836)，GeorgeG.Stokes(1819-1903)独立推得，故称纳维—斯托克斯方程，简称N-S方程。13现在是13页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础等密度流动如流体密度为常数，式（5-6）可以进一步简化。如取坐标系的z轴铅垂向上，即指向z轴的负方向，则有于是式（5-6）右侧的压力项和重力项可以合并起来，得到令称p*为广义压强，则式(5-6)可简写为(5-7)(5-8)14现在是14页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础p*可看作是运动流体的压强p与静力学压强之差的一个度量，－▽p*是作用在单位体积流体上用来加速流体的净压力。求解式（5-8）得到p*后，即可利用式（5-7）求出流动的物理压强p。式（5-8）在直角坐标系中的分量表示为(5-9)15现在是15页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础圆柱坐标系中的N-S方程在r、θ和z方向的分量方程为(5-10)16现在是16页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础边界条件

N-S方程（5-8）有4个自变量x、y、z和t和4个待求变量ux、uy、uz和p*。为求解4个未知量，N-S方程还需要与不可压缩流体的连续方程一起求解。N-S方程与连续方程联立后有4个标量方程（N-S方程有3个分量方程），求解4个未知量，方程组封闭。方程中的密度ρ和粘性系数ν为已知量。

N-S方程与连续方程是描述流体运动的普遍适用的方程组，要确定某一具体的流动规律，也就是要找出方程组的一组确定的解，还需要给出边界条件，即给出流体边界的形状，以及在边界上方程组的解应该满足的条件。17现在是17页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础

当粘性流体与固体壁面接触时，流体与固体接触时，流体与固体壁面间没有相对运动，即流体与固体壁面具有相同的速度。式中，为流体的速度，为固体边界的速度。当固体壁面静止时(5-11a)(5-11b)

式（5-11）不仅要求流体的法向速度与固体壁面的法向速度相同，而且要求流体满足粘附条件，即流体沿固体壁面切向没有滑移。18现在是18页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础

物体在无界区域中运动时，如飞机在天空翱翔，潜艇在大洋游弋，需要给出无穷远处的边界条件。如果把坐标系取在运动物体上，则在无穷远处有对于这样的均匀流动，粘性应力为零，在远离物体处，速度和压强自动满足纳维—斯托克斯方程和连续方程。

对于非定常流动，则还需给出在初始时刻流体运动应该满足的初始状态，即初始条件。19现在是19页\一共有87页\编辑于星期四§5-3两平行平板间的库埃特—泊肃叶流动第五章粘性流体运动基础本节研究两平行平板间的定常层流。如果两平板间的距离h与板面的线性尺度相比很小，则可认为平板无限大。设流体沿x方向流动，y轴垂直于平板（如图），由于流动定常，，速度分量只有ux不为0，uy=uz=0，流体质点都沿x方向做平行直线运动,。20现在是20页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础

连续性方程与y和z方向的动量方程可简化为由后两式知广义压强不依赖于y和z，而只是x的函数，p*=p*(x)；由连续方程知，速度ux不依赖于x，考虑到平板在z方向无限延伸，ux也不是z的函数，于是ux=ux(y)；由于ux沿流动方向为常数，可推知流体加速度为零。x方向的动量方程可简化为(5-12)式（5-12）表示作用于流体的粘性力和压力处于平衡状态。21现在是21页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础由于没有加速度，作用于该流体微元的压力和粘性力处于平衡状态，列x方向的力平衡式为注意到τ=μdu/dy,代入上式即得式（5-12）。将式（5-12）对y积分两次，得式中，A、B为积分常数，需由流动的边界条件确定。(5-13)22现在是22页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础平面泊肃叶流动

前图的边界条件为；

代入式（5-13），可得B=0，将A、B代入式（5-13），并加以整理，可得两平行板间的速度分布为抛物线。这种仅由压强梯度引起的流动称为平面泊肃叶流动。最大速度在两板中央，即y=h/2处23现在是23页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础作用于上板的切应力应等于y=h处流体所受切应力，但方向相反，即设z方向为单位长度，则通过两板之间的流体体积流量Q可计算为平均速度平均速度与通道中心的最大速度之比24现在是24页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础通道内的静压强p可由p*解出。注意到dp*/dx为常数，令dp*/dx=G，则有设坐标原点处流体静压强为p0，即x=y=0，p=p0，可确定上式中c=p0，于是当x取为常数，在y方向压强呈水静压分布，取y为常数，压强与x成线性分布。25现在是25页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础平面库埃特流动

