高考数学卷(天津理)含详解

20XX年高考数学卷（天津.理）含详解

2011天津理

第I卷

本卷共8小题，每小题5分，共40分

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

A..i是虚数单位，复数

2.设，则且是的（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）.

A.3

B.4

C.5

D.6

4.已知为等差数列，其公差为，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为的

前n项和，，则S10的值为（）.

A...90D.110

.在的二项展开式中,x的系数为（）..C.4884

6.如图，在中，D是边AC上的点，且

AD,2AB,，贝UsinC的值为（）.

A

6B

1

C

.7.

D

.36

log30.3

B,则().

Iog23.4

log43.6

A

D

c

A..C・.

8.对实数a和b,定义运算：

设函数

，.若函数■图象与x轴恰有两个公共点,

则实数c的取值范围是（）.

A..

C.

第II卷

二、填空题：本答题共6小题，每小题5分，共30分.

9.一支田径队有男运动员48人，女运动员36人.若用分层抽样的方法从该队的全体运

动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为.

10.一个几何体的三视图如右图所示（单位：m）,则该几何体的体积为m.

正视图

俯视图

侧视图

3

11.已知抛物线C的参数方程为为参数）.若斜率

2

22

为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆相切，则

2

12.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB

延长线上一点，且若CE与圆相切，则线段CE的长为.

13

己

知

集

合

C

,则集合

14.已知直角梯形ABCD中，AD//BC,,

,,P是腰DC上的动点，则的最小值

为.

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）已知函数I）求函数的定义域与最小正周期;

（II）设

,若

,求的大小.

16.(本小题满分13分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个

黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱

子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个.则获奖.(每次游戏结束后将球放回原

箱)

(I)求在1次游戏中，(i)摸出3个白球的概率；

3

(ii)获奖的概率；

(II)求在2次游戏中，获奖次数X的分布列及数学期望

17.(本小题满分13分)如图，在三棱柱中中，

H

是正方形的中心，AA1B1B,且，平面

AAC1H

(I)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;

(II)求二面角的正弦值；

11(111)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1BC11,求线段1B1B已知，函数

,.(的图象

连续不断)

(I)求的单调区间；

(II)当时，证明：存在，使

4

（HI）若存在属于区间的，且，使，证明:

.In2

【解】（I，.XX

令

0,则当x变化时,的变化情况如下表:

所以的单调增区间是H）当,单调减区间是.

时，，88

由（I）知，在单调递增，在单调递减.令

,因而由于在单调递增，则

,取,则

所以存在,使，即存在，使

.III）由及的单调性知.从

而在区间上的最小值为.又由，，贝1」

5

所以

即

所以.53

20.（本小题满分14分）已知数列与满足

,,，且，.I）求a3,

a4,a5的值；（H）设，，证明是等比数列.（III）设

a2k,,证明

^奇数,【解】（I）因为，,

所以卷偶数

又，当时，，由，得；

当时.，，由，得；当时，，

由，得.（II）对任意有

,①匚

②.③②一③得

④④代入①得，

6

即，⑤又,由⑤式，

对所有，.因此所以是等比数列.,cn

III）解法1.由（H）可得

于是，对任意且，有

kk将以上各式相加，得

所以

此式对也成立.

由④式a2得..从而

所以对任意

7.6

对于，不等式显然成立.

解法2.由（II河得

贝IJ.

所以是公差为的等差数列,

所以

以下同解法1..此式对也成立.

2011天津理

第I卷

本卷共8小题，每小题5分，共40分

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

A..i是虚数单位，复数

8

【解】.故选B..设，

则且是的（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解】因为且，则且，因而，所以且是

的充分条件，

取，但不满足且，所以且不是的必

要条件.

因此且是的充分而不必要条件.故选A.

3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）.

A.3

B.4

C.5

D.6

【解】运算过程依次为:

当时，，

当时，，

当时，，

当B寸，.所以输出的.故选B.

4.已知为等差数列，其公差为，且a7是a3与a9的等比中项，2

Sn为的前n项和，，则S10的值为（）.

