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第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分曲面积分对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）格林公式及四个等价命题高斯公式对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）对面积的曲面积分（第一类曲面积分）曲线积分对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）格林公式及四个等价命题曲面积分对面积的曲面积分（第一类曲面积分）对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）高斯公式1对弧长的曲线积分定义：（函数在光滑平面曲线上有界）

性质：

几何意义：当时，为曲线的弧长。

1.1对弧长的曲线积分的计算1.2利用对称性及奇偶性简化对曲线积分的计算设平面曲线关于轴对称，且位于上半平面的部分曲线为，则如果被积函数关于是奇函数，则；如果被积函数关于是偶函数，则；平面曲线关于轴对称时有类似的结论。设空间曲线关于面对称，且位于面上半部分曲线为，则如果被积函数关于是奇函数，则；如果被积函数关于是偶函数，则；关于其它坐标面的对称性也有类似结论。1.2利用对称性及奇偶性简化对曲线积分的计算2.1对坐标的曲线积分的定义定义：函数在上对坐标的曲线积分

函数在上对坐标的曲线积分2.1对坐标的曲线积分的定义定义：在空间的有向光滑曲线上的对坐标的曲线积分：

性质：

2.2对坐标曲线积分的计算设有向光滑曲线，起点参数，终点参数，当单调地从变到时，点从起点变到终点，连续且不同时为零，，则同理，一般的，对于空间有向光滑曲线，则两类曲线积分之间的关系：

其中，是空间曲线方向的方向余弦。3.1格林公式有界闭区域

由分段光滑的曲线围成，函数、

在区域内的一阶偏导数连续，是区域的正向边界曲线，则

注：

3.2四个等价命题设为单连通区域，函数、

在区域内的一阶偏导数连续，则以下四个命题等价：⑴在内，；⑵对于内的任意一条闭曲线，；⑶对于内任意一条曲线，积分值与路径无关，只与的起点和终点有关；

⑷存在

内的可微函数

，使得

。

4.1对面积的曲面积分定义：

性质：几何意义：（是曲面的面积）4.2对面积的曲面积分的计算

设曲面一阶偏导数连续，则当时，如果曲面方程为或时，有类似的计算方法。

4.3关于面积的曲面积分的对称性对于积分，积分曲面关于坐标面面对称，则①如果被积函数关于是奇函数，则；②如果被积函数关于是偶函数，则其中是的在坐标面上半部分的曲面，对其他情形有类似的对称性。5.1对坐标的曲面积分定义：函数在有向曲面上对坐标的曲面积分。记作：同理，可定义：性质：（1）（2）若表示与相反侧的有向曲面，则5.2对坐标的曲面积分的计算设曲面，取上侧，在面上的投影区域为，在上连续，函数在上一阶偏导数连续，则当曲面取下侧时，即同理，（上侧为正，下侧为负）

（前侧为正，后侧为负）

（右侧为正，左侧为负）5.3两类曲面积分之间的关系其中为有向曲面的指定一侧的法向方向的方向余弦。6.高斯公式(Gauss)定理：设空间区域由

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