如上板以U沿x轴正向运动，下板静止，沿流动方向的压强梯度为零，dp*/dx=0，此时两平板间的流动仅由上板拖动引起，则边界条件为；式（5-13）的两个常数可确定为A=U/h，B=0，于是有26现在是26页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础

平板间流动速度分布是线性的，这种纯剪切流动称为平面库埃特流动。上板所受切应力，通道的体积流量及平均速度分别为27现在是27页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础平面库埃特-泊肃叶流动

如上板在自身平面内以速度U运动，下板静止，同时沿流动方向存在压强梯度，此种由平板拖动和压强梯度共同作用引起的流动称为平面库埃特-泊肃叶流动。由于方程（5-12）是线性的，两平板间的流动速度可由前两种流动的速度线性叠加得到，于是(5-14)定义量纲为一的压强梯度则式（5-14）可写为28现在是28页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础图.两平板间的库埃特-泊肃叶流动29现在是29页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础§5-4圆管内的泊肃叶流动圆形截面管是最广泛应用的输送流体的管道，研究圆管内层流具有重要意义。法国医生泊肃叶（J.L.Poiseuille，1799-1869）在研究毛细血管内的血液流动过程中，首先发现了流量与压强变化之间的关系，因此称圆管内的此类流动为泊肃叶流动。在直圆管内流体质点的运动方向平行于管轴线，取圆管轴线为z轴，由对称性和流体沿轴向流动，则除轴向速度Vz不为零外，径向和周向速度分量均为零，Vθ=0，Vr=0，。代入不可压缩连续性微分方程得30现在是30页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础由式（5.15a）和（5.15b），p*=p*(z)。考虑到流动又是轴对称的，轴向速度Vz只是r的函数，Vz=Vz(r)。采用圆柱坐标系，沿流动方向的N-S方程可简化为或31现在是31页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础利用边界条件r=0处，Vz为有限值和可确定出积分常数c1=0，上式左端是r的函数，右端是z的函数，要使等式成立，必有=常数。将上式对r积分两次，得代入速度分布式，可得32现在是32页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础通过圆管的总体积流量设沿管轴线长度L上的压降为Δp*，则上式可写为上式称为泊肃叶公式，式中D=2R，是圆管直径。通过圆管的流量Q与D4成正比。在给定压强差的条件下，当冠状动脉的截面积缩小到原面积的1/2时，通过的血液流量将减少到原来的1/4。33现在是33页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础流量Q除以圆管截面积πR2得截面平均速度在圆管中心速度取最大值平均速度与最大速度之比圆管内速度分布也可以量纲为一的形式表示为34现在是34页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础对于图5.12所示坐标系，p*=p+ρgy，令dp*/dz=G，则有如设z=r=0处p=p0，可确定上式中c=p0，于是