A..90D.110

【解】因为等差数列的公差为，则，，，

2因为a7是a3与a9的等比中项，所以，

即，2

,所以，于是

.故选D.

2

9

.在的二项展开式中，x的系数为（）.C.4884

r【解

令，则..168

3,故选C.8

D是边AC上的点，6.如图，在中，且

AD,所以，x的系数

,,贝UsinC的值为（）.

A

B

.36

D

.36ABADCC

•【解】解法1.取BD的中点E,因为，所以

BD,因为

所以上

AB.于是

在中，由正弦定理得

,所以.故选D.sinC6解法2.设

1，由题设在中，由余弦定理得

10

所以

在中，由正弦定理得

BADsinCsinC

3

所以.故选D.6

■|,则（）,

A....

【解】解法1.og3103,

下面比较，和

因为，，，则最小.10的大小.3

10

，31g21g31g

因为，，所以，31g21g3

10

.所以，因而.因此

由于函数是R上的增函数，所以.故选C.

解法2.

下面比较，和

因为，，，则最小.因为的大小.

3

所以

，因而.1g21g3311

由于函数是R上的增函数，所以.故选C.

解法3.由解法2,.4,3

画出函数和的图象，比较的纵坐

标，可得，于是.因而

.3

由于函数是R上的增函数，所以.故选c.

.对实数a和b,定义运算设函数

,.若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则

实数c的取值范围是（）.

A..

【解】由题设或

画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为，

，，，

从图象中可以看出，直线穿过点C,点A之间时，直

线与图象有且只有两个公共点，同时，直线穿过点B

及其下方时，直线与图象有且只有两个公共点，所以实数c的取值范围是

.故选B.

第n卷

12

二、填空题：本答题共6小题，每小题5分，共30分.

9.一支田径队有男运动员48人，女运动员36人.若用分层抽样的方法从该队的全体运

动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为.

【解】12.

2121

（人）.

10.一个几何体的三视图如右图所示（单位：m）,则该几何

抽取男运动员的人数为体的体积为m.

【解】

几何体是由一个长方体与一个圆锥组合的.体积为

正视图

3

侧视图俯视图

12

3

11.已知抛物线C的参数方程为

2

（t为参数）.若斜率

2

22

为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆相切，则

【解

抛物线C的普通方程为，其焦点为.直线方程为

22

因为直线与圆切，则圆心到直线的距离等于半径，即

2

12.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延

长线上一点，且

,若CE

与圆相切，则线段CE的长为

C

【解

因为AF:FB:BE,所以设

由相交弦定理，

所以

117,,.222

2

因为CE与圆相切，由切割线定理,

13

.所以

224

13.已知集合

则集合

【解】

解集合A.

当时，不等式化为,解得.所以解为当

时，不等式化为,即.所以解为；当时，

不等式化为，解得，所以解为.综合以上，.解

集合B.

因为

0,所以所以，因而

腰DC上的动点，则的最小值为.

【解】5.

14.已知直角梯形ABCD中，AD//BC,,,,P是

x

解法1.以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立如图的直角

坐标系.

由题设，，设，，贝I.

当且仅当时，等号成立，于是，当时，有最小值5.

44

解法2.以相互垂直的向量DP,DA为基底表示，得

2

DP

又P是腰DC上的动点，即与共线，于是可设，有

5

2

14

所以

即

由于P是腰DC上的动点，显然当，即时,

33

所以有最小值5.

解法3.如图,,设E为AF的中点，Q为AB的

中点，则

2

①

D

F

因为

则

.②

（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和“）设T为DC

的中点，则TQ为梯形的中位线，设P为CT的中点，且设，

13

.22

则，，，

44

代入式②得

于是，于是当且仅当时，等号成

立.

由式①，，

所以有最小值5.

三、解答题:本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本

小题满分13分）已知函数I）求函数的定义域与最小正周期；（II）设

.若

,求的大小.

15

【解】(I)函数的定义域满足

所以函数的定义域为，，解得

.最小正周期为.

(II)解法1.因为，所以

,所以

于是，

因为

,所以，所以，

11,,22因而因为

,所以，所以，.___________解法2.因为

,所以，

所以

因为

,所以，

22于是，整理得

162

所以

1,所以

解法3.

