（广东专用）高考数学总复习 第四章第三节 课时跟踪训练 理

PAGEPAGE1课时知能训练一、选择题1．(2023·惠州质检)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，那么eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－16B．－8C．8D．16【解析】由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)).又AC＝4，且eq\o(CB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝42＝16.【答案】D2．(2023·湖北高考)假设向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，那么2a＋b与a－b的夹角等于()A．－eq\f(π,4)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(3π,4)【解析】2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，那么(2a＋b)·(a－b)＝3×0＋3×3＝9，|2a＋b|＝3eq\r(2)，|a－b|＝3，设2a＋b与a－b的夹角为θ，且θ∈[0，π]，那么cosθ＝eq\f(9,3\r(2)×3)＝eq\f(\r(2),2)，得θ＝eq\f(π,4).【答案】C3．已知P是边长为2的等边△ABC的边BC上的动点，那么eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))()A．最大值为8 B．是定值6C．最小值为2 D．是定值2【解析】设BC的中点为D，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，由△ABC为等边三角形，得eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BP,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→)))·2eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|cos∠BAD＝2×2×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝6.【答案】B4．(2023·课标全国卷)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有以下四个命题：p1：|a＋b|＞1⇔θ∈[0，eq\f(2π,3))；p2：|a＋b|＞1⇔θ∈(eq\f(2π,3)，π]p3：|a－b|＞1⇔θ∈[0，eq\f(π,3))；p4：|a－b|＞1⇔θ∈(eq\f(π,3)，π]其中的真命题是()A．p1，p4 B．p1，p3C．p2，p3 D．p2，p4【解析】由|a＋b|＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(2＋2cosθ)＞1，得2＋2cosθ＞1，∴cosθ＞－eq\f(1,2)，∴0≤θ＜eq\f(2π,3).由|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(2－2cosθ)＞1，得2－2cosθ＞1，∴cosθ＜eq\f(1,2)，∴eq\f(π,3)＜θ≤π.∴p1，p4正确．p2，p3错误．【答案】A5．(2023·辽宁高考)假设a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，那么|a＋b－c|的最大值为()A.eq\r(2)－1 B．1 C.eq\r(2) D．2【解析】∵a2＝b2＝c2＝1，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2≤0，∴a·c＋b·c≥c2＝1，∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c)≤1，∴|a＋b－c|≤1.【答案】B二、填空题6．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，eq\r(3)cosθ)，那么|a－b|的最大值为________．【解析】∵a－b＝(0，sinθ－eq\r(3)cosθ)，∴|a－b|＝eq\r(sinθ－\r(3)cosθ2)＝|sinθ－eq\r(3)cosθ|＝2|sin(θ－eq\f(π,3))|≤2，∴|a－b|的最大值为2.【答案】27．关于平面向量a，b，c，有以下三个命题：①假设a∥b且a∥c，那么b∥c；②假设a＝(2，k)，b＝(－2,6)，a∥b，那么k＝－6；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，那么a与a＋b的夹角为30°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．【解析】命题①明显错误．由两向量平行得2×6＋2k＝0，k＝－6，故命题②正确．由|a|＝|b|＝|a－b|，再结合平行四边形法那么可得a与a＋b的夹角为30°，命题③正确．【答案】②③8．(2023·江苏高考)已知e1，e2是夹角为eq\f(2π,3)的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.假设a·b＝0，那么实数k的值为________．【解析】由题意a·b＝0，即有(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，∴keeq\o\al(2,1)＋(1－2k)e1·e2－2eeq\o\al(2,2)＝0.又|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝eq\f(2π,3)，∴k－2＋(1－2k)·coseq\f(2π,3)＝0，k＝eq\f(5,4).【答案】eq\f(5,4)三、解答题图4－3－29．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD.如图4－3－2所示，试求eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)).【解】∵DC＝2BD，即eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).又eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，因此eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)×12＋eq\f(2,3)×2×1·cos120°＝－eq\f(1,3).10．(2023·揭阳调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．【解】(1)由题设知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,5)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1)，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,6)，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,4)．所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(10)，|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4eq\r(2).故所求的两条对角线长分别为4eq\r(2)，2eq\r(10).(2)由题设知eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→))＝(3＋2t,5＋t)．由(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－eq\f(11,5).11．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)，a与b的夹角是45°.(1)求b；(2)假设c与b同向，且a与c－a垂直，求c.【解】(1)a·b＝2n－2，|a|＝eq\r(5)，|b|＝eq\r(n2＋4)，∴cos45°＝eq\f(2n