沿流动方向压强呈线性分布，在垂直于流动方向的截面上压强呈水静压强分布。35现在是35页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础圆管内的切应力分析如图所示圆柱状流体微元。流体微元半径为r，长为L，由于没有加速度，作用在圆柱体两端的压力差与作用在圆柱体侧表面的粘性力相平衡，即36现在是36页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础令r=R，τ=τw，上式化为上两式相除，得切应力成线性分布。沿流动方向压力梯度为常数以及横截面内切应力成线性分布是通道内流动的普遍特征。这一结论对于湍流也是成立的。37现在是37页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础为表示管内流动的平均速度与压强梯度之间的关系，习惯上定义一个量纲为一的摩擦因数知道了f，就很容易求得长L的管道摩擦压降上式最初由德国水力学家魏斯巴赫(JuliusWeisbach,1806-1858)在1857年提出，一直沿用至今，式中f称为达西摩擦因数。将代入上式得壁面切应力计算式为38现在是38页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础§5-5斯托克斯流动本节讨论小雷诺数流动，即粘性流动的特征速度V与特征长度L都非常小，或流体的粘性非常高，雷诺数Re=VL/ν<<1的流动。低雷诺数意味着流动的惯性力远小于粘性力，加速度项远小于粘性项，因此可以忽略加速度项，将N-S方程简化为上式称为斯托克斯方程，而满足上式和连续性方程的流动称为斯托克斯流动。39现在是39页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础粘性流体绕刚性球体的流动是小雷诺数流动求解的成功范例。设一半径为a的刚性圆球以速度U在静止的粘性流体中做匀速运动。如果取固结于小球的运动坐标，则圆球运动引起的流动问题就变为速度为U的均匀流绕圆球的定常流动问题。以来流速度U为特征速度，圆球直径2a为特征长度的雷诺数Re=2aU/ν<<1，则流动可用斯托克斯方程描述。采用球坐标系较为方便，由于流动的轴对称性，速度和压强仅是坐标r和θ的函数。无穷远处和球面的边界条件分别为40现在是40页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础对圆球表面积分，可求得刚性球所受阻力为在小雷诺数流动中，物体受到的阻力对物体形状不敏感，一个半径为a的圆盘垂直或平行于流动方向时，其所受阻力分别为16μUa和(32/3)μUa，考虑到物体形状和流动方向的巨大差异，上述结果与上式相差不远。满足斯托克斯方程和上述边界条件的径向和切向速度分别为相应的压强和切应力为41现在是41页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础终极沉降速度灰尘颗粒近似为半径a的小球，密度为,空气密度和粘性系数分别为ρ和μ。灰尘颗粒除本身重量外，在沉降过程中还受到空气浮力和斯托克斯阻力作用。颗粒开始时作加速运动，随着速度增加，阻力也增加，最终重力、浮力和斯托克斯力达到平衡状态，灰尘颗粒于是做匀速运动。此时力平衡式为Vt是灰尘颗粒做匀速运动时的速度，称为终极沉降速度。42现在是42页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础§5-6湍流概述图示光滑圆管内达西摩擦因数f对雷诺数ReD=VD/υ的依赖关系，纵横坐标均采用对数尺度。流动的两种状态f-ReD曲线在ReD<ReD,crit和ReD>ReD,crit两个区段中表现出不同的特性，是由于粘性流动中存在两种本质上不同的流动状态：层流和湍流。43现在是43页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础雷诺（OsborneReynolds，1842-1921，英国工程师兼物理学家，维多利亚大学（曼彻斯特）教授）最早详细研究了管道中粘性流体的流动状态及其影响因素。雷诺实验层流：指流体中液体质点彼此互不混杂，质点运动轨迹呈有条不紊的线状形态的流动。湍流：又称紊流，指速度、压强等流动要素随时间和空间作随机变化，质点轨迹曲折杂乱、互相混掺的流体运动。44现在是44页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础实验装置如图所示45现在是45页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础46现在是46页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础下临界点上临界点雷诺实验结果实验结果表明：当流速非常小时，流动成为层流，沿程损失与速度一次方成正比，逐渐加大速度，流动由层流转变为湍流，曲线突然变陡，沿BC向上。在湍流时，沿程损失hf与流速vn成正比，根据管道内壁的相对粗糙情况，n值在1.75~2.0范围内。47现在是47页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础下临界点A和上临界点B对应的流速就分别称为下临界流速vcr和上临界流速。二、层流和湍流的判断标准实验证明，流动状态不仅与流速v有关，还与管径d，流体密度ρ和流体的粘度μ有关。取决于无量纲的相似组合参数雷诺数，记为Re：流态从层流到湍流的过渡称为转捩。其中：ρ为密度，v是特征速度，d是管径，μ是动力粘性系数，ν是运动粘性系数48现在是48页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础对应于临界流速vcr的雷诺数，用Recr表示。实验证明，虽然当管径或流体介质不同时，临界流速vcr不同，但临界雷诺数Recr基本保持在一个确定的范围，即Recr≈2300。属于层流属于湍流对圆管流动，流态的判别条件是：雷诺数：表征流体运动中惯性力和粘性力相对大小的无量纲数。49现在是49页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础式中A—是过流断面面积；χ—表示湿周，即流体与固体边界相接触的截面周边长度。在流体力学中定义水力半径为特征长度在非管道流动中也存在层流与湍流这两种不同的流态，从层流到湍流的转捩也与雷诺数大小有关其中：L是特征长度，如板长50现在是50页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础平面库埃特流动，以两板间距h和平板拖动速度U定义雷诺数，层流向湍流转换的临界雷诺数平面流动的临界雷诺数平面泊肃叶流动，临界雷诺数为51现在是51页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础圆管流动Re数圆管直径d为特征长度计算非圆管流动Re数水力半径R为特征长度计算在空气和水中的运动物体或相对运动的物体Re数物体的特征长度L为特征长度计算不同情况下雷诺数的计算方法52现在是52页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础雷诺数之所以对粘性流体运动的流态及其他相关特性起着重要作用，在于雷诺数具有很明显的物理意义。实验发现，随着雷诺数增加而呈现的不同流态(层流或湍流)对于流动的摩擦阻力、流动损失、速度分布等影响很大。雷诺数的物理意义：雷诺数反映了作用在流体微团上的惯性力与粘性力之比。53现在是53页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础惯性力正比于质量乘加速度：～ρv2L2粘性力正比于切应力乘面积：～μvL因此惯性力与粘性力之比正比于：～雷诺数正比于惯性力与粘性力之比的说明：54现在是54页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础了解雷诺数的物理意义可帮助我们判断一个流动中何种因素占主导作用，但要注意不要将雷诺数的绝对数值等同于惯性力与粘性力的绝对比值大型民航客机的飞行雷诺数可达上百万至几千万（106～107）55现在是55页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础日本设计的机械蜻蜓俄罗斯设计的机械蜻蜓美国设计的机械苍蝇微型飞行器的飞行雷诺数只有几百到几万的量级（102～104）56现在是56页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础空气中的悬浮尘埃其运动雷诺数则更低甚至可以小于1需要再次强调：雷诺数代表惯性力与粘性力之比只是宏观量级上的比例关系，根据雷诺数的大小可以判断流动中何种因素占主导作用，但绝不能认为Re=1表示流动的惯性力与粘性力刚好相等。57现在是57页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础圆管中层流与湍流的速度分布对比层流Re<2100湍流Re>400058现在是58页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础平板湍流平板层流