因为,所以s

.故得

于是

.所以.4312

16.(本小题满分13分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个

黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱

子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个.则获奖.(每次游戏结束后将球放回原

箱)

(I)求在1次游戏中，

(i)摸出3个白球的概率；

(ii)获奖的概率；

(II)求在2次游戏中，获奖次数X的分布列及数学期望

【解】(I)(i)设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件，则

2C3C11.

(ii)设“在1次游戏中获奖”为事件B,则，

,C5C3C5C32

因为A2和A3互斥，所以

(II)X的所有可能值为.2510

17

2

所以X的分布列是

数学期望.100501005

17.(本小题满分13分)如图，在三棱柱中中,

H

是正方形的中心，AA1B1B,且平面

AAC1H

(I)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(II)求二面角的正弦值;

11(111)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1BC11,求线段1B1B内，且平面

ABM的长.

【解】解法1.如图所示，建立空间直角坐标系，其中点B为坐标原点，BA所在直线为

x轴，BB1所在直线为y轴.

C由题意，B

,A

A

1,B

(I

,c.

Ill

所以

II

设平面AAC的法向量为，则即

令

0,

设平面A1B1C1的法向量为

,则

即

令

0,

于是

,所以所以二面角

B1的正弦值为.7

III）由N为棱B1C

1的中点，得,设点

则

因为平面A,则

即

解得

故.向量

所以线段BM

的长与A1B1所成的角.解法2.(I)由于AC//AC11,故是异

面直线

19

H

是正方形的中心，因为平面AA1B1B,

C

1

1

所以

1

Bl

此

(H)连接AC1,因为及H是AB1的中点.则，又AA1

,所以

S

R,连B1R,于是过点A作，11于

所以为二面角的平面角.

在中，，连AB1,在中，

,从而

所以二面角的正弦值为

.7

D,连接ND.(Ill)因为平面A1BC11,所以，取HB1的中点

由于N为棱B1C1的中点，所以ND//C1H,且又平面AA1B1,1B1B,故

.22

MD并延长交A1B1于点E,因为，所以平面MND,连接

则.故NE//AA1.

20

由

,得，连接NE.2

2延长EM交AB于F

,可得在中，ME,由直角三角形的射影定理,

ND2所以

DE44

连接BM,在

BFM中，.18.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点

为动点，F1,

x2y2

F2分别为椭圆的左右焦点，已知为等腰三角形.ab

（I）求椭圆的离心率e；

是直线PF2上的点，（H）设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，

满足，

求点M的轨迹方程.

【解】（I）设F1PF2为等腰三角形，，.因为

P在y轴上，与矛盾，若，则点

若

F1F2由，,C122,有，即

或，不合题意，a2所以

F1F2由，，C122,有,即

（舍去）或.a2

1所以椭圆的离心率为•2

1222(11)解法1.因为，所以a

,.所以椭圆方程为.2

,则直线

PF2的方程为.直线PF2

的斜率

B两点的坐标满足方程组

21

2

消去y并整理得.则

8c.

5

于是不妨设,B0,.

设点M的坐标为

.则

由

得

y.贝iJ

由,得

化简得

，所以.将

代入得

16x3因此点M

的轨迹方程为解法2.因为

2

1

,所以

2c,.2

2

2

x

椭圆方程为

b

,则直线PF2的方程

为直线PF2的斜

率

A,B

两点的坐标满足方程组

消去y并整理得.则

8c.

5

于是不妨设，B0,.

22

因而点B为椭圆短轴的下顶点.

如图，因为，所以点M在线段AB的①

,5

23

则②

因为，所以

③

将①，②代入式③得

529

,@5

将并整理得

y代入④

3

，所以.将

代入得因此点M

的轨迹方程为，

219.(本小题满分14分)已知，函数，.(的图象

连续不断)

(I)求的单调区间；

(II)当时，证明：存在，使

（in）若存在属于区间的，且，使f

,证明：

.In2

【解】（I，.XX

令

0,则

当x变化时，，的变化情况如下表:

24

所以的单