平板上层流与湍流的对比59现在是59页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础5.损失随Re增加而增加随Re增加转捩时损失增加6.切应力牛顿切应力牛顿切应力和雷诺应力圆管道中层流与湍流的区别层流湍流4.速度分布3.质量与动量交换2.外观1.Re较小较大色线规则，流动分层，外表光滑流动紊乱、不规则，外表粗糙流层间只限于分子间的较小的扩散在纵向和横向存在较大的微团宏观质量、动量交换较尖瘦的抛物线分布，壁面附近速度和梯度都相对较小平均速度是较饱满的对数分布，壁面附近速度和梯度相对较大60现在是60页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础斯托克斯阻力定律：高雷诺数时物体受到的流动阻力正比于:ρv2L2低雷诺数时物体受到的流动阻力正比于:

μvL微生物在水银和在酒精中运动阻力对比问题；汽车和飞机作高速运行时，燃料消耗与速度增长不成比例问题；海洋中大生物和微小生物的游动机制问题；工程和生活中的许多现象遵循斯托克斯阻力定律，例如下列问题我们都可以从上述定律得到正确解答：61现在是61页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础湍流与层流的基本区别是湍流的流动参数，如速度、压强和温度等，都随时间作随机的不规则的脉动。湍流的随机脉动与时间平均62现在是62页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础由于湍流脉动的随机性，在数学处理上，自然地用统计平均方法。统计平均方法有时间平均法、体积平均法和概率平均法，由于运动参数随时间变化容易测定，故常用时均方法，定义如下式中做平均计算的时间间隔T应比速度脉动周期大得多，而相对于时均速度的非定常变化的特征时间又非常小。瞬时速度ux与时均速度之间的差值称为脉动速度，以表示为63现在是63页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础瞬时速度可以表示为时均速度与脉动速度之和式中为脉动速度。因湍流具有脉动现象，其瞬时速度总是非定常的。通常讲的定常流动与非定常流动在湍流时，是指时均值是否随时间变化来区分。脉动速度的时均值。这一结果对其它运动参数均适用。64现在是64页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础同样的，其他物理量（如压强和温度等）也可以表示成时均量与脉动量之和的形式对湍流运动参数采用时均化后，前面所述的连续性方程、伯努利方程以及动量方程等仍将适用。如果f和g是两个独立的变量，s代表独立变量x、y、z和t中的一个，则时均运算有以下性质可证明对于湍流，也区分定常和非定常，当时均速度不随时间变化时为定常流动，否则为非定常流动。同样也依据时均速度与空间坐标的依赖关系而区分一维、二维和三维湍流。65现在是65页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础利用时均速度和脉动速度的概念，空间一点的速度矢量可表示为，于是湍动能和湍流强度对上式作时均，得即空间一点单位质量流体的动能的时均值可分解为平均流动的动能和湍流脉动相对应的动能之和，后者称为湍动能，在直角坐标系中66现在是66页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础湍动能是流动的总动能中有多少份额用来产生湍流脉动的一个度量，虽然湍动能通常只占总动能的百分之几，但湍流脉动速度引起的切应力却远远大于流动为层流时的粘性应力。工程上经常用湍流度来表示湍流脉动幅度的大小，湍流度定义为式中，是主流平均速度。67现在是67页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础如果三个脉动速度分量的时均值相同，即，则湍流度可以只用主流方向的脉动速度来计算，即68现在是68页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础§5-8圆管湍流考虑图所示的圆管湍流，如果取x沿流动方向，y沿径向，则依据切应力的双下标表示规则，有微分方程69现在是69页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础如取z沿圆管周向，即θ方向，则有，这是因为沿周向

没有变化，速度脉动量不会将流体微团输运到速度更高或更低的区域；同理可以推断。于是，当采用时间平均的概念来处理湍流时，圆管内某一位置处的总切应力可用粘性应力和雷诺应力表示为圆管内充分发展湍流的切应力分布为(5-15)将上式代入式（5-15）可得圆管内定常湍流沿主流方向的微分方程70现在是70页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础图给出圆管内湍流雷诺应力的实测结果。图中的雷诺数ReU=UD/υ，U是圆管中心的速度。速度分布71现在是71页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础由于流体与管壁间的附着力，紧靠圆管管壁的流体速度为零，在管壁附近的流体速度以很大的速度梯度从零增加到一定值，而且流体受管壁的约束，其脉动程度几乎等于零，而能反映紊流强弱的混合长度也就非常小，甚至等于零。可以说圆管湍流中靠近管壁这一簿层，流动应该是层流流动，其切应力主要表现为粘性切应力，称这一簿层为粘性底层或层流底层或壁面层。在粘性底层之外可以分为过渡层和湍流核心区。粘性底层通常很簿，大约只有百分之几毫米，但由于速度梯度du/dy很大，因而影响也极大。在湍流分析中，粘性底层厚度的估算是值得关注的。层流的切应力可由牛顿内摩擦定律给出

72现在是72页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础由于粘性底层极簿，du/dy≈u/y，所以在粘性底层内的速度分布近似直线分布

壁面层速度分布可表示为

式中，具有速度的量纲，称为摩擦速度

可视为距壁面的量纲为一的距离

在中心区，速度分布则应以亏损律的形式表示为

73现在是73页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础可证明满足平滑过渡条件的速度分布函数必然具有如下对数形式74现在是74页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础

在贴近壁面的区域里，粘性应力占主导地位，量纲为一速度呈线性分布上式适用范围为0≤y+≤5~7，通常称这一区域为粘性底层。y+＞30的区域为重叠区，实测数据可用对数关系式表示在这一区域，粘性应力和湍流附加应力都是重要的，尽管湍流附加应力要大得多。(5-16)75现在是75页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础y+＞5~7和y+≤30之间，称为缓冲区。在管中心，式（5-16）可写为，再减去式（5-16）上式称为速度亏损律，它可以很好地表示管中心区域的湍流速度分布。76现在是76页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础式中指数n随着雷诺数Re而变，见表。当Re在1.1×105左右时，n约等1/7，这就是常用的勃拉休斯（Blasius）1/7次方定律。表5-1指数n取值Re4.0×1032.3×1041.1×1051.1×1062.0×1063.2×106n1/6.01/6.61/7.01/8.81/101/10普兰特—卡门根据实验资料又提出了紊流流速分布式的指数公式77现在是77页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础78现在是78页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础对于实际管流，由于任何工业管道的管壁总是粗糙不平的，设管道壁面粗糙凸起高度Δ为绝对粗糙度。根据粘性底层δl与绝对粗糙度的大小比较，将管道分为“水力光滑管”和“水力粗糙管”如图。必须指出，水力光滑与水力粗糙并不是单纯由壁面的光滑度来确定的，而是根据粘性底层的厚度与粗糙度的相对关系来决定。对于确定的管道，在某一雷诺数时可能是水力光滑管，而在另一雷诺数时又可能是水力粗糙管。光滑管与粗糙管79现在是79页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础根据尼古拉兹(J.Nikuradse)试验资料，可将光滑管、粗糙管和介乎二者之间的紊流过渡区的分区规定为水力光滑区Δ＜0.3δl

紊流过渡区0.3δl≤Δ≤6δl

完全粗糙区Δ＞6δl

沿程损失：当限制流体流动的固体边壁沿程不变化（如均匀流）或者变化微小（缓变流）时，过流断面上的速度分布沿程变化缓慢，则流体内部以及流体与固体边壁之间产生沿程不变的阻力，由沿程阻力引起的机械能损失称为沿程能量损失，简称沿程损失，用hf表示。80现在是80页\一共有87页\编辑于星期四第五章粘性流体运动基础沿程损失可由来计算，并且对层流和湍流均适用。尼古拉兹实验曲线实验研究沿程损失系数λ，最困难的是确定管道相对粗糙度，很遗憾到目前还没有一个科学地对工业管道粗糙高度的测定方法和描述。尼古拉兹将不同管径的管道内壁均匀地粘涂上经过筛分具有同粒径的砂粒，以制成人工粗糙管道进行实验研究，实验范围雷诺数Re=500~106，相对粗糙度Δ/d=1/1014~1/30，实验曲线如图所示。81现